সঠিক উত্তর: (গ) পৃথিবীর সেরা 11 জন ক্রিকেট খেলোয়াড়ের সংগ্রহ

একটি সংগ্রহকে সেট হতে হলে তাকে সুসংজ্ঞাত (well-defined) হতে হবে, অর্থাৎ কোনো উপাদান ওই সংগ্রহের অন্তর্ভুক্ত হবে কি না তা নিশ্চিতভাবে বলা যেতে হবে। ‘সেরা’ শব্দটি আপেক্ষিক এবং ব্যক্তিভেদে পরিবর্তিত হয়। তাই এটি সুসংজ্ঞাত সেট নয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $\{x : x \in \mathbb{N}, 2 < x < 3\}$

$\mathbb{N}$ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার (Natural numbers) সেট। 2 এবং 3-এর মাঝে কোনো স্বাভাবিক বা পূর্ণ সংখ্যা নেই। তাই এই সেটে কোনো উপাদান থাকতে পারে না, অর্থাৎ এটি একটি শূন্য বা ফাঁকা সেট ($\emptyset$)। (খ) সেটে 0 আছে, (গ) সেটে 2 আছে, তাই এগুলো শূন্য সেট নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $2^n$

কোনো সেটের সূচক সেট বা Power set হলো ওই সেটের সম্ভাব্য সকল উপসেটের (Subsets) সংগ্রহ। গাণিতিক সূত্র অনুযায়ী, $n$ সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট কোনো সেটের মোট উপসেটের সংখ্যা হয় $2^n$। তাই সূচক সেটের উপাদান সংখ্যাও $2^n$ হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) $\{1, 2, 3\}$

কোনো সেট $B$ যদি $A$ সেটের উপসেট হয় এবং $B \neq A$ হয়, তবে $B$-কে $A$-এর যথার্থ উপসেট বলে। $\{1, 2, 3\}$ সেটটি মূল সেটের সম্পূর্ণ সমান, তাই এটি উপসেট হলেও যথার্থ উপসেট নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $(-4, 5]$

এখানে $x$-এর মান -4 এর চেয়ে বড় ($<$), তাই -4 অন্তর্ভুক্ত নয়; এজন্য প্রথম বন্ধনী (Open interval) বসবে। আবার $x$-এর মান 5 এর সমান বা ছোট ($\le$), তাই 5 অন্তর্ভুক্ত; এজন্য তৃতীয় বন্ধনী (Closed interval) বসবে। সুতরাং সঠিক রূপ হলো $(-4, 5]$।

সঠিক উত্তর: (খ) $A’ \cap B’$

ডি মরগানের প্রথম সূত্র অনুযায়ী, দুটি সেটের সংযোগের (Union) পূরক সেট (Complement) তাদের নিজ নিজ পূরক সেটের ছেদের (Intersection) সমান হয়। গাণিতিকভাবে: $(A \cup B)’ = A’ \cap B’$।

সঠিক উত্তর: (খ) $A \cap B = \emptyset$

দুটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ বা কমন (Common) উপাদান না থাকে, তবে তাদের বিচ্ছেদ বা Disjoint সেট বলা হয়। যেহেতু কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই তাদের ছেদ বা Intersection সর্বদা একটি শূন্য সেট ($\emptyset$) হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $\{x : x \in A$ এবং $x \notin B\}$

$A – B$ বলতে সেই উপাদানগুলোর সেটকে বোঝায়, যেগুলো $A$ সেটে আছে কিন্তু $B$ সেটে নেই। অর্থাৎ উপাদানটি অবশ্যই $A$ এর অন্তর্গত ($x \in A$) হতে হবে এবং একইসাথে $B$ এর অন্তর্গত হওয়া যাবে না ($x \notin B$)।

সঠিক উত্তর: (ক) 40

দুটি সেটের সংযোগের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$। প্রদত্ত মানগুলো সমীকরণে বসালে আমরা পাই, $n(A \cup B) = 20 + 30 – 10 = 50 – 10 = 40$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $A$

$A’$ বা $A$-এর পূরক সেট বলতে বোঝায় সার্বিক সেটের সেই উপাদানগুলো যেগুলো $A$-তে নেই। আবার এর পূরক $(A’)’$ করলে আমরা সেই উপাদানগুলোই ফিরে পাই যেগুলো $A$ সেটে উপস্থিত আছে। তাই পূরকের পূরক করলে মূল সেটটিই ($A$) ফিরে পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) উপরের দুটিই সঠিক

$A \Delta B$ বলতে সেই উপাদানগুলোকে বোঝায় যেগুলো শুধুমাত্র $A$ অথবা শুধুমাত্র $B$-তে আছে, কিন্তু দুটিতেই একসাথে নেই। একে $(A – B) \cup (B – A)$ হিসেবে লেখা যায়। আবার, মোট উপাদান থেকে সাধারণ উপাদানগুলো বাদ দিয়ে অর্থাৎ $(A \cup B) – (A \cap B)$ হিসেবেও এটি প্রকাশ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) 50

