সঠিক উত্তর: (খ) 7 এবং -1

দুটি ক্রমান্বিত জোড় (Ordered pairs) সমান হওয়ার শর্ত হলো তাদের অনুরূপ পদগুলো সমান হতে হবে। অর্থাৎ, প্রথম পদ = প্রথম পদ এবং দ্বিতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ।
তাহলে, $x – 2 = 5 \implies x = 7$
এবং $y + 3 = 2 \implies y = 2 – 3 = -1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 12

দুটি সসীম সেটের কার্তেসীয় গুণফলের উপাদান সংখ্যা ওই সেট দুটির নিজ নিজ উপাদান সংখ্যার গুণফলের সমান হয়। অর্থাৎ, $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$। এখানে $n(A) = 3$ এবং $n(B) = 4$। তাই $n(A \times B) = 3 \times 4 = 12$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 64

$A$ থেকে $B$ সেটে সম্পর্কের সংখ্যা হলো $A \times B$ সেটের মোট উপসেটের সংখ্যা। $A \times B$ সেটে উপাদান আছে $3 \times 2 = 6$টি। আমরা জানি, $n$ উপাদানের সেটের উপসেট সংখ্যা হয় $2^n$। তাই মোট সম্পর্কের সংখ্যা হবে $2^6 = 64$টি।

সঠিক উত্তর: (ক) 4

প্রথমে সংযোগ ও ছেদ নির্ণয় করি: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$, তাই $n(A \cup B) = 4$। আবার, $A \cap B = \{3\}$, তাই $n(A \cap B) = 1$। এদের কার্তেসীয় গুণফলের উপাদান সংখ্যা হবে $4 \times 1 = 4$টি।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{1, 2, 3, 4\}$

স্বাভাবিক সংখ্যা 1 থেকে শুরু হয়। $x + y = 5$ শর্ত পূরণকারী স্বাভাবিক সংখ্যার জোড়গুলো হলো: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$। সম্পর্কের ডোমেইন হলো ক্রমান্বিত জোড়গুলোর প্রথম উপাদানগুলোর সেট। তাই ডোমেইন = $\{1, 2, 3, 4\}$। (0 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, তাই $x=5$ বা $y=0$ নেওয়া যাবে না)।

সঠিক উত্তর: (ক) $\{1, 3, 5\}$

যেকোনো সম্পর্কের বিপরীত সম্পর্ক নির্ণয় করতে জোড়গুলোর স্থান অদলবদল করতে হয়। অর্থাৎ $R^{-1} = \{(2, 1), (4, 3), (6, 5)\}$। এই $R^{-1}$ এর রেঞ্জ বা পাল্লা হলো দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেট, অর্থাৎ $\{1, 3, 5\}$। (লক্ষ্য করুন, $R^{-1}$ এর রেঞ্জ আসলে মূল সম্পর্ক $R$ এর ডোমেইনের সমান)।

সঠিক উত্তর: (গ) $q^p$

$A$ সেট থেকে $B$ সেটে ফাংশন তৈরি করার সময়, $A$ সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য $B$ সেটে যুক্ত হওয়ার $q$ টি বিকল্প থাকে। যেহেতু $A$-তে $p$ টি উপাদান আছে, তাই মোট ফাংশনের সংখ্যা হবে $q \times q \times \dots$ ($p$ বার), অর্থাৎ $q^p$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\{(1, 2), (1, 3), (2, 4)\}$

একটি সম্পর্ককে অপেক্ষক হতে হলে তার ডোমেইনের (প্রথম উপাদানগুলোর) প্রতিটি উপাদানের জন্য রেঞ্জে একটি অদ্বিতীয় বা ইউনিক (Unique) প্রতিবিম্ব (Image) থাকতে হবে। (গ) নম্বর অপশনে ডোমেইনের ‘1’ উপাদানটি দুটি ভিন্ন মান 2 এবং 3-এর সাথে যুক্ত হয়েছে। তাই এটি অপেক্ষক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

প্রদত্ত ফাংশনে $x$-এর জায়গায় 1 বসিয়ে মান নির্ণয় করতে হবে। $f(1) = (1)^2 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0$।

সঠিক উত্তর: (গ) $[5, \infty)$

একটি বাস্তব অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য বর্গমূলের ভেতরের রাশিটি অবশ্যই অঋণাত্মক (শূন্য বা তার চেয়ে বড়) হতে হবে। সুতরাং, $x – 5 \ge 0 \implies x \ge 5$। অন্তরাল আকারে এটি হলো $[5, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) একপদী সেট (Singleton set)

