সঠিক উত্তর: (খ) 1

বিন্যাস ও সমবায়ের গাণিতিক সংজ্ঞাকে সামঞ্জস্যপূর্ণ রাখতে $0!$ এর মান সর্বদাই 1 ধরা হয়। কারণ, কোনো বস্তু না নিয়ে তাদের সাজানোর উপায় কেবল 1টিই (কিছুই না করা)।

সঠিক উত্তর: (খ) 12

এটি গণনার মৌলিক গুণের নিয়মের (Fundamental Principle of Multiplication) উদাহরণ। যদি একটি কাজ $m$ উপায়ে এবং অন্য একটি কাজ $n$ উপায়ে করা যায়, তবে দুটি কাজ একত্রে করার মোট উপায় হলো $m \times n$। এখানে $3 \times 4 = 12$ উপায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 120

$n!$ বলতে 1 থেকে $n$ পর্যন্ত সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলকে বোঝায়।
সুতরাং, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{n!}{(n-r)!}$

ক্রম (order) বিবেচনা করে $n$ টি ভিন্ন বস্তু থেকে $r$ টি বস্তু সাজানোর উপায় হলো ${}^n P_r$। এর গাণিতিক সূত্রটি হলো ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$। (গ) অপশনটি হলো সমবায় বা Combination-এর সূত্র।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

সূত্রের সাহায্যে পাই, ${}^n P_0 = \frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$। বাস্তবে এর মানে হলো $n$ টি বস্তু থেকে 0 টি বস্তু (অর্থাৎ কোনোটিই না) নিয়ে সাজানোর উপায় 1টিই।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

${}^n P_2 = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$।
শর্তানুযায়ী, $n(n-1) = 20$।
দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল 20 হবে। আমরা জানি $5 \times 4 = 20$।
তাই $n = 5$।

সঠিক উত্তর: (গ) 60

মোট অঙ্ক আছে 5টি ($n=5$)। এর মধ্যে 3টি অঙ্ক ($r=3$) নিয়ে সংখ্যা তৈরি করতে হবে (ক্রম গুরুত্বপূর্ণ)।
সুতরাং, মোট উপায় ${}^5 P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ টি।

সঠিক উত্তর: (গ) 120

$n$ সংখ্যক বস্তুকে নিজেদের মধ্যে পাশাপাশি সাজানোর উপায় হলো $n!$।
এখানে 5 জন বন্ধু আছে, তাই তাদের সাজানোর উপায় $5! = 120$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 56

ফ্যাক্টোরিয়ালের নিয়ম অনুযায়ী $8!$ কে $8 \times 7 \times 6!$ হিসেবে লেখা যায়।
তাই, $\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$।

সঠিক উত্তর: (খ) 24

“MATH” শব্দটিতে মোট 4টি ভিন্ন অক্ষর রয়েছে (M, A, T, H)। কোনো অক্ষরের পুনরাবৃত্তি নেই।
তাই 4টি অক্ষর নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় হলো $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।

সঠিক উত্তর: (গ) $n!$

সূত্রের সাহায্যে পাই: ${}^n P_n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$।
যেহেতু $0! = 1$, তাই এর মান হলো $\frac{n!}{1} = n!$। এটি নির্দেশ করে $n$ টি বস্তুর সবগুলোকে একবারে নিয়ে সাজানোর উপায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 6

${}^n P_4 = n(n-1)(n-2)(n-3)$
${}^n P_2 = n(n-1)$
শর্তানুযায়ী: $n(n-1)(n-2)(n-3) = 12 \times n(n-1)$
উভয়পক্ষ থেকে $n(n-1)$ বাদ দিলে (যেহেতু $n \ge 4$, তাই $n(n-1) \neq 0$):
$(n-2)(n-3) = 12 \implies n^2 – 5n + 6 = 12 \implies n^2 – 5n – 6 = 0$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে: $(n-6)(n+1) = 0$। যেহেতু $n$ ধনাত্মক হতে হবে, তাই $n = 6$।

