সঠিক উত্তর: (খ) যথার্থ রৈখিক অসমতা (Strict linear inequality)

যেহেতু অসমতাটিতে কেবল $<$ (বা $>$) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে এবং সমানের ($=$) কোনো সুযোগ নেই, তাই এটি একটি যথার্থ বা Strict অসমতা। আর চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 1 হওয়ায় এটি রৈখিক বা Linear। যদি $\le$ বা $\ge$ থাকত, তবে একে শিথিল বা Slack অসমতা বলা হতো।

সঠিক উত্তর: (খ) চিহ্নটি উল্টে যায় (Reversed)

এটি অসমতার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি $5 > 3$। কিন্তু যদি উভয়পক্ষকে $-1$ দিয়ে গুণ করি, তবে $-5$ কখনোই $-3$ এর চেয়ে বড় হতে পারে না, বরং ছোট হয়। তাই চিহ্ন পাল্টে গিয়ে $-5 < -3$ হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $(-\infty, 6)$

প্রদত্ত অসমতা: $3x – 5 < x + 7$
উভয়পক্ষ থেকে $x$ বিয়োগ করলে: $2x – 5 < 7$
উভয়পক্ষে 5 যোগ করলে: $2x < 12$
2 দিয়ে ভাগ করলে: $x < 6$।
যেহেতু $x$ এর মান 6 এর চেয়ে ছোট যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে (কিন্তু 6 এর সমান নয়), তাই অন্তরালটি হবে $(-\infty, 6)$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $[-2, 5)$

এখানে $x$-এর মান -2 এর সমান হতে পারে (তাই -2 এর দিকে তৃতীয় বন্ধনী বা থার্ড ব্র্যাকেট $[$ বসবে), কিন্তু 5 এর সমান হতে পারে না (তাই 5 এর দিকে প্রথম বন্ধনী বা ফার্স্ট ব্র্যাকেট $)$ বসবে)। একে অর্ধ-বদ্ধ বা Half-closed অন্তরাল বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\{\dots, -1, 0, 1, 2\}$

$5x – 3 \le 3x + 1$
$\implies 5x – 3x \le 1 + 3$
$\implies 2x \le 4$
$\implies x \le 2$
যেহেতু $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই 2 বা তার চেয়ে ছোট সকল পূর্ণসংখ্যাই এর সমাধান হবে। সেটটি হলো $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2\}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $[-2, \infty)$

উভয়পক্ষকে 2 এবং 3 এর ল.সা.গু অর্থাৎ 6 দিয়ে গুণ করলে পাই:
$3x \ge 2(x – 1)$
$\implies 3x \ge 2x – 2$
উভয়পক্ষ থেকে $2x$ বিয়োগ করলে: $x \ge -2$
এটি বোঝায় যে $x$ এর মান -2 এর সমান বা বড়। অন্তরাল আকারে এটি হলো $[-2, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (ক) 35

ধরি, তৃতীয় পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর $x$।
শর্তানুযায়ী, তিনটির গড় $\ge 60$
$\frac{70 + 75 + x}{3} \ge 60$
$\implies 145 + x \ge 180$
$\implies x \ge 180 – 145 \implies x \ge 35$
সুতরাং, তাকে ন্যূনতম 35 নম্বর পেতে হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) $3x + 4y \le 12$

যে অসমতায় $\le$ (less than or equal to) অথবা $\ge$ (greater than or equal to) চিহ্ন থাকে, তাকে শিথিল অসমতা বা Slack inequality বলা হয়, কারণ এতে সমান হওয়ার সুযোগ থাকে। (ক), (খ) এবং (ঘ)-তে ব্যবহৃত চিহ্নগুলো হলো যথার্থ বা Strict।

সঠিক উত্তর: (খ) ওই নির্দিষ্ট বিন্দুটি সমাধানের অন্তর্ভুক্ত ($\le$ বা $\ge$)