ধরি, বাংলায় কথা বলা মানুষের সেট $B$ এবং ইংরেজিতে কথা বলা মানুষের সেট $E$। এখানে, $n(B \cup E) = 400$, $n(B) = 250$ এবং $n(E) = 200$। সূত্র $n(B \cap E) = n(B) + n(E) – n(B \cup E)$ প্রয়োগ করে পাই, $n(B \cap E) = 250 + 200 – 400 = 450 – 400 = 50$ জন।

সঠিক উত্তর: (ঘ) (খ) এবং (গ) উভয়ই

সার্বিক সেট হলো এমন একটি সেট যার অধীনে আলোচ্য অন্যান্য সব সেট উপসেট হিসেবে থাকে। সমকোণী ত্রিভুজগুলো অবশ্যই ‘সকল ত্রিভুজের সেটের’ উপসেট। আবার ত্রিভুজ হলো এক প্রকার বহুভুজ (Polygon), তাই ‘সকল বহুভুজের সেট’-কেও এর সার্বিক সেট হিসেবে ধরা যেতে পারে।

সঠিক উত্তর: (খ) $A = B$

$A \subseteq B$ মানে $A$-এর সব উপাদান $B$-তে আছে। আবার $B \subseteq A$ মানে $B$-এর সব উপাদান $A$-তে আছে। এটি কেবলমাত্র তখনই সম্ভব যখন দুটি সেটের উপাদানগুলো হুবহু একই হয়। সেট তত্ত্বের এটি একটি মৌলিক ধর্ম, যা প্রমাণ করে যে সেট দুটি সমান ($A = B$)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\emptyset$

$A’$ বা পূরক সেটে সেই উপাদানগুলোই থাকে যেগুলো $A$ সেটে নেই। অর্থাৎ $A$ এবং $A’$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ বা কমন উপাদান থাকা সম্ভব নয়। তাই এদের ছেদ (Intersection) করলে সর্বদা একটি শূন্য বা ফাঁকা সেট ($\emptyset$) পাওয়া যায়। (মনে রাখতে হবে, $A \cup A’ = U$ হয়)।

সঠিক উত্তর: (গ) 2

শূন্য সেটে কোনো উপাদান থাকে না, অর্থাৎ $n(\emptyset) = 0$। এর সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা হবে $2^0 = 1$, যা হলো $P(\emptyset) = \{\emptyset\}$। এবার এই নতুন সেটের (যার উপাদান সংখ্যা 1) আবার সূচক সেট নির্ণয় করলে তার উপাদান সংখ্যা হবে $2^1 = 2$। সেটটি হবে $P(P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $A = B$

সাধারণত $A \cap B \subseteq A \cup B$ হয়। কিন্তু সমীকরণে দেওয়া আছে $A \cup B = A \cap B$। এর মানে হলো দুটি সেটের সংযোগ (সব উপাদান) এবং ছেদ (কেবলমাত্র সাধারণ উপাদান) হুবহু একই। এটি একমাত্র তখনই সম্ভব যখন উভয় সেটের প্রতিটি উপাদান সম্পূর্ণ অভিন্ন হয়, অর্থাৎ $A = B$।

সঠিক উত্তর: (খ) 6

দেওয়া আছে $A \subseteq B$, অর্থাৎ $A$ সেটের সকল উপাদান $B$ সেটেরও উপাদান। এই অবস্থায় $A$ এবং $B$ এর সংযোগ (Union) করলে তা সম্পূর্ণ $B$ সেটটিকেই প্রদান করে, অর্থাৎ $A \cup B = B$ হয়। তাই $n(A \cup B) = n(B) = 6$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

অন্তত একটি খেলা খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা $n(F \cup C) = n(F) + n(C) – n(F \cap C) = 30 + 25 – 10 = 45$ জন। মোট ছাত্রসংখ্যা 50 জন। অতএব, কোনো খেলাই খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = $50 – 45 = 5$ জন।

সঠিক উত্তর: (গ) $\{2, 3\}$

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $x^2 – 5x + 6 = 0$। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই, $x^2 – 3x – 2x + 6 = 0 \Rightarrow x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 \Rightarrow (x – 2)(x – 3) = 0$। অতএব $x = 2$ অথবা $x = 3$। সুতরাং রোস্টার পদ্ধতিতে সেটটি হবে $\{2, 3\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\emptyset$