সঠিক উত্তর: (গ) 840

এখানে মোট বই $n=7$ এবং সাজাতে হবে $r=4$ টি বই।
উপায় সংখ্যা ${}^7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

এটি গণনার মৌলিক যোগের নিয়মের (Fundamental Principle of Addition) উদাহরণ। যেহেতু তিনি B অথবা C যেকোনো একটি শহরে যাবেন (একসাথে দুটিতে নয়), তাই মোট উপায়গুলো যোগ হবে। উপায় = $3 + 2 = 5$।

সঠিক উত্তর: (খ) $n$

ফ্যাক্টোরিয়ালের নিয়ম অনুসারে $n! = n \times (n-1)!$ লেখা যায়।
সুতরাং, $\frac{n \times (n-1)!}{(n-1)!} = n$।

সঠিক উত্তর: (খ) 60

“APPLE” শব্দটিতে মোট 5টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ‘P’ অক্ষরটি 2 বার আছে।
পুনরাবৃত্তি যুক্ত বিন্যাসের সূত্র অনুযায়ী, মোট উপায় = $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$।

সঠিক উত্তর: (গ) 24

বৃত্তাকার বিন্যাসের (Circular Permutation) ক্ষেত্রে $n$ জন ব্যক্তিকে সাজানোর উপায় হলো $(n – 1)!$।
এখানে $n = 5$, তাই সাজানোর উপায় = $(5 – 1)! = 4! = 24$।

সঠিক উত্তর: (খ) 45

করমর্দনের জন্য 2 জন ব্যক্তি প্রয়োজন এবং এখানে ক্রম (Order) বিবেচ্য নয় (A ও B এর করমর্দন এবং B ও A এর করমর্দন একই)। তাই এটি সমবায় (Combination) এর সমস্যা।
মোট উপায় = ${}^{10} C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{n!}{r!(n-r)!}$

সমবায় বা বাছাইয়ের ক্ষেত্রে ক্রম (order) গুরুত্বপূর্ণ নয়। এর গাণিতিক সূত্র হলো ${}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$।

সঠিক উত্তর: (ক) ${}^n P_r = r! \cdot {}^n C_r$

${}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ এবং ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$।
সুতরাং, $\frac{{}^n P_r}{r!} = {}^n C_r \implies {}^n P_r = r! \cdot {}^n C_r$। এর অর্থ হলো প্রথমে বস্তু বাছাই করে (${}^n C_r$) তারপর তাদের নিজেদের মধ্যে সাজালে ($r!$) বিন্যাস পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) 3

সমবায়ের ধর্ম অনুযায়ী, যদি ${}^n C_x = {}^n C_y$ হয়, তবে হয় $x = y$ অথবা $x + y = n$।
এখানে $r \neq r + 4$, তাই $r + (r + 4) = 10$ হবে।
$\implies 2r + 4 = 10 \implies 2r = 6 \implies r = 3$।

সঠিক উত্তর: (খ) 20

যেকোনো $n$-ভুজ বহুভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে 2টি বিন্দু নিয়ে সরলরেখা টানা যায় ${}^n C_2$ টি। এর মধ্যে $n$ টি হলো বহুভুজের বাহু। তাই কর্ণের সংখ্যা = ${}^n C_2 – n$।
অষ্টভুজের ক্ষেত্রে $n = 8$। কর্ণের সংখ্যা = ${}^8 C_2 – 8 = \frac{8 \times 7}{2} – 8 = 28 – 8 = 20$।

সঠিক উত্তর: (গ) $2^n$

দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) অনুযায়ী, $(1+x)^n$ এর বিস্তৃতিতে $x=1$ বসালে এই সমীকরণটি পাওয়া যায়। এর অর্থ হলো $n$ টি ভিন্ন বস্তু থেকে শূন্য বা ততোধিক বস্তু বাছাই করার মোট উপায় $2^n$।

সঠিক উত্তর: (ক) 4320

“DAUGHTER” শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ (A, U, E) এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ (D, G, H, T, R) আছে।
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে একটি ইউনিট বা গ্রুপ ধরলে মোট ইউনিট সংখ্যা = $5 + 1 = 6$ টি।
এই 6টি ইউনিট সাজানোর উপায় = $6! = 720$।
আবার, স্বরবর্ণগুলো নিজেদের মধ্যে সাজতে পারে $3! = 6$ উপায়ে।
মোট উপায় = $720 \times 6 = 4320$।