ধ্রুবক অপেক্ষকে $x$-এর মান যাই হোক না কেন, $f(x)$ সর্বদা একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক মান $c$ প্রদান করে। তাই এই অপেক্ষকের পাল্লা বা রেঞ্জ হলো $\{c\}$, যাতে মাত্র একটিই উপাদান থাকে। একে একপদী বা Singleton সেট বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $(A \times B) \cap (B \times A) = \emptyset$

যেহেতু $A$ এবং $B$ বিচ্ছেদ সেট (তাদের কোনো সাধারণ উপাদান নেই), তাই $A \times B$-এর কোনো ক্রমান্বিত জোড় $(x, y)$ এবং $B \times A$-এর কোনো ক্রমান্বিত জোড় $(y, x)$ কখনোই সমান হতে পারে না। ফলে এই দুটি কার্তেসীয় গুণফলের ছেদ বা Intersection সর্বদা শূন্য সেট হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) $\mathbb{R} – \{-2, 2\}$

একটি মূলদ অপেক্ষক তখনই অসংজ্ঞাত (Undefined) হয়, যখন তার হর বা Denominator শূন্য হয়। এখানে হর হলো $x^2 – 4$। $x^2 – 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$। সুতরাং $x$-এর মান 2 অথবা -2 হওয়া যাবে না। ডোমেইন হবে বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে এই দুটি মান বাদ দিয়ে, অর্থাৎ $\mathbb{R} – \{-2, 2\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা যা $X$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 45° কোণ তৈরি করে

আইডেন্টিটি অপেক্ষক হলো $y = x$। এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ ($y = mx + c$) যার নতি বা ঢাল $m = 1$ এবং $c = 0$। যেহেতু $m = \tan \theta = 1$, তাই $\theta = 45^\circ$। এটি ঠিক মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায় এবং প্রথম ও তৃতীয় চতুর্ভাগকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{8, 27, 125, 343\}$

10-এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো (Prime numbers) হলো 2, 3, 5 এবং 7। এগুলো হলো সম্পর্কের ডোমেইন। রেঞ্জ হলো এই সংখ্যাগুলোর ঘন (Cube) অর্থাৎ $x^3$ এর মান। সুতরাং, রেঞ্জ = $\{2^3, 3^3, 5^3, 7^3\} = \{8, 27, 125, 343\}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5\}$

পূর্ণসংখ্যা $x$ এবং $y$ এর বর্গের সমষ্টি 25 হতে পারে এমন জোড়গুলো হলো: $(0, \pm 5), (\pm 5, 0), (\pm 3, \pm 4), (\pm 4, \pm 3)$। ডোমেইন হলো এই ক্রমান্বিত জোড়গুলোর প্রথম উপাদানগুলোর সেট। অতএব, ডোমেইন = $\{-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5\}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 63

$A \times B$ সেটে উপাদান আছে $3 \times 2 = 6$টি। তাই $A$ থেকে $B$ তে মোট সম্পর্কের সংখ্যা হবে $2^6 = 64$টি। এর মধ্যে একটি সম্পর্ক হলো শূন্য সেট বা $\emptyset$। তাই অশূন্য সম্পর্কের সংখ্যা হবে $64 – 1 = 63$টি।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$

একটি সম্পর্ককে অপেক্ষক হতে হলে ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের কেবল একটিমাত্র প্রতিবিম্ব (Image) থাকতে হবে। (খ) অপশনে 1, 2 এবং 3 প্রত্যেকের একটিমাত্র নির্দিষ্ট প্রতিবিম্ব (4) রয়েছে (এটি একটি ধ্রুবক অপেক্ষক)। (ক), (গ) এবং (ঘ) অপশনে ডোমেইনের একটি উপাদানের একাধিক প্রতিবিম্ব রয়েছে, তাই তারা অপেক্ষক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-3, 3)$

অপেক্ষকটি সংজ্ঞায়িত হতে হলে হরের বর্গমূলের ভেতরের অংশটিকে শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে (কারণ হরে শূন্য থাকা সম্ভব নয়)। অর্থাৎ $9 – x^2 > 0 \implies x^2 < 9 \implies -3 < x < 3$। অন্তরাল আকারে এটি হলো $(-3, 3)$।