$A – B$ হলো সেইসব উপাদানের সেট যা কেবলমাত্র $A$-তে আছে কিন্তু $B$-তে নেই। একইভাবে, $B – A$ হলো সেইসব উপাদানের সেট যা কেবলমাত্র $B$-তে আছে কিন্তু $A$-তে নেই। এই দুটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান থাকা সম্ভব নয়। তাই এদের ছেদ একটি শূন্য সেট ($\emptyset$) হবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $A$

এই সূত্রটিকে শোষণ সূত্র (Absorption law) বলা হয়। $A \cup B$ সেটের মধ্যে $A$ সেটের সকল উপাদান এবং $B$ সেটের উপাদানগুলো রয়েছে। এর সাথে যখন পুনরায় $A$ সেটের ছেদ (Intersection) নেওয়া হয়, তখন শুধুমাত্র সাধারণ উপাদানগুলোই নেওয়া হয়, যা হলো সম্পূর্ণ $A$ সেটটি।

সঠিক উত্তর: (গ) $A’$

ডি মরগানের সূত্র প্রয়োগ করে আমরা পাই, $(A \cup B)’ = A’ \cap B’$। এবার সম্পূর্ণ রাশিটি দাঁড়ায়: $(A’ \cap B’) \cup (A’ \cap B)$। বণ্টন সূত্র (Distributive law) প্রয়োগ করলে পাই: $A’ \cap (B’ \cup B)$। যেহেতু $B’ \cup B = U$ (সার্বিক সেট), তাই $A’ \cap U = A’$।

সঠিক উত্তর: (খ) 7

যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হয়, তবে তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় $2^n$। প্রশ্ন অনুযায়ী, $2^n = 128$। আমরা জানি $2^7 = 128$। অতএব, সেটটিতে মোট 7টি উপাদান রয়েছে।

সঠিক উত্তর: (খ) 40

প্রথমে $n(A \cup B)$ বের করতে হবে: $n(A \cup B) = 50 + 20 – 10 = 60$। ডি মরগানের সূত্র অনুযায়ী, $A’ \cap B’ = (A \cup B)’$। এর মান হলো সার্বিক সেট ($U$) থেকে $A \cup B$ বাদ দেওয়া। সুতরাং, $n(A’ \cap B’) = n(U) – n(A \cup B) = 100 – 60 = 40$।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

$n$ সংখ্যক উপাদানের কোনো সেটের মোট উপসেট সংখ্যা $2^n$। এর মধ্যে 1টি উপসেট হলো সেটটি নিজে, যা যথার্থ উপসেট নয়। তাই যথার্থ উপসেটের সংখ্যার সূত্র হলো $2^n – 1$। প্রশ্নমতে, $2^n – 1 = 15 \Rightarrow 2^n = 16 \Rightarrow 2^n = 2^4$। অতএব, $n = 4$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

$A \times B$ সেটের উপাদানগুলো $(x, y)$ আকারের যেখানে $x \in A$ এবং $y \in B$। একইভাবে $B \times A$ এর উপাদানগুলো $(y, x)$ আকারের। যদি $A$ এবং $B$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে ($A \cap B = \emptyset$), তবে $(x, y)$ এবং $(y, x)$ কখনোই সমান হতে পারে না। তাই এদের ছেদ সেটে কোনো উপাদান থাকবে না (0)।

সঠিক উত্তর: (ক) $\{2, 3, 4\}$

প্রথমে $B \cup C$ নির্ণয় করি: $B \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 8\}$। এবার এই সেটের সাথে $A$ সেটের ছেদ (Intersection) নিতে হবে। $A = \{1, 2, 3, 4\}$। এই দুটি সেটের মধ্যে সাধারণ উপাদানগুলো হলো 2, 3 এবং 4। সুতরাং, নির্ণেয় সেটটি হলো $\{2, 3, 4\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 9

আমরা জানি, $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$। এই মানটি সর্বাধিক হবে যখন $n(A \cap B)$ এর মান সর্বনিম্ন হবে। ছেদ সেটের সর্বনিম্ন মান 0 হতে পারে (যদি তারা বিচ্ছেদ সেট হয়)। সুতরাং, $n(A \cup B)$ এর সর্বাধিক মান $4 + 5 – 0 = 9$ হতে পারে।

সঠিক উত্তর: (খ) $[0, 1)$

$A$ হলো $(-1, 1)$ এবং $B$ হলো $[0, 2]$ অন্তরাল। ছেদ (Intersection) বলতে বোঝায় সেই অংশটুকু যা উভয় অন্তরালেই আছে। উভয় সেটে 0 থেকে শুরু করে 1 এর ঠিক আগ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো সাধারণ। 0 মানটি উভয় সেটে আছে (তাই থার্ড ব্র্যাকেট), কিন্তু 1 মানটি $A$ তে নেই (তাই ফার্স্ট ব্র্যাকেট)। অর্থাৎ, $[0, 1)$।