সঠিক উত্তর: (খ) 12

দল গঠন মানেই সমবায়।
উপায় সংখ্যা = ${}^{12} C_{11}$। আমরা জানি ${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$।
তাই, ${}^{12} C_{11} = {}^{12} C_1 = \frac{12!}{1! \times 11!} = 12$। (সহজভাবে ভাবলে, 12 জন থেকে 1 জনকে বাদ দেওয়ার উপায় 12টি, তাই 11 জন বেছে নেওয়ার উপায়ও 12টি)।

সঠিক উত্তর: (গ) ${}^{n+1} C_r$

এটি সমবায়ের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম। যখন $n$ সমান থাকে এবং $r$ এর মান পরপর দুটি সংখ্যা হয়, তখন তাদের যোগফল ${}^{n+1} C_r$ (যেখানে $r$ হলো বড় সংখ্যাটি) এর সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) 18

কমিটিতে 3 জন সদস্য থাকবে যার মধ্যে 1 জন মহিলা। তার মানে বাকি 2 জন অবশ্যই পুরুষ হতে হবে।
3 জন মহিলা থেকে 1 জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ${}^3 C_1 = 3$।
4 জন পুরুষ থেকে 2 জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ${}^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$।
মোট উপায় (গুণের নিয়ম অনুযায়ী) = $3 \times 6 = 18$।

সঠিক উত্তর: (খ) 40

যেকোনো দুটি বিন্দু দিয়ে 1টি সরলরেখা টানা যায়। 10টি বিন্দু থেকে সরলরেখা হবে ${}^{10} C_2 = 45$ টি।
কিন্তু 4টি বিন্দু সমরেখ হওয়ায় তারা নিজেদের মধ্যে যে ${}^4 C_2 = 6$ টি রেখা তৈরি করার কথা ছিল, তা তৈরি করবে না; বরং তারা মিলে কেবল 1টি রেখাই তৈরি করবে।
তাই মোট সরলরেখার সংখ্যা = $45 – 6 + 1 = 40$।

সঠিক উত্তর: (খ) $3^5$ (243)

প্রতিটি চিঠি যেকোনো 1টি ডাকবাক্সে ফেলা যায়।
১ম চিঠির জন্য অপশন = 3টি
২য় চিঠির জন্য অপশন = 3টি
এভাবে 5টি চিঠির জন্যই 3টি করে অপশন আছে। তাই মোট উপায় = $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$।

সঠিক উত্তর: (গ) 60

গলার হার বা মালার ক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের (Anti-clockwise) বিন্যাস একই ধরা হয়, কারণ মালাটিকে উল্টে দিলেই একটি থেকে অন্যটি পাওয়া যায়।
তাই সূত্রটি হলো $\frac{(n-1)!}{2}$।
উপায় সংখ্যা = $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$।

সঠিক উত্তর: (ক) 120

একটি ত্রিভুজ আঁকার জন্য 3টি অসমরেখ বিন্দুর প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, 10টি বিন্দু থেকে যেকোনো 3টি বিন্দু বেছে নেওয়ার উপায় = ${}^{10} C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{11!}{2! 2! 2!}$

“MATHEMATICS” শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর রয়েছে।
এর মধ্যে M আছে 2 বার, A আছে 2 বার, এবং T আছে 2 বার। বাকি অক্ষরগুলো 1 বার করে।
তাই পুনরাবৃত্তি যুক্ত বিন্যাসের সূত্রানুযায়ী, মোট উপায় = $\frac{11!}{2! \times 2! \times 2!}$।

সঠিক উত্তর: (ক) 35

$n$-ভুজের কর্ণের সংখ্যার সূত্র: ${}^n C_2 – n$ অথবা $\frac{n(n-3)}{2}$।
এখানে $n = 10$, তাই কর্ণের সংখ্যা = $\frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = 35$।

