সঠিক উত্তর: (খ) $-i$

আমরা জানি $i^2 = -1, i^3 = -i$ এবং $i^4 = 1$।
তাই $i$ এর ঘাতকে (power) 4 দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট দেখতে হয়।
$i^{15} = i^{(4 \times 3) + 3} = (i^4)^3 \cdot i^3 = (1)^3 \cdot (-i) = -i$।

সঠিক উত্তর: (ক) $3 – 4i$

যেকোনো জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $\bar{z} = a – bi$। অর্থাৎ শুধুমাত্র কাল্পনিক অংশের (Imaginary part) চিহ্ন পরিবর্তন করতে হয়। তাই $z = 3 + 4i$ এর অনুবন্ধী হবে $\bar{z} = 3 – 4i$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

জটিল সংখ্যা $z = x + iy$ এর মডুলাস $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$।
এখানে $x = -1$ এবং $y = -\sqrt{3}$।
অতএব, $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 0

$i$-এর পরপর 4টি ঘাতের সমষ্টি সর্বদা শূন্য হয়।
প্রমাণ: $i = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$।
যোগফল = $i + (-1) + (-i) + 1 = 0$।

সঠিক উত্তর: (ক) প্রথম চতুর্ভাগ (1st quadrant)

আর্গ্যান্ড তলে একটি জটিল সংখ্যা $z = x + iy$ কে একটি বিন্দু $(x, y)$ হিসেবে কল্পনা করা হয়। এখানে $z = 1 + i$ অর্থাৎ বিন্দুটি হলো $(1, 1)$। যেহেতু $X$ এবং $Y$ উভয় স্থানাঙ্কই ধনাত্মক ($+$, $+$), তাই বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{\pi}{4}$

এখানে $x = 1$ এবং $y = 1$। যেহেতু $x, y$ উভয়েই ধনাত্মক, বিন্দুটি 1ম চতুর্ভাগে অবস্থিত।
আর্গুমেন্ট $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{|y|}{|x|}\right)$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$

মেরু আকারে একটি জটিল সংখ্যাকে তার মডুলাস ($r$) এবং আর্গুমেন্ট ($\theta$) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। সূত্রটি হলো $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, যেখানে $r = |z|$ এবং $\theta$ হলো আর্গুমেন্ট।

সঠিক উত্তর: (ক) $2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$

মডুলাস $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$।
যেহেতু $x$ ঋণাত্মক এবং $y$ ধনাত্মক, বিন্দুটি 2য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$।
আর্গুমেন্ট $\theta = \pi – \alpha = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
মেরু আকার: $z = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$।

সঠিক উত্তর: (গ) $i$

হরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা ($1+i$) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করতে হবে:
$\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 – i^2} = \frac{1 + 2i – 1}{1 – (-1)} = \frac{2i}{2} = i$।

সঠিক উত্তর: (খ) $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$

জটিল সংখ্যার গুণের মডুলাস তাদের মডুলাসের গুণফলের সমান হয়। এটি একটি মৌলিক ধর্ম। (যোগ বা বিয়োগের ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অসমতা প্রযোজ্য হয়, যেমন $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$)।

সঠিক উত্তর: (গ) $|z|^2$

ধরি $z = x + iy$, তাহলে $\bar{z} = x – iy$।
$z \bar{z} = (x + iy)(x – iy) = x^2 – (iy)^2 = x^2 – i^2y^2 = x^2 – (-1)y^2 = x^2 + y^2$।
আমরা জানি $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, তাই $|z|^2 = x^2 + y^2$।
অতএব, $z \bar{z} = |z|^2$।

সঠিক উত্তর: (খ) $i, -i$

$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x = \pm\sqrt{-1}$।
যেহেতু $\sqrt{-1} = i$, তাই $x = \pm i$ বা $i, -i$। বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থায় এর কোনো সমাধান নেই, কিন্তু জটিল সংখ্যা ব্যবস্থায় (Complex number system) এর দুটি সমাধান আছে।