সঠিক উত্তর: (গ) $[0, \infty)$

যেকোনো মডুলাস অপেক্ষক বা পরম মান সর্বদা অঋণাত্মক ফলাফল দেয়, অর্থাৎ এর মান শূন্য বা শূন্যের চেয়ে বড় যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। $x = 2$ হলে এর সর্বনিম্ন মান 0 হয়। তাই রেঞ্জ হলো $[0, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) -3

গ্রেটেস্ট ইন্টিজার অপেক্ষক $[x]$ সর্বদা $x$-এর চেয়ে ছোট বা সমান সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাটি প্রদান করে। -2.3 এর চেয়ে ছোট সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাটি হলো -3। তাই $[-2.3] = -3$। (মনে রাখবেন, -2 কিন্তু -2.3 এর চেয়ে বড়, ছোট নয়)।

সঠিক উত্তর: (গ) সিগনাম (Signum) অপেক্ষক

এটি সিগনাম অপেক্ষকের প্রমিত বা স্ট্যান্ডার্ড গাণিতিক সংজ্ঞা। $x > 0$ হলে $f(x) = 1$, $x < 0$ হলে $f(x) = -1$ এবং $x = 0$ হলে $f(x) = 0$ হয়। এর রেঞ্জ হলো $\{-1, 0, 1\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 9

অপেক্ষকের বীজগণিত অনুযায়ী, $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$। সুতরাং $(f + g)(2) = f(2) + g(2)$। এখানে $f(2) = 2^2 = 4$ এবং $g(2) = 2(2) + 1 = 5$। অতএব, $4 + 5 = 9$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

প্রদত্ত $f(x) = x^2 – \frac{1}{x^2}$। এবার $x$-এর জায়গায় $1/x$ বসালে পাই: $f(1/x) = (1/x)^2 – (1/x)^{-2} = \frac{1}{x^2} – x^2 = -\left(x^2 – \frac{1}{x^2}\right) = -f(x)$। সুতরাং, $f(x) + f(1/x) = f(x) – f(x) = 0$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $(3, \infty)$

লগারিদমিক অপেক্ষক শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। তাই $x – 3 > 0$ হতে হবে (শূন্য বা ঋণাত্মক হওয়া যাবে না)। সুতরাং, $x > 3$। অন্তরাল আকারে এটি হলো $(3, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-\frac{1}{x}$

$f(f(x))$ নির্ণয় করতে $x$-এর জায়গায় সম্পূর্ণ $f(x)$ বসাতে হবে।
$f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x+1} – 1}{\frac{x-1}{x+1} + 1} = \frac{\frac{x-1-x-1}{x+1}}{\frac{x-1+x+1}{x+1}} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $f(x) = x^2 \cos x$

একটি অপেক্ষককে যুগ্ম (Even) বলা হয় যদি $f(-x) = f(x)$ হয়। (গ) নম্বর অপশনে $f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x)$, তাই এটি যুগ্ম অপেক্ষক। অন্যদিকে $x^3$ এবং $\sin x$ হলো অযুগ্ম বা Odd function কারণ $f(-x) = -f(x)$।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-\infty, 2)$

দেওয়া আছে $x > 0$। উভয়পাশে -3 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যাবে: $-3x < 0$। এবার উভয়পাশে 2 যোগ করলে: $2 - 3x < 2$। অর্থাৎ $f(x) < 2$। সুতরাং অপেক্ষকটির মান 2 এর চেয়ে ছোট যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যা অন্তরাল আকারে $(-\infty, 2)$।

সঠিক উত্তর: (খ) সব অপেক্ষকই সম্পর্ক, কিন্তু সব সম্পর্ক অপেক্ষক নয়।

অপেক্ষক হলো একটি বিশেষ ধরণের সম্পর্ক যেখানে একটি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ হতে হয় (ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের কেবল একটিমাত্র প্রতিবিম্ব থাকতে হবে)। তাই প্রতিটি ফাংশনই কার্তেসীয় গুণফলের উপসেট অর্থাৎ সম্পর্ক, কিন্তু সব সম্পর্কে এই শর্ত পূরণ হয় না, তাই তারা ফাংশন নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $a = 1, b = 2$

