সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{121\pi}{540}$

প্রথমে সম্পূর্ণ কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করতে হবে: 40° 20′ = $40 \frac{20}{60}^\circ$ = $40 \frac{1}{3}^\circ$ = $\frac{121}{3}^\circ$। আমরা জানি, $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান। তাই ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করলে পাই $\frac{121}{3} \times \frac{\pi}{180} = \frac{121\pi}{540}$ রেডিয়ান।

সঠিক উত্তর: (গ) 300°

রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে নিতে $\frac{180}{\pi}$ দিয়ে গুণ করতে হয়। অতএব, $\frac{5\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \times 60^\circ = 300^\circ$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{\pi}{2}$

মিনিটের কাঁটা 60 মিনিটে একবার সম্পূর্ণ ঘোরে, অর্থাৎ $360^\circ$ বা $2\pi$ রেডিয়ান কোণ তৈরি করে। তাহলে 1 মিনিটে কোণ তৈরি করে $\frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}$ রেডিয়ান। অতএব, 15 মিনিটে কোণ তৈরি করবে $15 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{2}$ রেডিয়ান (বা 90°)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\tan$ এবং $\cot$

ত্রিকোণমিতির ‘All Sin Tan Cos’ বা (ASTC) নিয়ম অনুযায়ী, প্রথম পাদে সবাই ধনাত্মক, দ্বিতীয় পাদে কেবল $\sin$ ও $\text{cosec}$, তৃতীয় পাদে কেবল $\tan$ ও $\cot$ এবং চতুর্থ পাদে কেবল $\cos$ ও $\sec$ ধনাত্মক মান প্রদান করে।

সঠিক উত্তর: (ক) $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

আমরা জানি $\sin(-\theta) = -\sin \theta$। তাই $\sin(-1125^\circ) = -\sin(1125^\circ)$।
এখন 1125 কে $90 \times n$ আকারে ভাঙি: $1125 = 90 \times 12 + 45$।
অর্থাৎ, $-\sin(12 \times 90^\circ + 45^\circ)$। 12 জোড় সংখ্যা বলে $\sin$-ই থাকবে। 12 বার ঘোরার পর 1ম পাদে পড়ে, তাই ধনাত্মক। কিন্তু সামনে মাইনাস থাকায় মান হবে $-\sin 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{5}{13}$

একটি সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = 5, ভূমি = 12 ধরলে, অতিভুজ = $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$।
অতএব, $\sin x$ এর সাংখ্যিক মান হলো $\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{5}{13}$।
যেহেতু $x$ দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত, আর দ্বিতীয় পাদে $\sin$ ধনাত্মক হয়, তাই সঠিক মান হবে $+\frac{5}{13}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\sin^2 x – \sin^2 y$

সূত্র অনুযায়ী, $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ এবং $\sin(x – y) = \sin x \cos y – \cos x \sin y$। এদের গুণ করলে $(a+b)(a-b)$ সূত্র অনুযায়ী পাওয়া যায় $\sin^2 x \cos^2 y – \cos^2 x \sin^2 y$। এরপর $\cos^2 \theta$ গুলোকে $(1 – \sin^2 \theta)$-তে পরিবর্তন করে সরল করলে শেষ পর্যন্ত $\sin^2 x – \sin^2 y$ পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}$

এটি ত্রিকোণমিতির একটি প্রমিত (standard) যৌগিক কোণের সূত্র। $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}$। অন্যদিকে $\tan(x – y)$ এর ক্ষেত্রে লবে মাইনাস এবং হরে প্লাস হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{2}}$

$75^\circ$-কে দুটি পরিচিত কোণের যোগফল হিসেবে লেখা যায়: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$।
এখন, $\cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ – \sin 45^\circ \sin 30^\circ$।
মান বসালে, $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{2}}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sin x + \sin y$

এটি দুটি সাইন ফাংশনের যোগফলকে গুণফলে রূপান্তরের সরাসরি সূত্র। $\sin C + \sin D$ বা $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $4\cos^3 x – 3\cos x$

এটি একটি সরাসরি ত্রিকোণমিতিক সূত্র। $\cos 3x$-কে $\cos(2x + x)$ ধরে যৌগিক কোণের সূত্র এবং তারপর $\cos 2x$-এর সূত্র প্রয়োগ করে গাণিতিক সরলীকরণ করলে পাওয়া যায় $\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$। (অন্যদিকে $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$

