সঠিক উত্তর: (গ) 40

সূত্র অনুযায়ী, $x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)$
মান বসিয়ে পাই, $x^2 – y^2 = 10 \times 4 = 40$

সঠিক উত্তর: (ক) 80

সূত্র অনুযায়ী, $x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy$
মান বসিয়ে পাই, $x^2 + y^2 = 144 – 2(32) = 144 – 64 = 80$

সঠিক উত্তর: (গ) 36

সূত্র অনুযায়ী, $(a – b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab$
মান বসিয়ে পাই, $5^2 = 97 – 2ab$
$25 = 97 – 2ab$
$2ab = 97 – 25$
$2ab = 72$
$ab = 36$

সঠিক উত্তর: (গ) 4

এটি $\frac{(a+b)^2 – (a-b)^2}{ab}$ ফর্মে রয়েছে, যেখানে $a = 75$ এবং $b = 25$।
আমরা জানি, $(a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিমালা = $\frac{4ab}{ab} = 4$
এখানে $a$ এবং $b$ এর মান যাই হোক না কেন, উত্তর সবসময় 4 হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 152

সূত্র অনুযায়ী, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)$
মান বসিয়ে পাই, $a^3 + b^3 = (8)^3 – 3(15)(8)$
$a^3 + b^3 = 512 – 360$
$a^3 + b^3 = 152$

সঠিক উত্তর: (গ) 117

সূত্র অনুযায়ী, $x^3 – y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y)$
মান বসিয়ে পাই, $x^3 – y^3 = (3)^3 + 3(10)(3)$
$x^3 – y^3 = 27 + 90$
$x^3 – y^3 = 117$

সঠিক উত্তর: (গ) 1.0

এটি $\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2}$ ফর্মে রয়েছে, যেখানে $a = 0.8$ এবং $b = 0.2$।
আমরা জানি, $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিমালা = $\frac{(a+b)(a^2 – ab + b^2)}{a^2 – ab + b^2} = a+b$
মান বসিয়ে পাই, $0.8 + 0.2 = 1.0$

সঠিক উত্তর: (ক) 23

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$
$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 25$
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 – 2 = 23$
শর্টকাট: যদি $x + \frac{1}{x} = k$ হয়, তবে $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 – 2$। এখানে $5^2 – 2 = 23$

সঠিক উত্তর: (গ) 18

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(x – \frac{1}{x})^2 = 4^2$
$x^2 – 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 16$
$x^2 – 2 + \frac{1}{x^2} = 16$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18$
শর্টকাট: যদি $x – \frac{1}{x} = k$ হয়, তবে $x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 + 2$। এখানে $4^2 + 2 = 18$

সঠিক উত্তর: (ক) 18

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,
$(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 – 9 = 18$
শর্টকাট: যদি $x + \frac{1}{x} = k$ হয়, তবে $x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 – 3k$। এখানে $3^3 – 3(3) = 27 – 9 = 18$

সঠিক উত্তর: (ঘ) 14

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,
$(x – \frac{1}{x})^3 = 2^3$
$x^3 – \frac{1}{x^3} – 3(x)(\frac{1}{x})(x – \frac{1}{x}) = 8$
$x^3 – \frac{1}{x^3} – 3(2) = 8$
$x^3 – \frac{1}{x^3} = 8 + 6 = 14$
শর্টকাট: যদি $x – \frac{1}{x} = k$ হয়, তবে $x^3 – \frac{1}{x^3} = k^3 + 3k$। এখানে $2^3 + 3(2) = 8 + 6 = 14$

সঠিক উত্তর: (গ) $3abc$

বীজগণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো: $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
যেহেতু $a + b + c = 0$ দেওয়া আছে, তাই ডানদিকের পুরো অংশটি 0 হয়ে যাবে।
সুতরাং, $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0$
$\implies a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

সঠিক উত্তর: (খ) $4xy$

বর্গ নির্ণয়ের সূত্র অনুযায়ী আমরা পাই:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
$(x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$
বিয়োগ করলে: $(x^2 + 2xy + y^2) – (x^2 – 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 – x^2 + 2xy – y^2 = 4xy$

সঠিক উত্তর: (ক) 5

আমরা জানি, $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিমালা = $\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a – b$
মান বসিয়ে পাই, $15 – 10 = 5$

সঠিক উত্তর: (খ) 4

আমরা জানি, $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$
দেওয়া আছে, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$
মান বসিয়ে পাই, $(x + \frac{1}{x})^2 = 14 + 2 = 16$
যেহেতু $x > 0$, তাই $x + \frac{1}{x} = \sqrt{16} = 4$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 – 2 = 14$। পুনরায় বর্গ করলে $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14^2 – 2 = 196 – 2 = 194$।

