দশম শ্রেণী গনিত: রাশি বিজ্ঞান – কষে দেখি 26.3
রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ (Ogive)
কষে দেখি – 26.3
ওজাইভ (Ogive) কী?
ওজাইভ হলো একটি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা (Cumulative Frequency Curve)। ছক কাগজে শ্রেণি-সীমানা এবং ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা স্থাপন করে মুক্তহস্তে যে বক্ররেখা অঙ্কন করা হয়, তাকে ওজাইভ বলা হয়।
[attachment_0](attachment)ওজাইভ দুই প্রকারের হয়:
- ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ (Less than type Ogive): এতে শ্রেণির উচ্চসীমা এবং ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ব্যবহার করা হয়।
- বৃহত্তর সূচক ওজাইভ (Greater than type Ogive): এতে শ্রেণির নিম্নসীমা এবং ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ব্যবহার করা হয়।
লেখচিত্র অঙ্কনের নিয়ম:
| ওজাইভের ধরন | x-অক্ষ বরাবর (ভুজ) | y-অক্ষ বরাবর (কোটি) |
|---|---|---|
| ক্ষুদ্রতর সূচক | শ্রেণির উচ্চসীমা (Upper Limit) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর) |
| বৃহত্তর সূচক | শ্রেণির নিম্নসীমা (Lower Limit) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর) |
ওজাইভ থেকে মধ্যমা (Median) নির্ণয়:
একই ছক কাগজে ‘ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ’ এবং ‘বৃহত্তর সূচক ওজাইভ’ অঙ্কন করলে তারা যে বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে, সেই ছেদবিন্দু থেকে x-অক্ষের ওপর লম্ব টানলে, লম্বটি x-অক্ষকে যে বিন্দুতে স্পর্শ করে, তার মানই হলো নির্ণেয় মধ্যমা।
কষে দেখি – 26.3
বিঃদ্রঃ এই অধ্যায়ের অংকগুলি লেখচিত্রের (Graph) সাহায্যে সমাধান করতে হয়। নিচে লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় তালিকা এবং বিন্দুগুলি দেওয়া হলো। এই বিন্দুগুলি ছক কাগজে স্থাপন করে ওজাইভ (Ogive) অঙ্কন করতে হবে।
1. আমাদের গ্রামের 100 টি দোকানের দৈনিক লাভের (টাকায়) পরিসংখ্যা ছকটি হলো:
| দৈনিক লাভ (টাকা) | 0-50 | 50-100 | 100-150 | 150-200 | 200-250 | 250-300 |
| দোকানের সংখ্যা | 10 | 16 | 28 | 22 | 18 | 6 |
প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করি।
সমাধান:
ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় তালিকা:
| শ্রেণি-সীমানা (উচ্চসীমা) | দোকানের সংখ্যা (পরিসংখ্যা) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) | স্থানাঙ্ক (Points) |
|---|---|---|---|
| 50 | 10 | 10 | (50, 10) |
| 100 | 16 | 10 + 16 = 26 | (100, 26) |
| 150 | 28 | 26 + 28 = 54 | (150, 54) |
| 200 | 22 | 54 + 22 = 76 | (200, 76) |
| 250 | 18 | 76 + 18 = 94 | (250, 94) |
| 300 | 6 | 94 + 6 = 100 | (300, 100) |
লেখচিত্র অঙ্কন পদ্ধতি: ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর ‘দৈনিক লাভ’ (উচ্চসীমা) এবং y-অক্ষ বরাবর ‘ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা’ নিয়ে (50, 10), (100, 26), (150, 54), (200, 76), (250, 94) এবং (300, 100) বিন্দুগুলি স্থাপন করে তাদের মুক্তহস্তে যুক্ত করলে নির্ণেয় ওজাইভ (ক্ষুদ্রতর সূচক) পাওয়া যাবে।
2. শিক্ষিকার শ্রেণিতে 35 জন শিক্ষার্থীর ওজনের তথ্য হলো:
| ওজন (কিগ্রা) | 38-এর কম | 40-এর কম | 42-এর কম | 44-এর কম | 46-এর কম | 48-এর কম | 50-এর কম | 52-এর কম |
| শিক্ষার্থী সংখ্যা | 0 | 4 | 6 | 9 | 12 | 28 | 32 | 35 |
প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করি এবং লেখচিত্র থেকে মধ্যমা নির্ণয় করি। সূত্রের সাহায্যে মধ্যমা নির্ণয় করে যাচাই করি।
সমাধান:
(i) ওজাইভ অঙ্কন:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে ছক কাগজে স্থাপন করার বিন্দুগুলি হলো:
(38, 0), (40, 4), (42, 6), (44, 9), (46, 12), (48, 28), (50, 32), (52, 35)।
এই বিন্দুগুলি যুক্ত করে ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ পাওয়া যাবে।
লেখচিত্র থেকে মধ্যমা নির্ণয়: এখানে $N = 35$, $\therefore N/2 = 17.5$। y-অক্ষের 17.5 ঘর থেকে x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা ওজাইভকে যে বিন্দুতে ছেদ করবে, তার ভুজ (x-স্থানাঙ্ক) হবে মধ্যমা। (লেখচিত্র থেকে এই মান পাওয়া যাবে প্রায় 46.69)।