যৌগিক কোণের সূত্র $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}$ -তে $y = x$ বসালে আমরা পাই, $\tan(x + x) = \frac{\tan x + \tan x}{1 – \tan x \tan x} \implies \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের নিয়ম অনুযায়ী, যদি $\sin \theta = \sin \alpha$ হয়, তবে তার সাধারণ সমাধান হয় $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$, যেখানে $n$ হলো যেকোনো পূর্ণসংখ্যা বা Integer ($n \in \mathbb{Z}$)। $n$ জোড় হলে কোণটি প্রথম পাদে এবং বিজোড় হলে দ্বিতীয় পাদে অবস্থান করে, যেখানে সাইন ধনাত্মক।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

আমরা জানি $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$। $\cos$ ঋণাত্মক হয় দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাদে।
দ্বিতীয় পাদে কোণটি হলো: $\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
তৃতীয় পাদে কোণটি হলো: $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$।
$0$ থেকে $2\pi$ এর মধ্যে থাকা মানগুলোকেই মুখ্য মান বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $n\pi + \frac{\pi}{4}$

আমরা জানি $\tan \frac{\pi}{4} = 1$। তাই সমীকরণটিকে লেখা যায় $\tan x = \tan \frac{\pi}{4}$। আবার, গাণিতিক সূত্র অনুযায়ী $\tan \theta = \tan \alpha$ হলে সাধারণ সমাধান হয় $\theta = n\pi + \alpha$। তাই এখানে সমাধান হবে $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ (যেখানে $n \in \mathbb{Z}$)।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

আমরা জানি $\cos(-\theta) = \cos \theta$। তাই $\cos(-1710^\circ) = \cos(1710^\circ)$।

এখন 1710 কে 360 এর গুণিতক আকারে ভাঙলে পাই: $1710^\circ = 4 \times 360^\circ + 270^\circ$।

যেহেতু $360^\circ$ ঘোরা মানে একই অবস্থানে ফিরে আসা, তাই $\cos(4 \times 360^\circ + 270^\circ) = \cos 270^\circ$। আর $\cos 270^\circ$ এর মান হলো 0।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

যেকোনো $a \sin x + b \cos x$ আকারের রাশির সর্বাধিক মান হয় $\sqrt{a^2 + b^2}$ এবং সর্বনিম্ন মান হয় $-\sqrt{a^2 + b^2}$। এখানে $a = 3$ এবং $b = 4$। তাই সর্বাধিক মান হবে $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\cos^2 A – \sin^2 B$

যৌগিক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে গুণ করলে আমরা পাই $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A \cos^2 B – \sin^2 A \sin^2 B$। এরপর $\cos^2 B = 1 – \sin^2 B$ এবং $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$ বসালে রাশিটি সরল হয়ে দাঁড়ায় $\cos^2 A – \sin^2 B$। এটি (ঘ) অপশনেরও সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) $2 – \sqrt{3}$

$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ – 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ – \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$।

মান বসালে পাই $\frac{1 – \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}$।

হর থেকে করণী নিরসন (Rationalization) করলে $\frac{(\sqrt{3} – 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} = \frac{3 – 2\sqrt{3} + 1}{3 – 1} = \frac{4 – 2\sqrt{3}}{2} = 2 – \sqrt{3}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\sin(A+B) + \sin(A-B)$

এটি একটি আদর্শ রূপান্তর সূত্র। আমরা জানি, $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ এবং $\sin(A-B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B$। এই দুটি সমীকরণ যোগ করলেই আমরা $2 \sin A \cos B$ ফিরে পাই।

সঠিক উত্তর: (খ) $-2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$

$\cos C – \cos D$ এর ক্ষেত্রে সূত্রটি হলো $-2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$। একে অনেক সময় ধনাত্মক করে লেখার জন্য শেষের সাইন-এর ভেতরে কোণের ক্রম পরিবর্তন করে $2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{D-C}{2}\right)$ হিসেবেও লেখা হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}$

আমরা জানি $\sin 2x = 2 \sin x \cos x = \frac{2 \sin x \cos x}{1} = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^2 x + \cos^2 x}$। লব ও হর উভয়কেই $\cos^2 x$ দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই $\frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}$। (মনে রাখবেন $\tan 2x$ এর হরে মাইনাস থাকে)।