লেখচিত্রে অসমতা দেখানোর সময়, ভরাট বা সলিড বৃত্ত দিয়ে বোঝানো হয় যে সেই নির্দিষ্ট সংখ্যাটিও সমাধানের একটি অংশ (যেমন $x \ge 2$-এর ক্ষেত্রে 2 এর ওপর সলিড বৃত্ত)। ফাঁকা বৃত্ত বা Hollow circle দিয়ে বোঝানো হয় যে বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত নয় (যেমন $x > 2$)।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-1, 3)$

এই ধরনের অসমতার তিনটি অংশেই একই গাণিতিক প্রক্রিয়া করতে হয়।
$-3 < 2x – 1 < 5$
সব অংশে 1 যোগ করি: $-3 + 1 < 2x < 5 + 1$
$\implies -2 < 2x < 6$
সব অংশকে 2 দিয়ে ভাগ করি (যেহেতু 2 ধনাত্মক, চিহ্ন পাল্টাবে না): $-1 < x < 3$।
অন্তরাল আকারে এটি হলো $(-1, 3)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-a \le x \le a$

মডুলাস ফাংশনের ধর্ম অনুযায়ী, $|x|$ বলতে সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু (0) থেকে $x$ এর দূরত্ব বোঝায়। যদি সেই দূরত্ব $a$ এর সমান বা ছোট হয়, তবে $x$ এর অবস্থান $-a$ এবং $a$ এর ঠিক মাঝখানে হবে। তাই $-a \le x \le a$।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-1, 5)$

সূত্রের সাহায্যে আমরা পাই: $-3 < x – 2 < 3$
প্রতিটি অংশে 2 যোগ করলে: $-3 + 2 < x < 3 + 2$
$\implies -1 < x < 5$।
যেহেতু এটি strict অসমতা, তাই প্রথম বন্ধনী বসবে: $(-1, 5)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $x \le 6.3$

$x$ যুক্ত পদগুলোকে একপাশে আনি:
$\frac{2x – 3}{4} – \frac{4x}{3} \ge 3 – 9$
$\implies \frac{3(2x – 3) – 4(4x)}{12} \ge -6$
$\implies 6x – 9 – 16x \ge -72$
$\implies -10x – 9 \ge -72 \implies -10x \ge -63$
উভয়পক্ষকে -10 দ্বারা ভাগ করলে (চিহ্ন উল্টে যাবে): $x \le \frac{-63}{-10} \implies x \le 6.3$।

সঠিক উত্তর: (খ) কারণ $x$-এর মান ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক তা অজানা থাকে, যা অসমতার চিহ্নকে প্রভাবিত করে।

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে চিহ্ন একই থাকে, কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়। যদি আমরা চলক $x$ দিয়ে ভাগ করি, তবে $x$ ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা আমরা নিশ্চিত করে জানি না। তাই অসমতার চিহ্ন বদলাবে কি বদলাবে না, তার সিদ্ধান্ত নেওয়া অসম্ভব হয়ে পড়ে।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$

$|x| > a$ এর অর্থ হলো $x > a$ অথবা $x < -a$।
সুতরাং, ১. $2x – 1 > 3 \implies 2x > 4 \implies x > 2$
অথবা, ২. $2x – 1 < -3 \implies 2x < -2 \implies x < -1$
এই দুটি সমাধানকে ইউনিয়ন ($\cup$) আকারে লিখলে পাই $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) 7.5 সেমি

ধরি, প্রস্থ = $x$ সেমি। তাহলে দৈর্ঘ্য = $x + 5$ সেমি।

পরিসীমা = $2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2(x + 5 + x) = 2(2x + 5) = 4x + 10$।

শর্তানুযায়ী, পরিসীমা $\ge 40$।

$\implies 4x + 10 \ge 40 \implies 4x \ge 30 \implies x \ge 7.5$।

সুতরাং, প্রস্থের ন্যূনতম মান 7.5 সেমি।

সঠিক উত্তর: (ক) $\left[-\frac{11}{2}, \infty\right)$

$3x – 6 \le 5x + 5$

$\implies 3x – 5x \le 5 + 6$

$\implies -2x \le 11$

উভয়পক্ষকে -2 দ্বারা ভাগ করলে (চিহ্ন উল্টে যাবে): $x \ge -\frac{11}{2}$।

অন্তরাল আকারে এটি হলো $\left[-\frac{11}{2}, \infty\right)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$

