সঠিক উত্তর: (খ) $x$ এর মান $a$ এর খুব কাছাকাছি গেলে $f(x)$ যে মানের দিকে অগ্রসর হয়।

সীমা (Limit) বলতে বোঝায় $x$ এর মান যখন $a$ এর অত্যন্ত নিকটবর্তী হয় (কিন্তু $a$ এর সমান নয়), তখন ফাংশন $f(x)$ এর মান কোন নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে অগ্রসর হয়। $a$ বিন্দুতে ফাংশনটির মান সংজ্ঞায়িত না থাকলেও এর সীমা থাকতে পারে।

সঠিক উত্তর: (ক) $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$

একটি বিন্দুতে সীমা তখনই বিদ্যমান থাকে যখন বামদিকের সীমা (Left-Hand Limit, LHL) এবং ডানদিকের সীমা (Right-Hand Limit, RHL) পরস্পর সমান হয় এবং উভয়েই একটি সসীম (finite) মান নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (গ) 4

সরাসরি $x = 2$ বসালে রাশিটি $\frac{0}{0}$ বা অনির্ণেয় (indeterminate) রূপ নেয়। তাই লবকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
$\lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2}$
যেহেতু $x \to 2$, তাই $x \neq 2$ এবং $x – 2 \neq 0$। সুতরাং, $(x-2)$ কাটা যায়।
$= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

এটি ত্রিকোণমিতিক সীমার একটি প্রমিত এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র বা উপপাদ্য (Standard limit)। ক্যালকুলাসের অধিকাংশ ত্রিকোণমিতিক সীমা নির্ণয়ে এই সূত্রটি সরাসরি ব্যবহৃত হয়। জ্যামিতিক পদ্ধতিতে (স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যবহার করে) এটি প্রমাণ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) $na^{n-1}$

এটি বীজগণিতীয় সীমার অন্যতম প্রধান প্রমিত সূত্র (Standard formula)। যেখানে $n$ যেকোনো মূলদ সংখ্যা (Rational number) এবং $a > 0$। এই সূত্রটি ব্যবহার করে জটিল বহুপদী সীমার মান খুব দ্রুত নির্ণয় করা যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 3

আমরা জানি, $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$।
এখানে $h$ এর জায়গায় $3x$ আনতে হবে।
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \times 3 \right)$
যেহেতু $x \to 0$, তাই $3x \to 0$।
$= \left( \lim_{3x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \right) \times 3 = 1 \times 3 = 3$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 4

প্রমিত সূত্র $\lim_{x \to a} \frac{x^n – a^n}{x – a} = na^{n-1}$ প্রয়োগ করে পাই:
এখানে $n = 4$ এবং $a = 1$।
সীমার মান $= 4 \times 1^{4-1} = 4 \times 1^3 = 4$।

সঠিক উত্তর: (গ) $c$

ধ্রুবক ফাংশনের (Constant function) মান $x$-এর পরিবর্তনের ওপর নির্ভর করে না। এটি সর্বদাই একই থাকে। তাই $\lim_{x \to a} c = c$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

লব এবং হরকে $(1 + \cos x)$ দিয়ে গুণ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos^2 x}{x(1 + \cos x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}$
$= 1 \times \frac{0}{1 + 1} = 1 \times 0 = 0$।

সঠিক উত্তর: (গ) $L \cdot M$

এটি সীমার গুণের ধর্ম (Algebra of limits for product)। দুটি ফাংশনের গুণফলের সীমা তাদের আলাদা আলাদা সীমার গুণফলের সমান হয়। একইভাবে যোগ, বিয়োগ এবং ভাগের ক্ষেত্রেও (হর শূন্য না হলে) একই নিয়ম খাটে。

সঠিক উত্তর: (ক) 0, 0

LHL: $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{h \to 0} |0 – h| = \lim_{h \to 0} |-h| = \lim_{h \to 0} h = 0$।
RHL: $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{h \to 0} |0 + h| = \lim_{h \to 0} h = 0$।
উভয় সীমাই সমান এবং মান 0। তাই $\lim_{x \to 0} |x| = 0$।

সঠিক উত্তর: (খ) কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের তাৎক্ষণিক হার (Instantaneous rate of change)।

অন্তর্কলজ বা অবকলন হলো স্বাধীন চলকের ($x$) সূক্ষ্ম পরিবর্তনের সাপেক্ষে অধীন চলকের ($y$) তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার। জ্যামিতিকভাবে এটি কোনো বক্ররেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের (tangent) নতি (slope) বা ঢাল নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$