সঠিক উত্তর: (গ) জটিল এবং অনুবন্ধী (Complex conjugates)

সমীকরণটির নিরূপক (Discriminant), $D = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3$।
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক ($D < 0$), এর বীজগুলো বাস্তব হবে না, বরং জটিল হবে। বাস্তব সহগযুক্ত যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল বীজগুলো সর্বদা অনুবন্ধী জোড় (Conjugate pairs) হিসেবে থাকে।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

শ্রীধর আচার্যের সূত্র (Quadratic formula) প্রয়োগ করে, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$।
এখানে $a=1, b=1, c=1$।
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ বা $\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

$x^3 = 1$ সমীকরণের তিনটি বীজ হলো $1, \omega$ এবং $\omega^2$। এদের সমষ্টি সর্বদা শূন্য হয়। অর্থাৎ $1 + \omega + \omega^2 = 0$। (এটিও মনে রাখা জরুরি যে $\omega^3 = 1$)।

সঠিক উত্তর: (ক) $2, \frac{\pi}{6}$

মডুলাস $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$।

যেহেতু $x$ এবং $y$ উভয়েই ধনাত্মক, এটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আর্গুমেন্ট $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ (বা 30°)।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $-i$

লব এবং হরকে $i$ দ্বারা গুণ করলে পাই: $\frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{i^2}$।

আমরা জানি $i^2 = -1$, তাই $\frac{i}{-1} = -i$।

সঠিক উত্তর: (খ) $x = 0, y = 2$

প্রথমে ডানপক্ষকে বিস্তার করি: $(1 + i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i$।

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায় $x + iy = 0 + 2i$।

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই $x = 0$ এবং $y = 2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{3}{25} + \frac{4}{25}i$

গুণাত্মক বিপরীতের সূত্র হলো $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$।

এখানে $\bar{z} = 3 + 4i$ এবং $|z|^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$।

সুতরাং, $z^{-1} = \frac{3 + 4i}{25} = \frac{3}{25} + \frac{4}{25}i$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 16

আগের পর্বে আমরা শিখেছি যে $z \bar{z} = |z|^2$।

যেহেতু $|z| = 4$, তাই $z \bar{z} = 4^2 = 16$।

সঠিক উত্তর: (ক) 0

আমরা জানি $\omega^3 = 1$। তাই $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega$।

আর আমরা জানি, ঘনমূলগুলোর সমষ্টি $1 + \omega + \omega^2 = 0$। তাই উত্তর 0।

সঠিক উত্তর: (খ) -3, জটিল (Complex)

সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর নিরূপক $D = b^2 – 4ac$।

এখানে $a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$।

$D = (-\sqrt{5})^2 – 4(2)(1) = 5 – 8 = -3$।

যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক ($D < 0$), তাই সমীকরণটির বাস্তব কোনো সমাধান নেই, এর বীজগুলো জটিল সংখ্যা হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) $x^2 – 4x + 13 = 0$

বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণে জটিল বীজগুলো সবসময় অনুবন্ধী জোড়ে থাকে। একটি বীজ $2 + 3i$ হলে অপরটি হবে $2 – 3i$।

বীজদ্বয়ের যোগফল = $(2 + 3i) + (2 – 3i) = 4$।

বীজদ্বয়ের গুণফল = $(2 + 3i)(2 – 3i) = 2^2 – (3i)^2 = 4 – (-9) = 13$।

সমীকরণটি হলো: $x^2 – (\text{যোগফল})x + (\text{গুণফল}) = 0 \implies x^2 – 4x + 13 = 0$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-\frac{\pi}{2}$

এখানে $z = 0 – 5i$। এর বাস্তব অংশ 0 এবং কাল্পনিক অংশ ঋণাত্মক।

আর্গ্যান্ড তলে এই বিন্দুটি $(0, -5)$, যা সরাসরি $Y$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে অবস্থিত।

তাই এর মুখ্য আর্গুমেন্ট হবে $-\frac{\pi}{2}$ বা $-90^\circ$।

সঠিক উত্তর: (খ) -12

ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের ক্ষেত্রে $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ নিয়মটি সরাসরি কাজ করে না যদি উভয়ই ঋণাত্মক হয়।