(ii) সূত্রের সাহায্যে যাচাই:
প্রথমে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা থেকে সাধারণ পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা তৈরি করি:
| শ্রেণি-সীমানা | শিক্ষার্থী সংখ্যা ($f$) | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা |
|---|---|---|
| 38 – 40 | 4 – 0 = 4 | 4 |
| 40 – 42 | 6 – 4 = 2 | 6 |
| 42 – 44 | 9 – 6 = 3 | 9 |
| 44 – 46 | 12 – 9 = 3 | 12 |
| 46 – 48 | 28 – 12 = 16 ($f$) | 28 |
| 48 – 50 | 32 – 28 = 4 | 32 |
| 50 – 52 | 35 – 32 = 3 | 35 |
এখানে $N = 35$, $\therefore N/2 = 17.5$
17.5 এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো 28, যা (46 – 48) শ্রেণিতে অবস্থিত।
$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণি: 46 – 48।
এখানে, $l = 46, f = 16, cf = 12, h = 2$
$$ \text{মধ্যমা} = 46 + \left( \frac{17.5 – 12}{16} \right) \times 2 $$
$$ = 46 + \frac{5.5}{8} $$
$$ = 46 + 0.6875 $$
$$ = 46.69 \text{ (প্রায়)} $$
যাচাই: লেখচিত্র ও সূত্রের সাহায্যে প্রাপ্ত মান প্রায় সমান।
3. নিচের প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করি।
| শ্রেণি | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
| পরিসংখ্যা | 4 | 10 | 15 | 8 | 3 | 5 |
সমাধান:
বৃহত্তর সূচক ওজাইভের জন্য আমাদের শ্রেণির নিম্নসীমা এবং ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (মোট পরিসংখ্যা থেকে বিয়োগ করে) নিতে হবে।
| শ্রেণি-সীমানা (নিম্নসীমা) | পরিসংখ্যা | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) | স্থানাঙ্ক (Points) |
|---|---|---|---|
| 0 বা 0-এর বেশি | 4 | 45 (মোট পরিসংখ্যা) | (0, 45) |
| 5 বা 5-এর বেশি | 10 | 45 – 4 = 41 | (5, 41) |
| 10 বা 10-এর বেশি | 15 | 41 – 10 = 31 | (10, 31) |
| 15 বা 15-এর বেশি | 8 | 31 – 15 = 16 | (15, 16) |
| 20 বা 20-এর বেশি | 3 | 16 – 8 = 8 | (20, 8) |
| 25 বা 25-এর বেশি | 5 | 8 – 3 = 5 | (25, 5) |
| 30 বা 30-এর বেশি | – | 5 – 5 = 0 | (30, 0) |
[মোট পরিসংখ্যা = 4 + 10 + 15 + 8 + 3 + 5 = 45]
লেখচিত্র অঙ্কন: ছক কাগজে (0, 45), (5, 41), (10, 31), (15, 16), (20, 8), (25, 5) এবং (30, 0) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলে নির্ণেয় বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া যাবে।
4. নিচের তথ্যের একই অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতর সূচক ও বৃহত্তর সূচক ওজাইভ ছক কাগজে অঙ্কন করে মধ্যমা নির্ণয় করি।
| শ্রেণি | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
| পরিসংখ্যা | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
সমাধান:
একই গ্রাফ পেপারে দুটি ওজাইভ আঁকতে হবে। দুটি ওজাইভ যে বিন্দুতে ছেদ করবে, সেই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (ভুজ) হবে মধ্যমা।
১. ক্ষুদ্রতর সূচক তালিকা (Less than type):
| উচ্চসীমা | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা | স্থানাঙ্ক |
|---|---|---|
| 120 | 12 | (120, 12) |
| 140 | 12 + 14 = 26 | (140, 26) |
| 160 | 26 + 8 = 34 | (160, 34) |
| 180 | 34 + 6 = 40 | (180, 40) |
| 200 | 40 + 10 = 50 | (200, 50) |
২. বৃহত্তর সূচক তালিকা (Greater than type):
| নিম্নসীমা | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা | স্থানাঙ্ক |
|---|---|---|
| 100 | 50 | (100, 50) |
| 120 | 50 – 12 = 38 | (120, 38) |
| 140 | 38 – 14 = 24 | (140, 24) |
| 160 | 24 – 8 = 16 | (160, 16) |
| 180 | 16 – 6 = 10 | (180, 10) |
| 200 | 10 – 10 = 0 | (200, 0) |
মধ্যমা নির্ণয় (গণনার মাধ্যমে যাচাই):
এখানে $N = 50$, $\therefore N/2 = 25$।
মধ্যমা শ্রেণি হলো 120 – 140।
এখানে, $l = 120, f = 14, cf = 12, h = 20$
$$ \text{মধ্যমা} = 120 + \left( \frac{25 – 12}{14} \right) \times 20 $$
$$ = 120 + \frac{13}{14} \times 20 $$
$$ = 120 + \frac{130}{7} $$
$$ = 120 + 18.57 $$
$$ = 138.57 \text{ (প্রায়)} $$
উত্তর: লেখচিত্রে দুটি ওজাইভ যে বিন্দুতে ছেদ করবে, তার ভুজ হবে প্রায় ১৩৮.৫৭।
শেয়ার