এটি অবকলনের মূল সংজ্ঞা। এখানে $h$ হলো $x$ এর একটি অতি ক্ষুদ্র বৃদ্ধি। লবের অংশটি হলো ফাংশনের মানের পরিবর্তন এবং হর হলো $x$ এর পরিবর্তন। লিমিট প্রয়োগ করে তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) $n x^{n-1}$

এটি অবকলনের ঘাতের সূত্র (Power rule)। এটি অবকলনের সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত সূত্র। উদাহরণস্বরূপ, $y = x^3$ হলে, $\frac{dy}{dx} = 3x^{3-1} = 3x^2$ হবে। (খ) অপশনটি হলো সমাকলনের (Integration) সূত্র।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

অবকলন নির্দেশ করে পরিবর্তনের হার। একটি ধ্রুবক সংখ্যার মান কখনো পরিবর্তিত হয় না (এর মান নির্দিষ্ট)। যেহেতু কোনো পরিবর্তন নেই, তাই এর পরিবর্তনের হার বা অবকলন সর্বদা 0 হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 1/2

সরাসরি মান বসালে 0/0 আকার আসে। লব ও হরকে এর অনুবন্ধী $(\sqrt{1+x} + 1)$ দিয়ে গুণ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} – 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1}$
$x = 0$ বসালে, মান হয় $\frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী, $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$।
সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$
যেহেতু $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, তাই মান হবে $2 \times 1^2 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

আমরা জানি $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$।
রাশিটিকে সাজালে পাই: $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 2x}{2x} \times 2 \right)$
যেহেতু $x \to 0$ হলে $2x \to 0$ হয়, তাই সীমাটির মান $1 \times 2 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

প্রথমে ফাংশনটির অবকলন করতে হবে:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 5x + 2) = 3(2x) – 5(1) + 0 = 6x – 5$।
এবার $x = 1$ বসালে, $f'(1) = 6(1) – 5 = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\cos x$

এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের প্রমিত সূত্র। প্রাথমিক তত্ত্ব (First principle) ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় যে $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$।

সঠিক উত্তর: (ক) $u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$

গুণের নিয়মে, প্রথম ফাংশনটি অপরিবর্তিত রেখে দ্বিতীয়টির অবকলন করতে হয়, এবং তার সাথে দ্বিতীয় ফাংশনটি অপরিবর্তিত রেখে প্রথমটির অবকলন যোগ করতে হয়। একে লিবনিজের নিয়মও বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{v \frac{du}{dx} – u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

ভাগের নিয়মের সূত্র হলো: হরের বর্গ নিচে থাকবে। আর ওপরে হবে (হর $\times$ লবের অবকলন) – (লব $\times$ হরের অবকলন)। অর্থাৎ, $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot u’ – u \cdot v’}{v^2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

ধরি $x – a = h$। যখন $x \to a$, তখন $h \to 0$।
সুতরাং, সীমাটি $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$ এর আকার ধারণ করে, যার প্রমিত মান 1।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sec^2 x$

ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করে এটি প্রমাণ করা যায়: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)$।
$= \frac{\cos x \cdot \cos x – \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$।

সঠিক উত্তর: (খ) 6

লবকে বিশ্লেষণ করলে: $(x-3)(x+3)$
হরকে বিশ্লেষণ করলে: $(x-3)(x-2)$
যেহেতু $x \to 3$, তাই $(x-3) \neq 0$। এটি লব ও হর থেকে কেটে দিলে থাকে $\frac{x+3}{x-2}$।
এবার $x=3$ বসালে: $\frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6$।

সঠিক উত্তর: (গ) $x \cos x + \sin x$

গুণের নিয়ম (Product rule) প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{d}{dx}(x \sin x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$= x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-1/x^2$

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$।
ঘাতের সূত্র ($\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$) অনুযায়ী:
$f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $a/b$

লব ও হরকে $x$ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $\frac{\frac{\sin ax}{x}}{\frac{\sin bx}{x}}$।
সীমার প্রমিত সূত্র অনুযায়ী, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ এবং $\lim_{x \to 0} \frac{\sin bx}{x} = b$।
তাই মান হবে $\frac{a}{b}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-\sin x$

এটি ত্রিকোণমিতিক অবকলনের একটি প্রমিত সূত্র, যা ফার্স্ট প্রিন্সিপল (প্রাথমিক তত্ত্ব) দ্বারা প্রমাণিত। $d/dx(\cos x) = -\sin x$।