প্রথমে $i$ তে রূপান্তর করতে হবে: $\sqrt{-16} = 4i$ এবং $\sqrt{-9} = 3i$।

এবার গুণ করলে: $(4i)(3i) = 12i^2 = 12(-1) = -12$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

মডুলাসের ধর্ম অনুযায়ী, $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$।

লবের মডুলাস $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$।

হরের মডুলাস $|1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$।

তাই $|z| = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$। (আগের প্রশ্নে আমরা দেখেছি যে এর মান $i$, এবং $|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\cos \theta + i \sin \theta$

এটি গণিতের অন্যতম বিখ্যাত সূত্র। অয়লার প্রমাণ করেছিলেন যে জটিল ঘাতাঙ্কের ক্ষেত্রে $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ হয়। মেরু আকারের $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ কে এই সূত্র ব্যবহার করে $z = re^{i\theta}$ হিসেবেও লেখা যায়, যাকে অয়লার ফর্ম বা ঘাতাঙ্কীয় আকার বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

$x^3 – 1 = 0$ এর তিনটি বীজ হলো 1, $\omega$ এবং $\omega^2$ (এক এর ঘনমূল)।

এদের গুণফল = $1 \cdot \omega \cdot \omega^2 = \omega^3$।

যেহেতু $\omega^3 = 1$, তাই গুণফল 1 হবে। (বহুপদী সমীকরণের নিয়ম অনুযায়ী, $ax^3+bx^2+cx+d=0$ এর বীজের গুণফল $-d/a = -(-1)/1 = 1$)।

সঠিক উত্তর: (ক) $-1 \pm 2i$

সূত্র: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

এখানে $a=1, b=2, c=5$।

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$

$= \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sqrt{13}$

প্রথমে জটিল সংখ্যা দুটি যোগ করতে হবে: $z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 – i) = (2 + 1) + (3i – i) = 3 + 2i$।

এবার এর মডুলাস নির্ণয় করি: $|3 + 2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $a = c$ এবং $b = d$

দুটি জটিল সংখ্যা কেবলমাত্র তখনই সমান হতে পারে যদি তাদের বাস্তব অংশগুলো (Real parts) পরস্পর সমান হয় এবং কাল্পনিক অংশগুলোও (Imaginary parts) পরস্পর সমান হয়। অর্থাৎ $a = c$ এবং $b = d$ হতে হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) $x – iy$

উভয়পাশে অনুবন্ধী (Conjugate) নিলে, $\overline{\sqrt{a + ib}} = \overline{x + iy}$।

অনুবন্ধীর ধর্ম অনুযায়ী, $\sqrt{\overline{a + ib}} = x – iy$

$\implies \sqrt{a – ib} = x – iy$।

সঠিক উত্তর: (খ) বিশুদ্ধ কাল্পনিক (Purely imaginary)

ধরি, $z = \cos \theta + i \sin \theta$ (যেহেতু $|z|=1$)।

$\frac{z – 1}{z + 1} = \frac{\cos \theta – 1 + i \sin \theta}{\cos \theta + 1 + i \sin \theta}$

অংশ কোণের সূত্র প্রয়োগ করলে: $\frac{-2\sin^2(\theta/2) + i \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2) + i \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}$

$= \frac{2i\sin(\theta/2) [i\sin(\theta/2) + \cos(\theta/2)]}{2\cos(\theta/2) [\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)]} = i\tan(\theta/2)$।

যেহেতু রাশিতে শুধুমাত্র $i$ যুক্ত পদ আছে, তাই এটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক।

সঠিক উত্তর: (গ) সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

$z$ বিন্দুটিকে মূলবিন্দুর সাপেক্ষে 90° বা $\pi/2$ কোণে ঘুরালে $iz$ বিন্দুটি পাওয়া যায়। তাই মূলবিন্দু, $z$ এবং $iz$ একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ তৈরি করে। ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র অনুযায়ী $z + iz$ হলো সেই সামান্তরিকের (যা এখানে একটি বর্গক্ষেত্র) চতুর্থ শীর্ষবিন্দু। তাই $z, iz$ এবং $z + iz$ যোগ করলে বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক অর্থাৎ একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজই উৎপন্ন হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{b^2 – 2ac}{a^2}$