$|x| > a$ এর অর্থ $x > a$ অথবা $x < -a$।

১. $x – 4 > 2 \implies x > 6$

২. $x – 4 < -2 \implies x < 2$

অর্থাৎ $x$ এর মান 2 এর চেয়ে ছোট অথবা 6 এর চেয়ে বড়। একে ইউনিয়ন আকারে লিখলে পাই $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) 9 সেমি

ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = $x$।

তাহলে, বৃহত্তম বাহু = $3x$

এবং তৃতীয় বাহু = $3x – 2$

পরিসীমা = $x + 3x + 3x – 2 = 7x – 2$।

শর্তানুযায়ী, $7x – 2 \ge 61 \implies 7x \ge 63 \implies x \ge 9$।

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম বাহুর ন্যূনতম দৈর্ঘ্য 9 সেমি।

সঠিক উত্তর: (খ) $x \le 2$

হরগুলোর ল.সা.গু (3, 4, 5 এর ল.সা.গু 60) দিয়ে উভয়পক্ষকে গুণ করি:

$20(2x – 1) \ge 15(3x – 2) – 12(2 – x)$

$\implies 40x – 20 \ge 45x – 30 – 24 + 12x$

$\implies 40x – 20 \ge 57x – 54$

$\implies 40x – 57x \ge -54 + 20$

$\implies -17x \ge -34$

-17 দিয়ে ভাগ করলে: $x \le 2$।

সঠিক উত্তর: (গ) $xz < yz$

দেওয়া আছে $x > y$। উভয়পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা $z$ ($z < 0$) দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যাবে। সুতরাং $xz < yz$ হবে। এটি অসমতার একটি মৌলিক ধর্ম।

সঠিক উত্তর: (ক) $(59^\circ, 77^\circ)$

শর্তানুযায়ী, $15 < C < 25$

$\implies 15 < \frac{5}{9}(F – 32) < 25$

সব অংশকে $9/5$ দিয়ে গুণ করি: $15 \times \frac{9}{5} < F – 32 < 25 \times \frac{9}{5}$

$\implies 27 < F – 32 < 45$

সব অংশে 32 যোগ করি: $27 + 32 < F < 45 + 32 \implies 59 < F < 77$।

যেহেতু “মধ্যে” বলা হয়েছে, তাই প্রান্তবিন্দুগুলো অন্তর্ভুক্ত নয় (Strict inequality)।

সঠিক উত্তর: (ক) -8 এবং 2

$|x| \le a \implies -a \le x \le a$

তাই, $-5 \le x + 3 \le 5$

সব অংশ থেকে 3 বিয়োগ করি: $-5 – 3 \le x \le 5 – 3 \implies -8 \le x \le 2$।

অর্থাৎ $x$ এর মান -8 এবং 2 এর মধ্যে (এবং এই বিন্দুগুলোতেও) অবস্থান করবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $\left[-\frac{11}{3}, 5\right]$

সব অংশকে 2 দিয়ে গুণ করি: $-10 \le 5 – 3x \le 16$

সব অংশ থেকে 5 বিয়োগ করি: $-15 \le -3x \le 11$

সব অংশকে -3 দিয়ে ভাগ করি (চিহ্ন পাল্টে যাবে): $5 \ge x \ge -\frac{11}{3}$

সাজিয়ে লিখলে: $-\frac{11}{3} \le x \le 5$।

সঠিক উত্তর: (গ) $A$ এবং $B$ এর মধ্যে ঠিক একটি ঋণাত্মক

দুটি সংখ্যার ভাগফল ঋণাত্মক ($< 0$) হওয়ার একমাত্র শর্ত হলো সংখ্যা দুটির চিহ্ন বিপরীত হতে হবে। অর্থাৎ, একটি ধনাত্মক হলে অপরটি ঋণাত্মক হতে হবে। যদি উভয়েই ধনাত্মক বা উভয়েই ঋণাত্মক হতো, তবে ভাগফল ধনাত্মক ($> 0$) হতো।