সঠিক উত্তর: (খ) $2 \sin^2 x$

ত্রিকোণমিতিতে এটি অত্যন্ত ব্যবহৃত একটি রূপান্তর। $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = (1 – \sin^2 x) – \sin^2 x = 1 – 2\sin^2 x$। এই সমীকরণটি সাজালে পাই $2 \sin^2 x = 1 – \cos 2x$। একইভাবে, $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{\sqrt{5} – 1}{4}$

এটি একটি প্রমাণ করা আদর্শ মান। $x = 18^\circ \implies 5x = 90^\circ \implies 2x + 3x = 90^\circ \implies 2x = 90^\circ – 3x$। উভয়পাশে $\sin$ নিয়ে এবং গুণিতক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করলে $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} – 1}{4}$ পাওয়া যায়। (উল্লেখ্য, এটি $\cos 72^\circ$ এরও মান)।

সঠিক উত্তর: (গ) $(2n + 1)\frac{\pi}{2}$

একক বৃত্তে (Unit circle), $\cos$ হলো $X$-স্থানাঙ্ক। $Y$-অক্ষের ওপরে থাকা বিন্দুগুলোর ($90^\circ, 270^\circ$ বা $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ ইত্যাদি) $X$-স্থানাঙ্ক শূন্য হয়। তাই $\pi/2$ এর যেকোনো বিজোড় গুণিতকের জন্য $\cos x = 0$ হয়। একে গাণিতিকভাবে $(2n + 1)\frac{\pi}{2}$ লেখা হয়, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\sin$ এর মান ধনাত্মক হয় প্রথম এবং দ্বিতীয় পাদে। প্রথম পাদে মানটি হলো $60^\circ$ বা $\frac{\pi}{3}$। দ্বিতীয় পাদে কোণটি হবে $\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$। এই দুটি মানই $0$ থেকে $2\pi$ এর মধ্যে অবস্থিত, তাই এগুলোই মুখ্য মান।

সঠিক উত্তর: (খ) $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$

আমরা জানি $\tan \frac{\pi}{4} = 1$। অতএব, $\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$।

$\tan \theta = \tan \alpha$ হলে $\theta = n\pi + \alpha$।

তাই $3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$। উভয়পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করলে পাই $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\cos 2x$

এটি গুণিতক কোণের একটি সরাসরি সূত্র। যৌগিক কোণের সূত্র $\cos(x+y) = \cos x \cos y – \sin x \sin y$-তে $y = x$ বসালে পাই $\cos(x+x) = \cos x \cos x – \sin x \sin x$, অর্থাৎ $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$। (ভুল করে 1 ভাববেন না, 1 হয় $\cos^2 x + \sin^2 x$ এর মান)।

সঠিক উত্তর: (গ) 2 রেডিয়ান

বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ($s$), ব্যাসার্ধ ($r$) এবং উৎপন্ন কোণ ($\theta$ রেডিয়ানে) এর সম্পর্ক হলো $s = r\theta$।
দেওয়া আছে, $s = 10$ সেমি এবং $r = 5$ সেমি।
অতএব, $\theta = \frac{s}{r} = \frac{10}{5} = 2$ রেডিয়ান।

সঠিক উত্তর: (গ) $\mathbb{R} – (-1, 1)$

আমরা জানি, $\sec x = \frac{1}{\cos x}$। যেহেতু $\cos x$ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে, তাই $\sec x$ এর মান কখনোই -1 থেকে 1 এর মধ্যবর্তী কোনো সংখ্যা (যেমন $\frac{1}{2}$ বা 0) হতে পারে না। এর মান হয় 1 এর সমান বা বড়, নতুবা -1 এর সমান বা ছোট হবে। তাই এর রেঞ্জ হলো $\mathbb{R} – (-1, 1)$, যাকে $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ হিসেবেও লেখা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) $-\frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\sin(\pi/6) = 1/2$, $\cos(\pi/3) = 1/2$ এবং $\tan(\pi/4) = 1$।

মানগুলো বসালে পাই: $(1/2)^2 + (1/2)^2 – (1)^2 = 1/4 + 1/4 – 1 = 2/4 – 1 = 1/2 – 1 = -1/2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{4}{3}$

$\cos x$ (ভূমি/অতিভুজ) $= 3/5$ হলে, লম্ব $= \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{16} = 4$।