বীজ ও সহগের সম্পর্ক অনুযায়ী: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ এবং $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।

বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta$

মান বসালে পাই: $(-\frac{b}{a})^2 – 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} – \frac{2c}{a} = \frac{b^2 – 2ac}{a^2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 65

মডুলাসের ধর্ম অনুযায়ী, $|z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2|$।

$|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$|z_2| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

অতএব, $|z_1 z_2| = 5 \times 13 = 65$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

$i^n$ কমন নিলে পাই: $i^n (1 + i + i^2 + i^3)$

$= i^n (1 + i – 1 – i)$

$= i^n (0) = 0$।

সঠিক উত্তর: (খ) ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)

আর্গ্যান্ড তলে $z$ বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব হলো অতিভুজ ($|z|$)। আর $x$-অক্ষ ও $y$-অক্ষ বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো যথাক্রমে লম্ব ও ভূমি ($|x|$ ও $|y|$)। জ্যামিতির সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য অপর দুই বাহুর যোগফলের চেয়ে ছোট বা সমান হয়। একেই ত্রিভুজ অসমতা বা Triangle Inequality বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $x^2 – 5x + 6 = 0$

সূত্র: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$35 = 5^3 – 3\alpha\beta(5) \implies 35 = 125 – 15\alpha\beta$

$\implies 15\alpha\beta = 125 – 35 = 90 \implies \alpha\beta = \frac{90}{15} = 6$

সমীকরণটি হলো $x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0 \implies x^2 – 5x + 6 = 0$।

সঠিক উত্তর: (ক) 1

দ্য ময়ভারের উপপাদ্য (De Moivre’s Theorem) অনুযায়ী, $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$।

$z^3 = (\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ)^3 = \cos(3 \times 120^\circ) + i \sin(3 \times 120^\circ)$

$= \cos 360^\circ + i \sin 360^\circ = 1 + i(0) = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 32

আমরা জানি $1 + \omega + \omega^2 = 0 \implies 1 + \omega^2 = -\omega$ এবং $1 + \omega = -\omega^2$।

প্রথম রাশি: $(-\omega – \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5 = -32\omega^2$ (যেহেতু $\omega^3 = 1$)।

দ্বিতীয় রাশি: $(-\omega^2 – \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10} = -32\omega$।

যোগফল = $-32(\omega^2 + \omega) = -32(-1) = 32$।

সঠিক উত্তর: (খ) $p = -6, q = 10$

সহগগুলো বাস্তব হওয়ায় অপর বীজটি হবে $3 – i$।

বীজদ্বয়ের যোগফল = $-p = (3 + i) + (3 – i) = 6 \implies p = -6$।

বীজদ্বয়ের গুণফল = $q = (3 + i)(3 – i) = 3^2 – i^2 = 9 – (-1) = 10 \implies q = 10$।

সঠিক উত্তর: (গ) একটি সমপরাবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)

$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy – y^2 = (x^2 – y^2) + i(2xy)$।

প্রশ্নমতে, $z^2$ এর বাস্তব অংশ (Real part) 1। তাই, $x^2 – y^2 = 1$।

এটি একটি সমপরাবৃত্তের (Rectangular Hyperbola) প্রমিত সমীকরণ।

সঠিক উত্তর: (খ) $\arg(z_1) + \arg(z_2)$

জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্টের ধর্ম লগারিদমের ধর্মের মতোই কাজ করে। দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের আর্গুমেন্ট তাদের আলাদা আর্গুমেন্টের যোগফলের সমান হয়। একইভাবে $\arg(z_1 / z_2) = \arg(z_1) – \arg(z_2)$ হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $D = 0$