সঠিক উত্তর: (ক) $(5, 7)$ এবং $(7, 9)$

ধরি, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা দুটি $x$ এবং $x+2$।

শর্ত ১: সংখ্যাগুলো 10 এর চেয়ে ছোট, অর্থাৎ $x+2 < 10 \implies x < 8$।

শর্ত ২: এদের যোগফল 11 এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ $x + (x+2) > 11 \implies 2x + 2 > 11 \implies 2x > 9 \implies x > 4.5$।

তাহলে $x$-এর মান 4.5 থেকে বড় কিন্তু 8 থেকে ছোট বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে। এমন সংখ্যাগুলো হলো 5 এবং 7।

$x = 5$ হলে জোড়টি $(5, 7)$।

$x = 7$ হলে জোড়টি $(7, 9)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $a + c < b + d$

দুটি একই দিকের অসমতাকে সরাসরি যোগ করা যায়। $a < b$ এবং $c < d$ যোগ করলে $a + c < b + d$ হয়। কিন্তু বিয়োগ, গুণ বা ভাগের ক্ষেত্রে এই নিয়ম সরাসরি খাটে না, কারণ সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক হলে চিহ্ন পরিবর্তিত হতে পারে।

সঠিক উত্তর: (খ) $x < 2$

ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক ($< 0$) হওয়ার অর্থ হলো এর লব এবং হরের চিহ্ন বিপরীত হতে হবে। যেহেতু লব ধনাত্মক (1), তাই হরকে অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে।

অর্থাৎ $x – 2 < 0 \implies x < 2$। (লক্ষ্যণীয়, $x=2$ হলে ভগ্নাংশটি অসংজ্ঞাত হয়ে যায়)।

সঠিক উত্তর: (ক) $\left(-\infty, -2\right] \cup \left[\frac{2}{3}, \infty\right)$

$|x| \ge a \implies x \ge a$ অথবা $x \le -a$।

১. $3x + 2 \ge 4 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

২. $3x + 2 \le -4 \implies 3x \le -6 \implies x \le -2$

যেহেতু এটি শিথিল অসমতা ($\ge$), তাই প্রান্তবিন্দুগুলো অন্তর্ভুক্ত হবে। সুতরাং সমাধান: $(-\infty, -2] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) 3-তে ফাঁকা, 7-এ ভরাট

অন্তরাল $(3, 7]$ এর অর্থ হলো $3 < x \le 7$।

যেহেতু 3 অন্তর্ভুক্ত নয় (First bracket), তাই 3-এর ওপর ফাঁকা বা Hollow circle বসবে।

যেহেতু 7 অন্তর্ভুক্ত (Third bracket), তাই 7-এর ওপর ভরাট বা Solid circle বসবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-2, 1)$

ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক ($< 0$) হওয়ার অর্থ লব এবং হরের চিহ্ন বিপরীত হবে। এটি সমাধানে ‘Wavy Curve Method’ বা চিহ্ন-তালিকা ব্যবহার করা হয়। ক্রান্তি বিন্দু (Critical points) হলো $x = 1$ এবং $x = -2$। সংখ্যারেখায় এই বিন্দুগুলোর মাঝের অংশে (অর্থাৎ $-2 < x < 1$) রাশিটি ঋণাত্মক মান দেয়। তাই সমাধান $(-2, 1)$। (লক্ষ্য করুন, $x = -2$ হলে হর শূন্য হয়, তাই -2 অন্তর্ভুক্ত নয়)।

সঠিক উত্তর: (গ) $\mathbb{R}$ (সকল বাস্তব সংখ্যার সেট)

মডুলাস ফাংশন $|x|$ সর্বদা অঋণাত্মক (0 বা ধনাত্মক) মান দেয়। যেহেতু $a$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ($a < 0$), তাই $|x|$ সর্বদা $a$ এর চেয়ে বড় হবে। সুতরাং $x$ এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই অসমতাটি সত্য।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