সঠিক উত্তর: (ক) 840

5 জনের কমিটিতে 2 জন মহিলা থাকলে বাকি 3 জন পুরুষ হতে হবে।
6 জন মহিলা থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়ার উপায় = ${}^6 C_2 = 15$
8 জন পুরুষ থেকে 3 জনকে বেছে নেওয়ার উপায় = ${}^8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
মোট উপায় = $15 \times 56 = 840$।

সঠিক উত্তর: (খ) 60

জোড় সংখ্যা হতে হলে শেষ অঙ্কটি 0, 2, অথবা 4 হতে হবে। এবং 4-অঙ্কের সংখ্যা হতে হলে প্রথম অঙ্ক 0 হতে পারবে না।
কেস ১: শেষ অঙ্কটি 0।
বাকি 3টি স্থানে 1, 2, 3, 4 সাজানোর উপায় = ${}^4 P_3 = 24$।
কেস ২: শেষ অঙ্কটি 2 বা 4 (2টি অপশন)।
প্রথম স্থানে 0 বসতে পারবে না এবং 1টি জোড় সংখ্যা শেষে বসেছে, তাই প্রথম স্থানের জন্য অপশন = 3টি।
বাকি 2টি স্থানের জন্য অপশন = ${}^3 P_2 = 6$।
কেস ২ এর মোট উপায় = $2 \times 3 \times 6 = 36$।
মোট জোড় সংখ্যা = $24 + 36 = 60$।

সঠিক উত্তর: (ক) ${}^{n+2} C_{r+1}$

রাশিটিকে ভেঙে লিখি: $({}^n C_{r-1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r+1})$
প্যাসকেলের সূত্র (${}^n C_{r-1} + {}^n C_r = {}^{n+1} C_r$) প্রয়োগ করি:
প্রথম অংশ = ${}^{n+1} C_r$
দ্বিতীয় অংশ = ${}^{n+1} C_{r+1}$
এবার এদের যোগ করি: ${}^{n+1} C_r + {}^{n+1} C_{r+1} = {}^{n+2} C_{r+1}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 210

যেকোনো 3টি বিন্দু নিয়ে ত্রিভুজ গঠনের উপায় = ${}^{12} C_3 = 220$।
কিন্তু 5টি বিন্দু সমরেখ হওয়ায় তারা নিজেদের মধ্যে কোনো ত্রিভুজ গঠন করবে না।
এই 5টি বিন্দু দিয়ে ত্রিভুজ হওয়ার কথা ছিল = ${}^5 C_3 = 10$ টি।
তাই প্রকৃত ত্রিভুজের সংখ্যা = $220 – 10 = 210$।

সঠিক উত্তর: (খ) $5! \times {}^6 P_4$

প্রথমে 5 জন পুরুষকে সারিতে বসাই। এর উপায় = $5!$।
এই 5 জন পুরুষের মাঝে এবং দুই প্রান্তে মোট 6টি ফাঁকা জায়গা ($x M x M x M x M x M x$) তৈরি হয়।
যেহেতু কোনো 2 জন মহিলা পাশাপাশি বসতে পারবেন না, তাই 4 জন মহিলাকে এই 6টি ফাঁকা জায়গায় বসাতে হবে।
এর উপায় = ${}^6 P_4$।
মোট উপায় = $5! \times {}^6 P_4$। (একে Gap Method বলা হয়)।

সঠিক উত্তর: (ক) 3

আমরা জানি, ${}^n P_r = r! \cdot {}^n C_r$
$\implies 720 = r! \cdot 120$
$\implies r! = \frac{720}{120} = 6$
যেহেতু $3! = 6$, তাই $r = 3$।

সঠিক উত্তর: (ক) 10

প্রথম 5টি প্রশ্ন থেকে তাকে 3টি প্রশ্ন বেছে নিতে হবে। এর উপায় = ${}^5 C_3 = 10$।
মোট 8টি উত্তর দিতে হবে, তাই বাকি $8 – 3 = 5$টি প্রশ্ন তাকে শেষের 5টি প্রশ্ন থেকে বেছে নিতে হবে।
শেষের 5টি থেকে 5টি বেছে নেওয়ার উপায় = ${}^5 C_5 = 1$।
মোট উপায় = $10 \times 1 = 10$।