অতএব, $\tan x$ (লম্ব/ভূমি) এর সাংখ্যিক মান $= 4/3$।

যেহেতু $x$ তৃতীয় পাদে অবস্থিত, আর তৃতীয় পাদে $\tan$ ধনাত্মক হয় (ASTC নিয়ম অনুযায়ী), তাই মান হবে $+\frac{4}{3}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\sin^2 A – \sin^2 B$

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ এবং $\sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B$।

এদের গুণ করলে $(a+b)(a-b)$ সূত্র অনুযায়ী: $\sin^2 A \cos^2 B – \cos^2 A \sin^2 B$

$= \sin^2 A (1 – \sin^2 B) – (1 – \sin^2 A) \sin^2 B$

$= \sin^2 A – \sin^2 A \sin^2 B – \sin^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = \sin^2 A – \sin^2 B$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\sqrt{2} – 1$

অংশ কোণের সূত্র ব্যবহার করে: $\tan \theta = \frac{1 – \cos 2\theta}{\sin 2\theta}$।

এখানে $\theta = 22.5^\circ$ ধরলে $2\theta = 45^\circ$।

$\tan 22.5^\circ = \frac{1 – \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 – 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} – 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$

এটি যোগফলকে গুণফলে রূপান্তরের একটি আদর্শ এবং বহুল ব্যবহৃত সূত্র। এটি $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ সূত্রটি থেকেই প্রতিপাদন করা হয়, যেখানে $A+B=C$ এবং $A-B=D$ ধরা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1 – \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$

আমরা জানি $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{1} = \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}$।

লব ও হর উভয়কেই $\cos^2 x$ দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায় $\frac{1 – \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $1 – \cos 2x$

$\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = (1 – \sin^2 x) – \sin^2 x = 1 – 2\sin^2 x$।

সমীকরণটি সাজালে পাই $2 \sin^2 x = 1 – \cos 2x$। (বিপরীতভাবে, $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$ হয়)।

সঠিক উত্তর: (খ) $n\pi + \frac{\pi}{4}$

আমরা জানি $\tan \frac{\pi}{4} = 1$। তাই সমীকরণটিকে লেখা যায় $\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4}$। গাণিতিক সূত্র অনুযায়ী $\tan x = \tan \alpha$ হলে সাধারণ সমাধান হয় $x = n\pi + \alpha$ (যেখানে $n \in \mathbb{Z}$)। তাই $\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $n\pi$

একক বৃত্তে $\sin$ হলো $Y$-স্থানাঙ্ক। $X$-অক্ষের ওপর থাকা বিন্দুগুলোর ($0, \pi, 2\pi, -\pi$ ইত্যাদি) $Y$-স্থানাঙ্ক শূন্য হয়। অর্থাৎ $\pi$ এর যেকোনো পূর্ণগুণিতকের জন্যই $\sin x = 0$ হয়। তাই সাধারণ সমাধান হলো $x = n\pi$ (যেখানে $n \in \mathbb{Z}$)।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

আমরা জানি $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} – 1}{4}$।

গুণিতক কোণের সূত্র $\cos 2\theta = 1 – 2\sin^2 \theta$-তে $\theta = 18^\circ$ বসালে:

$\cos 36^\circ = 1 – 2\left(\frac{\sqrt{5} – 1}{4}\right)^2 = 1 – 2\left(\frac{5 – 2\sqrt{5} + 1}{16}\right) = 1 – \frac{6 – 2\sqrt{5}}{8} = \frac{8 – 6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

$\sin x + \sin y = \sqrt{3}(\cos y – \cos x) \implies \sin x + \sqrt{3}\cos x = \sqrt{3}\cos y – \sin y$

উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে: $\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y – \frac{1}{2}\sin y$

$\implies \sin(x + 60^\circ) = \sin(60^\circ – y) \implies x + 60^\circ = 60^\circ – y \implies x = -y$

সুতরাং, $\sin 3x + \sin 3y = \sin(-3y) + \sin 3y = -\sin 3y + \sin 3y = 0$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{8}$

এটি একটি প্রমাণ করা সূত্র: $\cos \theta \cdot \cos(60^\circ – \theta) \cdot \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$।

এখানে $\theta = 20^\circ$ ধরলে, $60^\circ – \theta = 40^\circ$ এবং $60^\circ + \theta = 80^\circ$।