অসমতার ধর্ম অনুযায়ী, যদি দুটি ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে $a > b$ হয়, তবে তাদের ব্যস্ত (Reciprocal) নিলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। অর্থাৎ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ হবে। (উদাহরণ: $5 > 3$, কিন্তু $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$)। তাই (গ) বিবৃতিটি ভুল।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-\infty, 2) \cup [5, \infty)$

$\frac{3}{x-2} – 1 \le 0$

$\implies \frac{3 – x + 2}{x-2} \le 0 \implies \frac{5 – x}{x-2} \le 0$

লব ও হরের চিহ্ন বিপরীত হতে হবে। ক্রান্তি বিন্দু: 2 এবং 5।

Wavy Curve মেথড অনুযায়ী: $x \in (-\infty, 2) \cup [5, \infty)$। (লক্ষ্য করুন, 2 হরে থাকায় তা অন্তর্ভুক্ত নয়, কিন্তু 5 অন্তর্ভুক্ত)।

সঠিক উত্তর: (খ) $(1, 3)$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ: $x^2 – 3x – x + 3 < 0 \implies (x-1)(x-3) < 0$।

গুণফল ঋণাত্মক হওয়ার অর্থ হলো 1 এবং 3 এর মাঝের মানগুলো এর সমাধান হবে। (যেমন $x=2$ বসালে $(2-1)(2-3) = 1(-1) = -1 < 0$)।

তাই সমাধান: $(1, 3)$।

সঠিক উত্তর: (গ) 501

লাভ করতে হলে, আয় (Revenue) উৎপাদন খরচের (Cost) চেয়ে বেশি হতে হবে। অর্থাৎ $R(x) > C(x)$।

$5x > 2x + 1500 \implies 3x > 1500 \implies x > 500$।

যেহেতু $x > 500$, তাই লাভ শুরু হওয়ার জন্য তাকে কমপক্ষে 501টি পণ্য তৈরি ও বিক্রি করতে হবে। (500টিতে কোনো লাভ বা ক্ষতি হবে না, এটি Break-even point)।

সঠিক উত্তর: (ক) $[-3, -1] \cup [1, 3]$

বাইরের মডুলাস ভাঙলে: $-1 \le |x| – 2 \le 1$

সব অংশে 2 যোগ করি: $1 \le |x| \le 3$

এর মানে হলো $|x|$ এর মান 1 এবং 3 এর মধ্যে। এটি থেকে দুটি অসমতা পাওয়া যায়:

১. $|x| \ge 1 \implies x \ge 1$ অথবা $x \le -1$

২. $|x| \le 3 \implies -3 \le x \le 3$

এই দুটি শর্তের ছেদ (Intersection) করলে সমাধান দাঁড়ায়: $x \in [-3, -1] \cup [1, 3]$।

সঠিক উত্তর: (খ) রেখার ওপর অবস্থিত বিন্দুগুলো সমাধানের অন্তর্ভুক্ত নয় (অর্থাৎ $<$ বা $>$)।

দ্বিমাত্রিক তলে অসমতার লেখচিত্র আঁকার সময়, যদি অসমতাটি যথার্থ (Strict, যেমন $<$ বা $>$) হয়, তবে সীমারেখাটি ড্যাশ বা বিন্দুযুক্ত করে আঁকা হয়, যা বোঝায় যে রেখার বিন্দুগুলো সমাধান সেটের অংশ নয়। আর যদি শিথিল (Slack, যেমন $\le$ বা $\ge$) হয়, তবে অবিচ্ছিন্ন (Solid) রেখা আঁকা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 12 মিনিট