সঠিক উত্তর: (ক) 9

সম্পূর্ণ ভুলভাবে সাজানোর এই গাণিতিক সমস্যাটিকে Derangement বলা হয়।
$n$ টি বস্তুর Derangement এর সূত্র হলো $D_n = n! \left(1 – \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} – \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)$।
এখানে $n = 4$।
$D_4 = 4! \left(1 – 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right) = 24 \left(\frac{12 – 4 + 1}{24}\right) = 9$।

সঠিক উত্তর: (ক) 74

“অন্তত ১টি” (At least 1) সমস্যার ক্ষেত্রে, (মোট উপায়) থেকে (কোনোটিই না হওয়ার উপায়) বিয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।
মোট বল = 9টি। 3টি বল তোলার মোট উপায় = ${}^9 C_3 = 84$
কোনো নীল বল না ওঠা (অর্থাৎ 3টিই লাল হওয়ার) উপায় = ${}^5 C_3 = 10$
অন্তত 1টি নীল বল ওঠার উপায় = $84 – 10 = 74$।

সঠিক উত্তর: (খ) এটি সরাসরি কোনো একক সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় না, বিয়োগ করতে হবে

(এখানে অপশন ঘ-ও গাণিতিকভাবে সঠিক, তবে প্রশ্নটির উদ্দেশ্য হলো পদ্ধতি বোঝানো।)
মোট উপায় = $\frac{11!}{4! 4! 2!}$ (I=4, S=4, P=2)।
4টি ‘I’ কে একত্রে 1টি ইউনিট ধরলে মোট অক্ষর $11 – 4 + 1 = 8$টি। এদের সাজানোর উপায় = $\frac{8!}{4! 2!}$।
তেমনি 4টি ‘S’ কে একত্রে ধরলে উপায় = $\frac{8!}{4! 2!}$।
উভয় শর্ত (4টি I এবং 4টি S একত্রে) ধরলে ইউনিট সংখ্যা $11 – 8 + 2 = 5$টি। উপায় = $\frac{5!}{2!}$।
একত্রে না থাকার উপায় = মোট – (I একত্রে + S একত্রে – উভয়ই একত্রে)। এটি একটি জটিল সেট থিওরির সমস্যা।

সঠিক উত্তর: (ক) 26

এটি Principle of Inclusion-Exclusion (PIE) এর একটি সাধারণ সমস্যা।
2 দ্বারা বিভাজ্য ($n(A)$) = 50
3 দ্বারা বিভাজ্য ($n(B)$) = 33
5 দ্বারা বিভাজ্য ($n(C)$) = 20
2 ও 3 দ্বারা (অর্থাৎ 6 দ্বারা) ($n(A \cap B)$) = 16
3 ও 5 দ্বারা (অর্থাৎ 15 দ্বারা) ($n(B \cap C)$) = 6
2 ও 5 দ্বারা (অর্থাৎ 10 দ্বারা) ($n(A \cap C)$) = 10
2, 3 ও 5 দ্বারা (অর্থাৎ 30 দ্বারা) ($n(A \cap B \cap C)$) = 3
বিভাজ্য সংখ্যার মোট পরিমাণ = $50 + 33 + 20 – 16 – 6 – 10 + 3 = 74$।
বিভাজ্য নয় এমন সংখ্যা = $100 – 74 = 26$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) (ক) এবং (গ) উভয়েই সঠিক

10টি বস্তু থেকে 6টি বস্তু বেছে নিলে (${}^{10} C_6$) বাকি 4টি বস্তু স্বয়ংক্রিয়ভাবে অন্য দলে চলে যায়।
একইভাবে, 4টি বস্তু বেছে নিলে (${}^{10} C_4$) বাকি 6টি বস্তু অন্য দলে চলে যায়।
যেহেতু দলের আকার অসমান (6 এবং 4), তাই $2!$ দিয়ে ভাগ করার প্রয়োজন নেই (দলগুলো স্বতন্ত্র বা distinguishable)।
আমরা জানি ${}^{10} C_6 = {}^{10} C_4$, তাই (ক) এবং (গ) উভয়েই সঠিক উত্তর।