তাই মান হবে $\frac{1}{4} \cos(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \cos 60^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A$

আমরা জানি, $\sin^2 x – \sin^2 y = \sin(x + y) \sin(x – y)$।

এখানে $x = \frac{\pi}{8} + \frac{A}{2}$ এবং $y = \frac{\pi}{8} – \frac{A}{2}$।

$x + y = 2(\frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{4}$ এবং $x – y = 2(\frac{A}{2}) = A$।

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি $= \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \sin(A) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin A$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\sqrt{3}$

আমরা জানি, $\tan(20^\circ + 40^\circ) = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 – \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$।

$\implies \tan 60^\circ = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 – \tan 20^\circ \tan 40^\circ} \implies \sqrt{3} = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 – \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$।

বজ্রগুণ করলে: $\sqrt{3} – \sqrt{3}\tan 20^\circ \tan 40^\circ = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ$।

সমীকরণ সাজালে পাই: $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3}\tan 20^\circ \tan 40^\circ = \sqrt{3}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2\cos \theta$

প্রথমে ভেতরের বর্গমূলটি সরল করি: $\sqrt{2(1 + \cos 4\theta)} = \sqrt{2(2\cos^2 2\theta)} = \sqrt{4\cos^2 2\theta} = 2\cos 2\theta$।

এবার এটি মূল রাশিতে বসাই: $\sqrt{2 + 2\cos 2\theta} = \sqrt{2(1 + \cos 2\theta)} = \sqrt{2(2\cos^2 \theta)} = \sqrt{4\cos^2 \theta} = 2\cos \theta$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

এটি $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ আকারে আছে, যা $\sin(A+B)$ এর সূত্র।

এখানে $A = \frac{\pi}{3} – x$ এবং $B = \frac{\pi}{6} + x$।

অতএব, মান হবে $\sin\left(\frac{\pi}{3} – x + \frac{\pi}{6} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 4

$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$।

লব ও হরকে 2 দ্বারা গুণ করলে পাই $\frac{2}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$।

এখানে $\theta = 75^\circ$ বসালে, $\frac{2}{\sin 150^\circ} = \frac{2}{\sin(180^\circ – 30^\circ)} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{1/2} = 4$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\tan x$

লব: $1 – \cos 2x + \sin 2x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)$।

হর: $1 + \cos 2x + \sin 2x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)$।

লবকে হর দ্বারা ভাগ করলে $(\sin x + \cos x)$ পদটি কাটা গিয়ে থাকে $\frac{2\sin x}{2\cos x} = \tan x$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $\frac{\pi}{4}$

যৌগিক কোণের সূত্র প্রয়োগ করি: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B}$।

মান বসালে, $\tan(A + B) = \frac{1/2 + 1/3}{1 – (1/2)(1/3)} = \frac{5/6}{1 – 1/6} = \frac{5/6}{5/6} = 1$।

যেহেতু $\tan(A + B) = 1$, তাই $A + B = 45^\circ$ বা $\frac{\pi}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

গুণিতক কোণের সূত্র $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$ অনুযায়ী,

এখানে $x = 15^\circ$। তাই রাশিটির মান হবে $\cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ$।

আমরা জানি $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2\cos 40^\circ$

রাশিটিকে 2 দিয়ে ভাগ ও গুণ করি: $2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^\circ – \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right)$

$= 2 (\cos 30^\circ \cos 20^\circ – \sin 30^\circ \sin 20^\circ)$

এটি $\cos(A+B)$ এর সূত্র। তাই, $2 \cos(30^\circ + 20^\circ) = 2\cos 50^\circ$। (দুঃখিত, এখানে টাইপো ছিল। উত্তর ঘ সঠিক হবে, তবে আমরা অন্যভাবেও করতে পারি।)

যদি $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$ ধরি, তবে $2(\sin 60^\circ \cos 20^\circ – \cos 60^\circ \sin 20^\circ) = 2\sin(60^\circ – 20^\circ) = 2\sin 40^\circ$। (ক) অপশনটিও সঠিক।

আবার $2\sin 40^\circ = 2\cos 50^\circ$। তাই এই ধরনের প্রশ্নে অপশন মিলিয়ে উত্তর করতে হবে। এখানে (ক) এবং (ঘ) দুটোই সমতুল্য।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

প্রথম দুটি পদে $\sin C – \sin D$ সূত্র প্রয়োগ করি:

$\sin 50^\circ – \sin 70^\circ = 2\cos\left(\frac{50+70}{2}\right)\sin\left(\frac{50-70}{2}\right) = 2\cos 60^\circ \sin(-10^\circ)$

$= 2(1/2)(-\sin 10^\circ) = -\sin 10^\circ$

এবার সম্পূর্ণ রাশিটি হলো: $-\sin 10^\circ + \sin 10^\circ = 0$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{7}$

দেওয়া আছে $\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{4}{3}$।

যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and dividendo) প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{\tan x – \tan y}{\tan x + \tan y} = \frac{4 – 3}{4 + 3} = \frac{1}{7}$।

এবার লব ও হরের রাশিগুলোতে ত্রিকোণমিতিক সূত্র বসালে $\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)}$ পাওয়া যায়, যা এই প্রশ্নের জন্য সরাসরি প্রযোজ্য নয়। তাই সরাসরি মান বসালে: $\frac{\tan(x-y)}{\tan(x+y)} = \frac{\frac{\tan x – \tan y}{1 + \tan x \tan y}}{\frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}}$। এই ধরনের অংকে সাধারণত $\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)}$ এর মান চাওয়া হয় যার উত্তর $1/7$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{16}$

পূর্ববর্তী একটি প্রশ্নে আমরা দেখেছি $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$।

আর আমরা জানি $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।

তাই সম্পূর্ণ গুণফলটি হবে $\frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$

আমরা জানি $\sin 30^\circ$ বা $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$।

তাই সমীকরণটি হলো $\sin \theta = \sin(\pi/6)$।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী $\sin \theta = \sin \alpha$ হলে $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ হয়। এখানে $\alpha = \pi/6$, তাই উত্তর হবে $\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\cos C + \cos D$ এর রূপান্তর সূত্র

বামপক্ষে $\cos 3x + \cos x$ এ $\cos C + \cos D$ সূত্র প্রয়োগ করলে আমরা পাব $2\cos(2x)\cos(x)$। এতে সমীকরণের ডানপক্ষের $\cos 2x$ এর সাথে মিল পাওয়া যায় এবং খুব সহজেই কমন নিয়ে সমীকরণটি সমাধান করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\tan \theta = \tan \alpha \implies \theta = n\pi + \alpha$ সূত্র প্রয়োগ করা

সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করলে পাই $2x = n\pi + \frac{2}{x}$। এরপর $x$ দিয়ে গুণ করে এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণে ($2x^2 – n\pi x – 2 = 0$) রূপান্তরিত হবে, যা শ্রীধর আচার্যের সূত্র দিয়ে সমাধান করা যাবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$

$A + B = \pi – C$। উভয়পক্ষে $\tan$ নিলে, $\tan(A+B) = \tan(\pi – C) = -\tan C$।

যৌগিক কোণের সূত্রানুযায়ী, $\frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} = -\tan C$।

বজ্রগুণ করলে: $\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$।

সুতরাং, $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{A}{2}\right)$

$1 = \cos^2(A/2) + \sin^2(A/2)$ এবং $\sin A = 2\sin(A/2)\cos(A/2)$। তাই লব $= (\cos(A/2) + \sin(A/2))^2$।

হর $= \cos A = \cos^2(A/2) – \sin^2(A/2) = (\cos(A/2) + \sin(A/2))(\cos(A/2) – \sin(A/2))$।

ভাগ করলে থাকে $\frac{\cos(A/2) + \sin(A/2)}{\cos(A/2) – \sin(A/2)}$। লব ও হরকে $\cos(A/2)$ দিয়ে ভাগ করলে পাই $\frac{1 + \tan(A/2)}{1 – \tan(A/2)}$, যা $\tan(45^\circ + A/2)$ বা $\tan(\pi/4 + A/2)$ এর সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

বীজগণিতের সূত্র $a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)$ প্রয়োগ করি, যেখানে $a = \sin^2 x$ এবং $b = \cos^2 x$।

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 – 3\sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$।

যেহেতু $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, তাই মানটি দাঁড়ায় $1^3 – 3\sin^2 x \cos^2 x(1) = 1 – 3\sin^2 x \cos^2 x$।

প্রদত্ত রাশিতে এটি বসালে: $(1 – 3\sin^2 x \cos^2 x) + 3\sin^2 x \cos^2 x = 1$।