সমীকরণকে $x$ দিয়ে ভাগ করলে $x – 4 + \frac{1}{x} = 0 \implies x + \frac{1}{x} = 4$। মান $= 4^2 – 2 = 14$।

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5^2 + 2 = 27$।

$x + \frac{1}{x} = 3^2 – 2 = 7$। পুনরায় বর্গ করলে $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7^2 – 2 = 47$।

$x = 2y = 3z = k$ ধরে সমাধান করে পাওয়া যায় উত্তর $1/12$।

$x+y=4$ এবং $4(x-y)=1$। সমাধান করলে $x = 17/8, y = 15/8$।

লব: $2^n(16 – 2) = 14 \cdot 2^n$। হর: $2 \cdot 2^n \cdot 8 = 16 \cdot 2^n$। উত্তর: $14/16 = 7/8$।

এখানে $a = 1$। সুতরাং $1^{100} + 1/1^{100} = 1 + 1 = 2$।

$x – \frac{1}{x} = \sqrt{11 – 2} = 3$। তাহলে $x^3 – \frac{1}{x^3} = 3^3 + 3(3) = 36$।

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 5$। বর্গ করলে $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} + 2 = 25 \implies 23$।

$\frac{1}{x} = 2 – \sqrt{3}$। সুতরাং $x + \frac{1}{x} = 4$।

এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি $(x^2+5x+5)^2$।

$x^2+y^2 = 625$। $(x+y)^2 = 625 + 2(300) = 1225$। $x+y = 35$।

$a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \implies 56 = 2 \times (\text{রাশিটি}) \implies 28$।

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \sqrt{322+2} = 18$। $x – \frac{1}{x} = \sqrt{18-2} = 4$।

$a=4, b=3$ বসালে: $\frac{3(4)+2(3)}{3(4)-2(3)} = \frac{18}{6} = 3$।

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 25+24 = 49$। $x+y = 7$।

এটি $x-1$ এর সমান। $999 – 1 = 998$।

$x + \frac{1}{x} = 1.5$। $x^3 + \frac{1}{x^3} = (1.5)^3 – 3(1.5) = 3.375 – 4.5 = -1.125$। সুতরাং $-1.125 + 2 = 0.875$।

$x^2 – 2 + \frac{1}{x^2} = 0 \implies (x – \frac{1}{x})^2 = 0 \implies 0$।

$(4^3)^{-\frac{2}{3}} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = 1/16$।

$2^x(2^{-1} + 2^1) = 320 \implies 2^x(2.5) = 320 \implies 2^x = 128 = 2^7 \implies x=7$।

$2^{n/2} = 2^6 \implies n/2 = 6 \implies n = 12$।

$4^{n/3} = 4^5 \implies n/3 = 5 \implies n = 15$। (এখানে $1024=4^5$)

$3^{x-1}(3-1) = 18 \implies 3^{x-1} = 9 \implies x-1=2 \implies x=3$। $3^3 = 27$।

$\frac{1}{x} = \sqrt{3} – \sqrt{2}$। যোগ করলে $2\sqrt{3}$।

$2^{n/2} = 2^8 \implies n = 16$।

$x = (\sqrt{2}+1)^2 \implies \sqrt{x} = \sqrt{2}+1$। $1/\sqrt{x} = \sqrt{2}-1$। বিয়োগ করলে $2$।

প্রতিটি পদ $(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ হয়ে যাবে। $\sqrt{100}-1 = 9$।

$x = 11^3 = 1331$।

$n=6$। $2^{6-3} = 2^3 = 8$।

$(0.1^4)^{0.25} = 0.1^1 = 0.1$।

$x^{(a-b+b-c+c-a)} = x^0 = 1$।

$x^{a^2-b^2} \cdot x^{b^2-c^2} \cdot x^{c^2-a^2} = x^0 = 1$।

12-কে দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ($3 \times 4$) হিসেবে লিখলে বড় সংখ্যাটিই উত্তর (4)।

$x=1$। $1+1=2$।

$2^x = k \implies 2=k^{1/x}$ এবং $3=k^{1/y}$ এবং $6=k^{-1/z}$। $2 \times 3 = 6 \implies k^{1/x} \cdot k^{1/y} = k^{-1/z} \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{z}$। উত্তর 0।

রাশিটি $(x-1)^3$। $(\sqrt[3]{2})^3 = 2$।

এটি অসীম গুণফল, তাই উত্তর হবে মূল সংখ্যাটিই অর্থাৎ 5।

$(a^x)^y = c \implies (c^z)^x \cdot y = c \implies c^{xyz} = c^1 \implies xyz=1$।