দুটি পাইপ একসাথে চালু করলে 1 মিনিটে মোট জল ভর্তি হয় = $10 + 15 = 25$ লিটার।

ধরি, $t$ মিনিটে ট্যাঙ্কটি ভর্তি হয়।

শর্তানুযায়ী, $25t \ge 300 \implies t \ge \frac{300}{25} \implies t \ge 12$।

তাই ন্যূনতম 12 মিনিট সময় লাগবে।

সঠিক উত্তর: (গ) $b^2 – 4ac < 0$

একটি দ্বিঘাত রাশিমালার মান তার সহগ $a$ এর চিহ্নের অনুরূপ হয়, যদি তার নিরূপক ($D = b^2 – 4ac$) ঋণাত্মক হয়। যেহেতু এখানে $a > 0$ (ধনাত্মক), রাশিমালাটি সর্বদা ধনাত্মক ($> 0$) হবে যদি তার কোনো বাস্তব বীজ না থাকে, অর্থাৎ $b^2 – 4ac < 0$ হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, -2) \cup (-1/2, \infty)$

$\frac{|x-1|}{x+2} – 1 < 0 \implies \frac{|x-1| – (x+2)}{x+2} < 0$

কেস ১: $x \ge 1$

$\frac{x – 1 – x – 2}{x+2} < 0 \implies \frac{-3}{x+2} < 0$। যেহেতু লব ঋণাত্মক, হরকে ধনাত্মক হতে হবে। $x+2 > 0 \implies x > -2$। শর্ত $x \ge 1$ এর সাথে ছেদ করলে: $x \in [1, \infty)$।

কেস ২: $x < 1$

$\frac{-(x-1) – (x+2)}{x+2} < 0 \implies \frac{-2x – 1}{x+2} < 0$

লব ও হরের চিহ্ন একই হতে হবে। ক্রান্তি বিন্দু: $-1/2, -2$। Wavy curve অনুযায়ী: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1/2, 1)$।

দুটি কেস ইউনিয়ন করলে: $(-\infty, -2) \cup (-1/2, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-3, -1] \cup [1, 3)$

১. $|x| < 3 \implies -3 < x < 3 \implies x \in (-3, 3)$।

২. $x^2 \ge 1 \implies x^2 – 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0 \implies x \ge 1$ অথবা $x \le -1$। অর্থাৎ $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$।

উভয় সেটের সাধারণ অংশ (Intersection) নিলে পাওয়া যায়: $x \in (-3, -1] \cup [1, 3)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $1 < x < 2$

লগারিদমের নিয়ম: $\log_a b > c$ হলে, $b > a^c$ (যদি $a > 1$) এবং $b < a^c$ (যদি $0 < a < 1$)।

এখানে বেস $0.5 < 1$, তাই অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে।

$x – 1 < (0.5)^0 \implies x – 1 < 1 \implies x < 2$।

আবার, লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, $x – 1 > 0 \implies x > 1$।

উভয় শর্ত একত্র করলে: $1 < x < 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) না, কারণ $0 \ge 6$ সত্য নয়।

দ্বিমাত্রিক অসমতার সমাধান অঞ্চল নির্ণয় করতে আমরা সাধারণত টেস্ট পয়েন্ট (Test point) হিসেবে মূলবিন্দু (0,0) ব্যবহার করি। $2(0) + 0 \ge 6 \implies 0 \ge 6$, যা একটি মিথ্যা বিবৃতি। সুতরাং, সমাধান অঞ্চলটি মূলবিন্দুর বিপরীত দিকে অবস্থিত হবে এবং মূলবিন্দু তার অন্তর্ভুক্ত নয়।

সঠিক উত্তর: (ক) $10^{-7.8} < [H^+] < 10^{-7.2}$

শর্তানুযায়ী, $7.2 < pH < 7.8$

$\implies 7.2 < -\log_{10}[H^+] < 7.8$

সব অংশকে -1 দিয়ে গুণ করি (অসমতা পাল্টে যাবে): $-7.8 < \log_{10}[H^+] < -7.2$

লগারিদম তুলে দিলে: $10^{-7.8} < [H^+] < 10^{-7.2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

ভগ্নাংশটি ধনাত্মক ($> 0$) হওয়ার অর্থ হলো এর লব ও হর উভয়ের চিহ্ন একই হতে হবে। যেহেতু লব 1 (ধনাত্মক), তাই হরকেও ধনাত্মক হতে হবে।

অর্থাৎ, $|x| – 3 > 0 \implies |x| > 3$।

আমরা জানি $|x| > a$ হলে $x > a$ অথবা $x < -a$।

সুতরাং, সমাধান হলো $x > 3$ অথবা $x < -3$, যাকে অন্তরাল আকারে লেখা যায় $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)