সঠিক উত্তর: (ক) 309

অক্ষরগুলোকে বর্ণানুক্রমিক সাজালে পাই: E, H, M, O, R, T.
E দিয়ে শুরু হওয়া শব্দের সংখ্যা = $5! = 120$
H দিয়ে শুরু হওয়া শব্দের সংখ্যা = $5! = 120$
M দিয়ে শুরু হওয়া শব্দ: ME… ($4! = 24$), MH… ($4! = 24$)
MO দিয়ে শুরু হওয়া শব্দ: MOE… ($3! = 6$), MOH… ($3! = 6$), MOR… ($3! = 6$)
MOT দিয়ে শুরু হওয়া শব্দ: MOTE… ($2! = 2$)
তারপরেই আসবে MOTHER = 1
মোট = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$ তম স্থান।

সঠিক উত্তর: (ক) 7

আমরা জানি, ${}^n P_r = r! \cdot {}^n C_r$
$\implies 840 = r! \cdot 35 \implies r! = \frac{840}{35} = 24$
যেহেতু $4! = 24$, তাই $r = 4$।
এখন, ${}^n P_4 = 840 \implies n(n-1)(n-2)(n-3) = 840$
আমরা জানি $7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$, সুতরাং $n = 7$।

সঠিক উত্তর: (খ) 150

একটি সামান্তরিক তৈরি করতে দুটি সেট থেকে এক জোড়া করে সমান্তরাল রেখা প্রয়োজন।
6টি রেখার সেট থেকে 2টি রেখা নির্বাচনের উপায় = ${}^6 C_2 = 15$
5টি রেখার সেট থেকে 2টি রেখা নির্বাচনের উপায় = ${}^5 C_2 = 10$
মোট সামান্তরিকের সংখ্যা = $15 \times 10 = 150$।

সঠিক উত্তর: (খ) 40

“BANANA” শব্দটিতে মোট অক্ষর 6টি (A=3, N=2, B=1)।
মোট সাজানোর উপায় = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{12} = 60$।
দুটি ‘N’ একত্রে থাকলে, তাদের 1টি ইউনিট ধরলে মোট ইউনিট = $6 – 2 + 1 = 5$টি (যার মধ্যে A=3)।
একত্রে থাকার উপায় = $\frac{5!}{3!} = 20$। (দুটি N নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় $\frac{2!}{2!} = 1$)।
দুটি ‘N’ একত্রে না থাকার উপায় = মোট উপায় – একত্রে থাকার উপায় = $60 – 20 = 40$।

সঠিক উত্তর: (খ) 28

বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত কোনো তিনটি বিন্দু সমরেখ (collinear) হতে পারে না।
যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করলেই একটি সরলরেখা পাওয়া যায়।
তাই মোট সরলরেখার সংখ্যা = ${}^8 C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।

সঠিক উত্তর: (খ) 12

প্রথমে 3 জন ছাত্রকে গোল টেবিলে বসানোর উপায় = $(3 – 1)! = 2! = 2$।
এই 3 জন ছাত্রের মাঝে মোট 3টি ফাঁকা স্থান তৈরি হয়।
যেহেতু দুজন ছাত্রী পাশাপাশি বসবে না, তাই 3 জন ছাত্রীকে ওই 3টি ফাঁকা স্থানে বসাতে হবে। এর উপায় = $3! = 6$ (যেহেতু ছাত্ররা ইতিমধ্যেই বসে টেবিলের ঘূর্ণন স্থির করে দিয়েছে, তাই এটি সরল রৈখিক বিন্যাসের মতো হবে)।
মোট উপায় = $2 \times 6 = 12$।