শ্রীধর আচার্যের সূত্রে বর্গমূলের ভেতরের অংশটি হলো নিরূপক ($D = b^2 – 4ac$)।

যদি $D = 0$ হয়, তবে $\sqrt{0} = 0$। তখন সমীকরণের বীজ হবে $x = \frac{-b \pm 0}{2a}$।

অর্থাৎ দুটি বীজই $\frac{-b}{2a}$ হবে। তাই বীজদ্বয় বাস্তব এবং সমান হতে হলে $D = 0$ হতে হবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $p^2 = 4q$

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি সমান হওয়ার শর্ত হলো নিরূপক ($D$) শূন্য হতে হবে।

এখানে, $a=1, b=p, c=q$।

নিরূপক $D = b^2 – 4ac = p^2 – 4(1)(q) = p^2 – 4q$।

শর্তানুযায়ী, $p^2 – 4q = 0 \implies p^2 = 4q$।

সঠিক উত্তর: (খ) $Y$-অক্ষ

$|z – 2| = |(x – 2) + iy| = \sqrt{(x – 2)^2 + y^2}$

$|z + 2| = |(x + 2) + iy| = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}$

উভয়পক্ষ সমান ও বর্গ করলে: $(x – 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2 + y^2$

$\implies x^2 – 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 \implies 8x = 0 \implies x = 0$।

$x = 0$ সমীকরণটি $Y$-অক্ষকে নির্দেশ করে। জ্যামিতিকভাবে, $(2,0)$ এবং $(-2,0)$ বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোর সঞ্চারপথ হলো $Y$-অক্ষ।

সঠিক উত্তর: (ক) $\pm(1 – 4i)$

ধরি, $(x + iy)^2 = -15 – 8i$

$\implies (x^2 – y^2) + i(2xy) = -15 – 8i$

তুলনা করে পাই: $x^2 – y^2 = -15$ এবং $2xy = -8 \implies xy = -4$

$(x^2 + y^2)^2 = (x^2 – y^2)^2 + (2xy)^2 = (-15)^2 + (-8)^2 = 225 + 64 = 289$

$\implies x^2 + y^2 = \sqrt{289} = 17$

এখন, $x^2 + y^2 = 17$ এবং $x^2 – y^2 = -15$ যোগ করলে $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm1$

বিয়োগ করলে $2y^2 = 32 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm4$

যেহেতু $2xy = -8$ (ঋণাত্মক), তাই $x$ ও $y$ বিপরীত চিহ্নের হবে। সুতরাং বর্গমূল হবে $\pm(1 – 4i)$।

সঠিক উত্তর: (ক) 35

বীজ ও সহগের সম্পর্ক: $\alpha + \beta = 5$ এবং $\alpha\beta = 6$

সূত্র: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

মান বসালে: $\alpha^3 + \beta^3 = (5)^3 – 3(6)(5) = 125 – 90 = 35$।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

আগে আমরা প্রমাণ করেছি যে $\frac{1+i}{1-i} = i$।

তাই সমীকরণটি দাঁড়ায় $i^n = 1$।

আমরা জানি $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$ এবং $i^4 = 1$। তাই $n$-এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান হবে 4।

সঠিক উত্তর: (ক) $p^2 – 4q = 1$

ধরি, বীজ দুটি $\alpha$ এবং $\alpha+1$।

বীজদ্বয়ের যোগফল: $\alpha + (\alpha+1) = p \implies 2\alpha + 1 = p \implies \alpha = \frac{p-1}{2}$

বীজদ্বয়ের গুণফল: $\alpha(\alpha+1) = q$

$\implies \left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p-1}{2} + 1\right) = q \implies \left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p+1}{2}\right) = q$

$\implies \frac{p^2 – 1}{4} = q \implies p^2 – 1 = 4q \implies p^2 – 4q = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 4

আমরা জানি $1 + \omega + \omega^2 = 0 \implies 1 + \omega = -\omega^2$ এবং $1 + \omega^2 = -\omega$।