এটি পরম মান বা মডুলাসের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম। জটিল সংখ্যার মতো বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রেও একে ত্রিভুজ অসমতা বলা হয়। এই অসমতাটি কেবল তখনই সমীকরণে ($=$) পরিণত হয়, যখন $x$ এবং $y$ এর চিহ্ন একই হয় বা এদের মধ্যে অন্তত একটি শূন্য হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, 3] \cup [4, \infty)$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করলে: $(x-3)(x-4) \ge 0$।

ক্রান্তি বিন্দু (Critical points) হলো 3 এবং 4।

Wavy Curve মেথড অনুযায়ী, এই গুণফল ধনাত্মক হবে যখন $x$ এর মান 3 এর চেয়ে ছোট বা 4 এর চেয়ে বড় হবে। যেহেতু শিথিল অসমতা ($\ge$) আছে, বিন্দুগুলো অন্তর্ভুক্ত হবে। তাই সমাধান: $(-\infty, 3] \cup [4, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-2, 7]$

সরাসরি বজ্রগুণ (Cross-multiplication) করা যাবে না, কারণ $x+2$ এর চিহ্ন আমরা জানি না।

$\implies \frac{2x – 5}{x + 2} – 1 \le 0$

$\implies \frac{2x – 5 – (x + 2)}{x + 2} \le 0$

$\implies \frac{x – 7}{x + 2} \le 0$

ক্রান্তি বিন্দু: $x = 7$ এবং $x = -2$। Wavy Curve অনুযায়ী, রাশিটি ঋণাত্মক হবে $(-2, 7)$ এর মধ্যে। লব শূন্য হতে পারে, তাই 7 অন্তর্ভুক্ত হবে ($[7]$)। কিন্তু হর শূন্য হতে পারে না, তাই -2 অন্তর্ভুক্ত হবে না ($(-2)$)। সমাধান: $(-2, 7]$।

সঠিক উত্তর: (গ) $x + y \le 100, x \ge 2y$

১. “100 টির বেশি রাখতে না পারা” মানে মোট পরিমাণ 100 এর সমান বা কম হতে হবে। তাই $x + y \le 100$।

২. “$x$ আইটেমটি $y$ এর অন্তত দ্বিগুণ” মানে $x$ এর মান $2y$ এর সমান বা বড় হতে হবে। তাই $x \ge 2y$। (এছাড়াও $x \ge 0, y \ge 0$ শর্ত থাকে কারণ আইটেম সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)।

সঠিক উত্তর: (খ) $(-\infty, 2]$

উভয়পক্ষকে বর্গ করি (যেহেতু উভয়পক্ষ অঋণাত্মক): $(x – 1)^2 \le (x – 3)^2$

$\implies x^2 – 2x + 1 \le x^2 – 6x + 9$

$\implies -2x + 6x \le 9 – 1 \implies 4x \le 8 \implies x \le 2$।

সুতরাং সমাধান: $(-\infty, 2]$। (জ্যামিতিকভাবে, এর মানে হলো সংখ্যারেখায় $x$ বিন্দুটি 3 এর চেয়ে 1 এর বেশি কাছাকাছি বা সমদূরবর্তী)।

সঠিক উত্তর: (গ) 2

দুটি সংখ্যা $x$ এবং $1/x$ এর জন্য AM-GM প্রয়োগ করি:

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

$\implies \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{1} \implies \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge 1$

$\implies x + \frac{1}{x} \ge 2$।

সুতরাং, এর ন্যূনতম মান 2। (যখন $x = 1$, তখন মানটি ঠিক 2 হয়)।

সঠিক উত্তর: (ক) $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)^2} \ge 0$।

যেহেতু $(x-1)^2$ সর্বদা ধনাত্মক (এবং $x \neq 1$), হরের চিহ্নের কোনো প্রভাব নেই। তাই অসমতাটি নির্ভর করে কেবল লবের ওপর।