সঠিক উত্তর: (গ) 4

অবকলন নির্ণয় করি: $f'(x) = 3 \cdot 2x^2 – 2 \cdot 3x + 4 – 0 = 6x^2 – 6x + 4$।
এবার $x=0$ বসালে, $f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) + 4 = 4$। (লক্ষণীয়: বহুপদী সমীকরণে $x=0$ বসালে কেবলমাত্র $x$ এর সহগটিই অবশিষ্ট থাকে)।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

এটি সূচকীয় সীমার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রমিত সূত্র (Standard Limit)। $e^x$ এর অসীম শ্রেণীর বিস্তার (Maclaurin series expansion) ব্যবহার করে খুব সহজেই এই সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) $\ln a$

এটিও সূচকীয় সীমার আরেকটি প্রমিত সূত্র। এখানে $\ln a$ বলতে $e$-নিধান সাপেক্ষে $a$ এর লগারিদমকে বোঝায় (অর্থাৎ, $\log_e a$)। যদি $a = e$ হয়, তবে $\ln e = 1$ হয়, যা আগের সূত্রের সাথে মিলে যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

এটি লগারিদমিক সীমার প্রমিত সূত্র। $\log(1+x)$ এর বিস্তৃতি (Expansion) ব্যবহার করে এটি প্রমাণ করা যায়। মনে রাখতে হবে, ক্যালকুলাসে ‘$\log$’ লেখা থাকলে সাধারণত তা স্বাভাবিক লগারিদম বা $\ln$ কেই নির্দেশ করে (অর্থাৎ বেস $e$)।

সঠিক উত্তর: (খ) $e^x$

$e^x$ হলো গণিতের এমন একটি অনন্য ফাংশন যার অবকলন করলে সেই একই ফাংশনটিই ফেরত পাওয়া যায়। অর্থাৎ, $e^x$ এর পরিবর্তনের হার তার নিজের মানের সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) $1/x$

স্বাভাবিক লগারিদম (Natural logarithm) $\ln x$ এর অবকলন হলো $1/x$। এটিও একটি প্রমিত সূত্র যা প্রাথমিক তত্ত্ব (First Principle) দ্বারা প্রমাণ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

আমরা জানি $\lim_{h \to 0} \frac{e^h – 1}{h} = 1$।
এখানে $h$ এর জায়গায় $5x$ আনতে হবে:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} – 1}{5x} \times 5$
যেহেতু $x \to 0$, তাই $5x \to 0$।
$= 1 \times 5 = 5$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

চেইন রুল বা অপেক্ষকের অপেক্ষকের অবকলন নিয়মটি কম্পোজিট ফাংশনগুলোর (Composite functions) অবকলন করতে ব্যবহৃত হয়। প্রথমে বাইরের ফাংশনটির অবকলন করতে হয় (ভিতরেরটিকে চলক ধরে), তারপর তার সাথে ভেতরের ফাংশনটির অবকলন গুণ করতে হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) $3 \cos(3x)$

এখানে বাইরের ফাংশন $\sin(\dots)$ এবং ভেতরের ফাংশন $3x$।
চেইন রুল অনুযায়ী: $\frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x)$
$= \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cos(3x)$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) (ক) এবং (খ) উভয়েই সঠিক

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1 – b^x + 1}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x – 1}{x} – \frac{b^x – 1}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} – \lim_{x \to 0} \frac{b^x – 1}{x}$
$= \ln a – \ln b$
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী $\ln a – \ln b = \ln(a/b)$। তাই (ক) এবং (খ) দুটিই সঠিক।

সঠিক উত্তর: (খ) $2 e^{2x}$

চেইন রুল প্রয়োগ করে: $\frac{d}{dx}(e^{2x}) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2 = 2 e^{2x}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $e$

এটি অসীম সীমার (Limits involving infinity) ক্ষেত্রে $e$ এর সংজ্ঞামূলক একটি সূত্র। চক্রবৃদ্ধি সুদের (Compound interest) ধারণার সাথে এর সরাসরি গাণিতিক সম্পর্ক রয়েছে।

সঠিক উত্তর: (খ) $6x(x^2 + 1)^2$

বাইরের ফাংশনটি হলো $(\dots)^3$।
$\frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^3] = 3(x^2 + 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$
$= 3(x^2 + 1)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2 + 1)^2$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{x \ln a}$

লগারিদমের নিধান পরিবর্তনের সূত্র (Change of base formula) প্রয়োগ করে: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$।
যেহেতু $1/\ln a$ একটি ধ্রুবক, তাই $\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

আমরা জানি $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$।
এই রাশিটিকে লেখা যায় $\frac{1}{\frac{\tan x}{x}}$।
সীমা প্রয়োগ করলে: $\frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $x = 1$ এবং $x = -1$