দেওয়া আছে, $f(0) = 3 \implies a(0) + b(0) + c = 3 \implies c = 3$।
এরপর $f(1) = 6 \implies a + b + 3 = 6 \implies a + b = 3$ (সমীকরণ 1)।
আবার $f(2) = 11 \implies 4a + 2b + 3 = 11 \implies 4a + 2b = 8 \implies 2a + b = 4$ (সমীকরণ 2)।
সমীকরণ 2 থেকে 1 বিয়োগ করলে পাই: $(2a – a) + (b – b) = 4 – 3 \implies a = 1$। অতএব $b = 3 – 1 = 2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $[\frac{1}{3}, 1]$

আমরা জানি, $\cos x$ এর মান $-1$ থেকে $1$ এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ $-1 \le \cos x \le 1$।
তাহলে, $-1 \le -\cos x \le 1$
$2$ যোগ করলে, $2 – 1 \le 2 – \cos x \le 2 + 1 \implies 1 \le 2 – \cos x \le 3$।
ব্যস্ত (reciprocal) নিলে, $\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 – \cos x} \le 1$। তাই রেঞ্জ হলো $[\frac{1}{3}, 1]$।

সঠিক উত্তর: (ক) হ্যাঁ, কারণ প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি অদ্বিতীয় দ্বিগুণ মান থাকে।

ডোমেইন হলো $\mathbb{N}$। যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $x$ এর জন্য $y = 2x$ সর্বদা একটি অদ্বিতীয় (Unique) স্বাভাবিক সংখ্যা প্রদান করে। যেমন, $x=1$ হলে $y=2$; $x=2$ হলে $y=4$ ইত্যাদি। যেহেতু ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের একটি নির্দিষ্ট প্রতিবিম্ব আছে, তাই এটি একটি অপেক্ষক।

সঠিক উত্তর: (খ) $\mathbb{R} – \{3\}$

এটি একটি মূলদ অপেক্ষক। অপেক্ষকটি সংজ্ঞায়িত হবে না যদি হর শূন্য হয়। অর্থাৎ $x – 3 = 0 \implies x = 3$। তাই $x$ এর মান 3 হতে পারবে না। সুতরাং, ডোমেইন হলো সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে 3 বাদ, অর্থাৎ $\mathbb{R} – \{3\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $x$

$f(g(x)) = f(a^x) = \log_a(a^x)$। লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, ঘাত (power) সামনে চলে আসে। তাই $\log_a(a^x) = x \log_a a$। যেহেতু $\log_a a = 1$, তাই $f(g(x)) = x \cdot 1 = x$। (এরা একে অপরের বিপরীত অপেক্ষক বা Inverse functions)।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{0, 1, 2\}$

এখানে $y = |x|$। ডোমেইনের মানগুলো বসালে আমরা পাই: $|-2| = 2$, $|-1| = 1$, $|0| = 0$, $|1| = 1$, $|2| = 2$। সুতরাং রেঞ্জ হলো এই মানগুলোর সেট, অর্থাৎ $\{0, 1, 2\}$। (সেটে কোনো উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না)।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$

বর্গমূলের ভেতরের অংশ অঋণাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ $x^2 – 16 \ge 0 \implies x^2 \ge 16$। এর সমাধান হলো $x \ge 4$ অথবা $x \le -4$। অন্তরাল আকারে লিখলে এটি দাঁড়ায় $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (গ) মূলবিন্দু (Origin)

অযুগ্ম অপেক্ষকের শর্ত হলো $f(-x) = -f(x)$। এর মানে হলো, লেখচিত্রটি প্রথম চতুর্ভাগে যেমন দেখতে হয়, তৃতীয় চতুর্ভাগেও ঠিক তেমনই হয়, কিন্তু উল্টো দিকে। এই ধরনের প্রতিসাম্যকে মূলবিন্দু বা Origin-এর সাপেক্ষে প্রতিসম বলা হয়। (যুগ্ম অপেক্ষক $Y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হয়)।

সঠিক উত্তর: (ক) $x$

$f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax + b}{cx – a}) + b}{c(\frac{ax + b}{cx – a}) – a} = \frac{\frac{a^2x + ab + bcx – ab}{cx – a}}{\frac{cax + bc – cax + a^2}{cx – a}} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$। যেহেতু $f(f(x)) = x$, তাই এটি নিজেরই বিপরীত অপেক্ষক (Inverse function)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{x + 5}{3}$