$(x-2)(x+2) \ge 0 \implies x \ge 2$ অথবা $x \le -2$।

সুতরাং, $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$। (লক্ষ্য করুন, 1 এই অন্তরালের বাইরে থাকায় আলাদা করে $- \{1\}$ লেখার দরকার নেই, কারণ তা এমনিতেই বাদ পড়ে গেছে)।

সঠিক উত্তর: (খ) $(2.5, 3)$

$A$ সেটের জন্য: $x^2 – 5x + 6 < 0 \implies (x-2)(x-3) < 0 \implies x \in (2, 3)$।

$B$ সেটের জন্য: $2x – 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 2.5 \implies x \in (2.5, \infty)$।

দুটি সেটের সাধারণ অংশ (Intersection) নিলে পাই: $x > 2.5$ এবং $x < 3$, অর্থাৎ $x \in (2.5, 3)$।

সঠিক উত্তর: (গ) না, এদের কোনো সাধারণ সমাধান নেই

প্রথম অসমতা অনুযায়ী $x$ এর মান $-a$ থেকে $a$ এর মধ্যে ($-a < x < a$)।

দ্বিতীয় অসমতা অনুযায়ী $x$ এর মান $a$ এর চেয়ে বড় বা $-a$ এর চেয়ে ছোট ($x > a$ বা $x < -a$)।

এই দুটি শর্ত পরস্পর বিরোধী (Mutually exclusive)। তাই এদের কোনো সাধারণ সমাধান নেই, অর্থাৎ ছেদ সেটটি $\emptyset$ (ফাঁকা)।

সঠিক উত্তর: (খ) $(3, 11]$

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত: $x – 3 > 0 \implies x > 3$।

এবার অসমতা সমাধান করি: যেহেতু বেস 2 (যা $> 1$), অসমতার চিহ্ন একই থাকবে।

$x – 3 \le 2^3 \implies x – 3 \le 8 \implies x \le 11$।

উভয় শর্ত একত্র করলে: $3 < x \le 11$, অর্থাৎ অন্তরালটি হলো $(3, 11]$।

সঠিক উত্তর: (ক) $[-1, 1]$

আমরা জানি, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য $x^2 \ge 0$, তাই হর $x^2 + 1 \ge 1$, অর্থাৎ এটি সর্বদা ধনাত্মক।

যেহেতু হর ধনাত্মক, ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক বা শূন্য হতে হলে লবকে অবশ্যই ঋণাত্মক বা শূন্য হতে হবে।

$\implies x^2 – 1 \le 0 \implies (x-1)(x+1) \le 0$।

এর সমাধান হলো $-1 \le x \le 1$। অন্তরাল আকারে এটি $[-1, 1]$।

সঠিক উত্তর: (খ) $|a – b| < c < a + b$

এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য। ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হয় ($a + b > c$) এবং যেকোনো দুই বাহুর বিয়োগফল (পরম মান) তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয় ($|a – b| < c$)। এই দুটি শর্ত একত্রে লিখলে $|a – b| < c < a + b$ পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) $[-1, 0] \cup [1, \infty)$

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $x(x^2 – 1) \ge 0 \implies x(x-1)(x+1) \ge 0$।

ক্রান্তি বিন্দুগুলো হলো: $-1, 0, 1$।

সংখ্যারেখায় Wavy Curve আঁকলে দেখা যায়, রাশিটি $[-1, 0]$ এবং $[1, \infty)$ অংশে ধনাত্মক হয়। তাই সমাধানটি হলো $[-1, 0] \cup [1, \infty)$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\emptyset$ (শূন্য সেট)

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$ এর বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক ($x^2 \ge 0$) হয়। তার সাথে 1 যোগ করলে মান সর্বদা ধনাত্মক ($x^2 + 1 \ge 1 > 0$) হয়। এটি কখনোই 0 এর চেয়ে ছোট বা ঋণাত্মক হতে পারে না। যেহেতু এখানে বাস্তব সমাধানের কথা বলা হয়েছে (জটিল সংখ্যা নয়), তাই এর কোনো সমাধান নেই।