সঠিক উত্তর: (ক) 66

এটি “Stars and Bars” বা “Beggars Method” এর একটি বিখ্যাত সমস্যা।
$n$ সংখ্যক অভিন্ন বস্তুকে $r$ জন ব্যক্তির মধ্যে ভাগ করে দেওয়ার (যেখানে কেউ শূন্যও পেতে পারে) উপায় হলো ${}^{n+r-1} C_{r-1}$।
এখানে $n = 10$ এবং চলক সংখ্যা $r = 3$।
উপায় সংখ্যা = ${}^{10+3-1} C_{3-1} = {}^{12} C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$।

সঠিক উত্তর: (ক) 66

এটি করমর্দনের সমস্যার মতোই একটি সমবায়ের সমস্যা, কারণ একটি ম্যাচ খেলার জন্য 2 জন খেলোয়াড় দরকার এবং A বনাম B আর B বনাম A একই ম্যাচ।
মোট ম্যাচ = ${}^{12} C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$।

সঠিক উত্তর: (গ) 32

প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য 2টি অপশন (সত্য বা মিথ্যা) আছে।
মোট 5টি প্রশ্ন থাকায়, গণনার গুণের নিয়ম অনুযায়ী মোট উপায় = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$।

সঠিক উত্তর: (ক) 1728

প্রতিটি বিষয়ের বইয়ের গ্রুপকে 1টি ইউনিট ধরলে মোট 3টি ইউনিট আছে (পদার্থ, রসায়ন, গণিত)।
এই 3টি ইউনিট নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $3!$ উপায়ে।
4টি পদার্থবিজ্ঞানের বই নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $4!$ উপায়ে।
3টি রসায়নের বই নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $3!$ উপায়ে।
2টি গণিতের বই নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $2!$ উপায়ে।
মোট উপায় = $3! \times 4! \times 3! \times 2! = 6 \times 24 \times 6 \times 2 = 1728$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = 2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!}$
উভয়পক্ষ থেকে $n!$ এবং $(n-2)!$ বাদ দিলে পাই:
$\frac{n+1}{3!} = \frac{2}{2!} \implies \frac{n+1}{6} = 1$
$\implies n + 1 = 6 \implies n = 5$।

সঠিক উত্তর: (ক) ${}^{n-1} C_{r-1}$

যেহেতু 1টি নির্দিষ্ট বস্তুকে সর্বদা নিতে হবে, তাই আমাদের বাকি $(n-1)$ টি বস্তু থেকে বাকি $(r-1)$ টি বস্তু বাছাই করতে হবে। এর উপায় হলো ${}^{n-1} C_{r-1}$। (আর যদি নির্দিষ্ট বস্তুকে সর্বদা বাদ দিতে হতো, তবে সূত্র হতো ${}^{n-1} C_r$)।

সঠিক উত্তর: (খ) ${}^{12} C_5$

ফুলের তোড়া তৈরি করার ক্ষেত্রে ফুলের ক্রম (কোনটার পরে কোনটা) গুরুত্বপূর্ণ নয়, কেবল কোন 5টি ফুল বেছে নেওয়া হলো সেটাই আসল। তাই এটি একটি সমবায়ের সমস্যা। উত্তর হলো ${}^{12} C_5$। (বৃত্তাকার বিন্যাসের সূত্র এখানে খাটবে ঘন গলার হারের মতো সাজানোর কথা বলা হয়নি, শুধু বাছাই করতে বলা হয়েছে)।

সঠিক উত্তর: (খ) 256

4-অঙ্কের সংখ্যার 4টি স্থান আছে।
যেহেতু পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত, তাই প্রতিটি স্থানে 4টি অঙ্কের যেকোনোটি বসতে পারে।
১ম স্থানের অপশন = 4
২য় স্থানের অপশন = 4
৩য় স্থানের অপশন = 4
৪র্থ স্থানের অপশন = 4
মোট উপায় = $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{n-r+1}{r}$

$\frac{{}^{n} C_{r}}{{}^{n} C_{r-1}} = \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}$
$= \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!}$
$= \frac{(r-1)!}{r!} \times \frac{(n-r+1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{1}{r} \times (n-r+1) = \frac{n-r+1}{r}$। (এটি দ্বিপদী উপপাদ্যের অঙ্ক করার সময় খুব কাজে লাগে)।