ধরি, $y = 3x – 5$। বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয় করতে হলে সমীকরণটিকে $x$-এর সাপেক্ষে সমাধান করতে হবে।
$y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3}$।
এবার $x$ এবং $y$ এর স্থান পরিবর্তন করলে পাই $y = \frac{x + 5}{3}$, যা হলো $f^{-1}(x)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $(2, b)$

$B \times A$ এর ক্রমান্বিত জোড়গুলোর প্রথম উপাদানটি অবশ্যই $B$ সেট (1 বা 2) থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি $A$ সেট ($a, b, c$) থেকে আসতে হবে। (খ) অপশনে 2 হলো $B$ এর উপাদান এবং $b$ হলো $A$ এর উপাদান, তাই এটি সঠিক। (ক) হলো $A \times B$ এর উপাদান।

সঠিক উত্তর: (গ) পূর্ণসংখ্যার সেট ($\mathbb{Z}$)

গ্রেটেস্ট ইন্টিজার অপেক্ষকের কাজই হলো যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ইনপুট হিসেবে নিয়ে ফলাফল হিসেবে একটি পূর্ণসংখ্যা (Integer) প্রদান করা। যেহেতু এর আউটপুট সর্বদা পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন $[2.5]=2$, $[-1.1]=-2$), তাই এর পাল্লা বা রেঞ্জ হলো সকল পূর্ণসংখ্যার সেট ($\mathbb{Z}$)।

সঠিক উত্তর: (গ) ডোমেইন (Domain)

অপেক্ষকের গাণিতিক প্রকাশ $f: A \to B$ তে, $A$ কে বলা হয় অপেক্ষকটির ডোমেইন (Domain) বা সংজ্ঞার অঞ্চল, এবং $B$ কে বলা হয় কো-ডোমেইন (Co-domain)। রেঞ্জ হলো $B$-এর সেইসব উপাদান যেগুলো $A$-এর উপাদানের সাথে যুক্ত হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\sin^2 x$

এটি কম্পোজিট ফাংশন বা অপেক্ষকের সংযোজন। $f(g(x))$ বের করতে হলে $f(x)$-এর সমীকরণে $x$-এর জায়গায় $g(x)$ বসাতে হবে।
$f(x) = x^2$
$f(g(x)) = (g(x))^2 = (\sin x)^2 = \sin^2 x$।

সঠিক উত্তর: (গ) একটি সরলরেখা, যার $x=1$ বিন্দুতে একটি শূন্যস্থান (Hole) আছে

$f(x) = \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1}$। যদি $x \neq 1$ হয়, তবে $x-1$ কাটা গিয়ে থাকে $f(x) = x + 1$, যা একটি সরলরেখার সমীকরণ। কিন্তু $x = 1$ বিন্দুতে হর শূন্য হয়ে যায় বলে ফাংশনটি অসংজ্ঞাত হয়। তাই রেখাটির $x=1$ বিন্দুতে একটি ফাঁক বা Hole থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) $[1, \infty)$

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$-এর বর্গ $x^2$ সর্বদা অঋণাত্মক (অর্থাৎ $x^2 \ge 0$) হয়। এর সাথে 1 যোগ করলে $x^2 + 1 \ge 1$ হয়। সুতরাং, $y$-এর মান 1 বা তার চেয়ে বড় যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। তাই রেঞ্জ হলো $[1, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2f(x)$

$x$ এর জায়গায় $\frac{2x}{1+x^2}$ বসাই:
$f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \log\left(\frac{1 + \frac{2x}{1+x^2}}{1 – \frac{2x}{1+x^2}}\right) = \log\left(\frac{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log\left(\frac{(1+x)^2}{(1-x)^2}\right) = \log\left[\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2\right] = 2\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2f(x)$।

সঠিক উত্তর: (খ) না, কারণ এটি একটি পর্যায়বৃত্ত (Periodic) অপেক্ষক।

এক-এক বা One-to-one অপেক্ষকের ক্ষেত্রে, ডোমেইনের প্রতিটি ভিন্ন উপাদানের জন্য রেঞ্জে ভিন্ন ভিন্ন মান থাকতে হয় (অর্থাৎ $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$)। কিন্তু $f(x) = \sin x$ এর ক্ষেত্রে $\sin(0) = 0, \sin(\pi) = 0, \sin(2\pi) = 0$ ইত্যাদি। ডোমেইনের একাধিক মান (যেমন $0, \pi, 2\pi$) রেঞ্জের একই মান (0) প্রদান করে। তাই এটি এক-এক অপেক্ষক নয়, এটি বহু-এক (Many-to-one) অপেক্ষক।