প্রথম রাশি: $1 + \omega – \omega^2 = -\omega^2 – \omega^2 = -2\omega^2$

দ্বিতীয় রাশি: $1 – \omega + \omega^2 = -\omega – \omega = -2\omega$

গুণফল = $(-2\omega^2) \times (-2\omega) = 4\omega^3$। যেহেতু $\omega^3 = 1$, তাই মান হবে $4 \times 1 = 4$।

সঠিক উত্তর: (খ) না, সহগগুলো বাস্তব হলেই কেবল অনুবন্ধী হবে

জটিল বীজগুলো অনুবন্ধী জোড়ে থাকার প্রধান শর্ত হলো সমীকরণটির সমস্ত সহগ (coefficients) বাস্তব সংখ্যা হতে হবে। যদি সমীকরণের কোনো সহগ নিজেই জটিল হয় (যেমন $p+iq$), তবে তার বীজগুলো অনুবন্ধী জোড়ে নাও থাকতে পারে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\cos(\theta – \phi) + i\sin(\theta – \phi)$

অয়লারের সূত্র ব্যবহার করলে খুব সহজে বোঝা যায়। $z_1 = e^{i\theta}$ এবং $z_2 = e^{i\phi}$।

তাহলে $\frac{z_1}{z_2} = \frac{e^{i\theta}}{e^{i\phi}} = e^{i(\theta – \phi)}$

যাকে বিস্তৃত করলে পাই $\cos(\theta – \phi) + i\sin(\theta – \phi)$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{a}{b}$

$\alpha + \beta = a$ এবং $\alpha\beta = b$

প্রদত্ত রাশি: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta}$

মান বসালে পাই: $\frac{a}{b}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

$x^2$ কে $|x|^2$ হিসেবে লেখা যায়। তাই সমীকরণটি হলো $|x|^2 – |x| – 6 = 0$।

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করলে: $(|x| – 3)(|x| + 2) = 0$।

তাহলে, $|x| = 3$ অথবা $|x| = -2$।

মডুলাস ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $|x| = -2$ সম্ভব নয়।

$|x| = 3 \implies x = \pm 3$। সুতরাং সমীকরণের ২টি বাস্তব সমাধান আছে (3 এবং -3)।

সঠিক উত্তর: (ক) $2\cos \theta$

$z = \cos \theta + i\sin \theta$।

$1/z$ বা $z^{-1}$ এর মান হলো $\cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos \theta – i\sin \theta$।

যোগ করলে: $(\cos \theta + i\sin \theta) + (\cos \theta – i\sin \theta) = 2\cos \theta$। (একইভাবে $z – 1/z = 2i\sin \theta$ হয়)।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{\pi}{2}$

$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$

$\arg(z_1) = \tan^{-1}(1/\sqrt{3}) = 30^\circ$ বা $\pi/6$

$\arg(z_2) = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = 60^\circ$ বা $\pi/3$

যোগফল = $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ বা $\frac{\pi}{2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) -1

আমরা জানি $x^2 – x + 1 = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি হলো $-\omega$ এবং $-\omega^2$।

অতএব, $\alpha = -\omega$ এবং $\beta = -\omega^2$।

$\alpha^{2000} + \beta^{2000} = (-\omega)^{2000} + (-\omega^2)^{2000} = \omega^{2000} + \omega^{4000}$ (যেহেতু ঘাত জোড়)।

$2000 = 3 \times 666 + 2$, তাই $\omega^{2000} = \omega^2$।

$4000 = 3 \times 1333 + 1$, তাই $\omega^{4000} = \omega$।

রাশিটি দাঁড়ায় $\omega^2 + \omega$। আমরা জানি $1 + \omega + \omega^2 = 0 \implies \omega^2 + \omega = -1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $b = 0$

ধরি, বীজ দুটি হলো $\alpha$ এবং $-\alpha$।

তাহলে বীজদ্বয়ের যোগফল = $\alpha + (-\alpha) = 0$।

বীজ ও সহগের সূত্র অনুযায়ী, যোগফল $= -b/a$।

তাই $-b/a = 0 \implies b = 0$।