সঠিক উত্তর: (গ) $[1, 2]$

দুটি অপেক্ষকের যোগফলের ডোমেইন হলো তাদের নিজ নিজ ডোমেইনের ছেদ (Intersection)।
$f(x)$ এর জন্য: $2 – x \ge 0 \implies x \le 2$ (ডোমেইন $D_f = (-\infty, 2]$)।
$g(x)$ এর জন্য: $x – 1 \ge 0 \implies x \ge 1$ (ডোমেইন $D_g = [1, \infty)$)।
এদের ছেদ করলে পাই $1 \le x \le 2$। সুতরাং $(f+g)(x)$ এর ডোমেইন হলো $[1, 2]$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) (ক) এবং (গ) উভয়ই সঠিক。

মডুলাসের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
যদি $x < 0$ হয়, তবে $|x| = -x$। তখন $f(x) = -x + x = 0$ (অর্থাৎ এটি $X$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের ওপর সমাপতিত হয়)।
যদি $x \ge 0$ হয়, তবে $|x| = x$। তখন $f(x) = x + x = 2x$ (যা মূলবিন্দুগামী এবং ধনাত্মক ঢালবিশিষ্ট রেখা)।
যেহেতু এর মান 0 বা ধণাত্মক, তাই এটি $X$-অক্ষের নিচে যায় না। অতএব (ক) ও (গ) উভয়ই সঠিক।

সঠিক উত্তর: (ক) $\sqrt{2}$ এবং $\frac{1}{2}$

$f(g(x))$ এর জন্য $f(x)$ এ $x$-এর জায়গায় $g(x)$ অর্থাৎ $1/2$ বসাতে হবে। $f(1/2) = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
$g(f(x))$ এর জন্য $g(x)$ এ $x$-এর জায়গায় $f(x)$ বসাতে হবে। কিন্তু $g(x)$ একটি ধ্রুবক অপেক্ষক ($1/2$), এতে কোনো $x$ নেই। তাই ইনপুট যাই হোক না কেন, এর আউটপুট সর্বদা $1/2$-ই হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

ধরি, $y = \frac{x}{1+x^2}$। তাহলে, $y + yx^2 = x \implies yx^2 – x + y = 0$।
এটি $x$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেহেতু $x$ বাস্তব সংখ্যা, তাই নিরূপক (Discriminant) $\ge 0$ হতে হবে।
অর্থাৎ, $b^2 – 4ac \ge 0 \implies (-1)^2 – 4(y)(y) \ge 0 \implies 1 – 4y^2 \ge 0 \implies 4y^2 \le 1 \implies y^2 \le \frac{1}{4}$।
এর সমাধান হলো $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$। সুতরাং, পাল্লা হলো $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$।

সঠিক উত্তর: (খ) না, কারণ ডোমেইনের একই $x$-এর মানের জন্য রেঞ্জে দুটি ভিন্ন $y$ মান থাকতে পারে।

সমীকরণটি থেকে পাই $y^2 = 1 – x^2 \implies y = \pm \sqrt{1 – x^2}$। উদাহরণস্বরূপ, যদি $x = 0$ হয়, তবে $y = 1$ অথবা $y = -1$। অর্থাৎ ডোমেইনের একটি উপাদানের (0) জন্য রেঞ্জে দুটি প্রতিবিম্ব (1, -1) রয়েছে। অপেক্ষক হওয়ার শর্ত অনুযায়ী প্রতিটি $x$-এর কেবল একটিমাত্র $y$ থাকা উচিত। তাই এটি অপেক্ষক নয়। (এটি মূলত একটি বৃত্তের সমীকরণ, যা উলম্ব রেখা পরীক্ষা বা Vertical line test এ ফেল করে)।

সঠিক উত্তর: (গ) $[0, 1)$

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$-কে একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশের যোগফল হিসেবে লেখা যায়। $x = [x] + \{x\}$, যেখানে $\{x\}$ হলো ফ্র্যাকশনাল পার্ট। তাই $f(x) = \{x\} = x – [x]$। এই ভগ্নাংশের মান সর্বদা 0 এর সমান বা বড় কিন্তু 1 এর চেয়ে ছোট হয়। যেমন, $x = 2.7$ হলে $2.7 – 2 = 0.7$; $x=3$ হলে $3-3=0$। তাই রেঞ্জ হলো $[0, 1)$।

সঠিক উত্তর: (ক) $6x^3 – 15x^2 + 2x – 5$

অপেক্ষকের গুণফলের নিয়ম অনুযায়ী, $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$।
$(2x – 5) \cdot (3x^2 + 1) = 2x(3x^2) + 2x(1) – 5(3x^2) – 5(1)$
$= 6x^3 + 2x – 15x^2 – 5 = 6x^3 – 15x^2 + 2x – 5$।

সঠিক উত্তর: (খ) $[-2, 0) \cup (0, 1)$

এখানে তিনটি শর্ত মানতে হবে:
1. বর্গমূলের জন্য: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$।
2. লগারিদমের জন্য: $1 – x > 0 \implies x < 1$।
3. হরের জন্য: হরে শূন্য থাকা যাবে না, তাই $\log_e(1 – x) \neq 0 \implies 1 – x \neq 1 \implies x \neq 0$।
এই তিনটি শর্ত ($-2 \le x < 1$ এবং $x \neq 0$) কে একত্রিত করলে ডোমেইন হয় $[-2, 0) \cup (0, 1)$।

সঠিক উত্তর: (খ) অযুগ্ম (Odd)

দেওয়া আছে, $f(-x) = f(x)$ (যুগ্ম) এবং $g(-x) = -g(x)$ (অযুগ্ম)।
এখন $h(x)$ এ $x$-এর জায়গায় $-x$ বসালে,
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot [-g(x)] = – [f(x) \cdot g(x)] = -h(x)$।
যেহেতু $h(-x) = -h(x)$, তাই $h(x)$ একটি অযুগ্ম বা Odd অপেক্ষক হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) এর লেখচিত্র $Y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম (Symmetrical)।

$f(-x) = 3^{-x} + 3^{-(-x)} = 3^{-x} + 3^x = 3^x + 3^{-x} = f(x)$।
যেহেতু $f(-x) = f(x)$, তাই এটি একটি যুগ্ম (Even) অপেক্ষক। আমরা জানি, যুগ্ম অপেক্ষকের লেখচিত্র সর্বদা $Y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{y+2}{y-1}$

$y = \frac{x+2}{x-1}$
বজ্রগুণ করে পাই: $y(x – 1) = x + 2 \implies yx – y = x + 2$
$x$ যুক্ত পদগুলোকে একপাশে আনি: $yx – x = y + 2 \implies x(y – 1) = y + 2$
সুতরাং, $x = \frac{y + 2}{y – 1}$। (আকর্ষণীয় বিষয় হলো, এই অপেক্ষকটির বিপরীত অপেক্ষকও ঠিক তার নিজের মতোই)।

সঠিক উত্তর: (ক) 6

ডোমেইন $A$-তে 3টি এবং কো-ডোমেইন $B$-তে 3টি উপাদান আছে। এক-এক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে $A$-এর প্রতিটি উপাদান $B$-এর ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের সাথে যুক্ত হবে। $A$-এর 1ম উপাদানের জন্য 3টি বিকল্প আছে, 2য় উপাদানের জন্য 2টি এবং 3য় উপাদানের জন্য 1টি বিকল্প আছে। তাই মোট এক-এক অপেক্ষক হবে $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$টি। (সাধারণ সূত্র: ${}^n P_m$, এখানে ${}^3 P_3$)।

সঠিক উত্তর: (খ) এটি পর্যায়বৃত্ত (Periodic) অপেক্ষক নয়।

সাধারণ $\sin x$ পর্যায়বৃত্ত হলেও, $\sin[x]$ পর্যায়বৃত্ত নয়। কারণ $[x]$ একটি ধাপে ধাপে বৃদ্ধি পাওয়া অপেক্ষক (Step function), যা অবিচ্ছিন্নভাবে বৃদ্ধি পায় না। $x$-এর মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে হলে $[x]=0 \implies f(x) = \sin(0) = 0$। 1 থেকে 2 এর মধ্যে হলে $f(x) = \sin(1)$ ইত্যাদি। এর লেখচিত্র ধাপে ধাপে থাকে এবং নির্দিষ্ট বিরতিতে নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে না।