র‍্যাশনাল বা মূলদ ফাংশনগুলো অসংজ্ঞাত (Undefined) হয় যখন তাদের হর শূন্য হয়।
এখানে হর হলো $x^2 – 1$।
$x^2 – 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1, -1$।
তাই $x=1$ এবং $x=-1$ বিন্দুতে ফাংশনটি অসংজ্ঞাত। (এদের Vertical Asymptote বলা হয়)।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$।
ঘাতের সূত্র $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ প্রয়োগ করে পাই:
$f'(x) = \frac{1}{2} x^{(1/2 – 1)} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 3/2

অসীম সীমার ($x \to \infty$) ক্ষেত্রে, লব ও হরের সর্বোচ্চ ঘাত দিয়ে উভয়কে ভাগ করতে হয়। এখানে সর্বোচ্চ ঘাত $x^2$।
$\lim_{x \to \infty} \frac{3 – 4/x + 5/x^2}{2 + 7/x – 3/x^2}$
যেহেতু $x \to \infty$, তাই $1/x \to 0$ এবং $1/x^2 \to 0$।
সুতরাং, সীমার মান $= \frac{3 – 0 + 0}{2 + 0 – 0} = \frac{3}{2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

প্রমিত সূত্র অনুযায়ী, $\lim_{x \to a} \frac{x^n – a^n}{x – a} = n a^{n-1}$।
এখানে, $n \cdot 2^{n-1} = 80$
অপশনগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়, যদি $n=5$ হয়, তবে $5 \cdot 2^{5-1} = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$।
তাই $n = 5$।

সঠিক উত্তর: (গ) $e^x (\sin x + \cos x)$

গুণের নিয়ম (Product Rule) প্রয়োগ করতে হবে: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$।
$\frac{dy}{dx} = e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$
$= e^x \cos x + \sin x \cdot e^x = e^x (\sin x + \cos x)$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

কোনো বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হতে হলে তিনটি শর্ত পূরণ করতে হয়: (1) ফাংশনটির ওই বিন্দুতে মান $f(a)$ থাকতে হবে, (2) ওই বিন্দুতে ফাংশনটির সীমা $\lim_{x \to a} f(x)$ থাকতে হবে, এবং (3) সীমার মান ফাংশনটির মানের সমান হতে হবে।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1 – \ln x}{x^2}$

ভাগের নিয়ম (Quotient Rule) প্রয়োগ করতে হবে: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v u’ – u v’}{v^2}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) – \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$= \frac{x \cdot (1/x) – \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $m^2/n^2$

ত্রিকোণমিতির সূত্র $1 – \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ ব্যবহার করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(mx/2)}{2\sin^2(nx/2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(mx/2)}{\sin^2(nx/2)}$
লব ও হরকে $x^2/4$ দিয়ে ভাগ করে সীমার প্রমিত সূত্রে সাজালে, এর মান দাঁড়ায় $\frac{m^2}{n^2}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sin 2x$

চেইন রুল (Chain Rule) প্রয়োগ করে: $\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2(\sin x)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$= 2 \sin x \cdot \cos x$
ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী, $2 \sin x \cos x = \sin 2x$।

সঠিক উত্তর: (খ) 7

পদার্থবিদ্যায়, বেগ হলো সময়ের সাপেক্ষে সরণের পরিবর্তনের হার। অর্থাৎ, বেগ $v = \frac{ds}{dt}$।
$v = \frac{d}{dt}(t^2 + 3t + 2) = 2t + 3$
$t = 2$ বসালে, বেগ $v = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$ একক।

সঠিক উত্তর: (গ) $a^x \ln a$

এটি সূচকীয় ফাংশনের অবকলনের প্রমিত সূত্র। (ক) হলো ঘাতের সূত্র (Power rule), যা $x^n$ এর জন্য প্রযোজ্য, $a^x$ এর জন্য নয়। (ঘ) হলো $a^x$ এর সমাকলনের (Integration) সূত্র।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

প্রমিত সূত্র $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$ ব্যবহার করে পাই:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{4x} \times 4$
যেহেতু $x \to 0$, তাই $4x \to 0$।
সীমার মান $= 1 \times 4 = 4$।

সঠিক উত্তর: (গ) $x = 0$

মডুলাস ফাংশনের গ্রাফ $x=0$ বিন্দুতে একটি তীক্ষ্ণ বাঁক বা “V” আকৃতির কোণ (Sharp corner) তৈরি করে। কোনো গ্রাফে তীক্ষ্ণ কোণ থাকলে সেই বিন্দুতে অনন্য স্পর্শক (Unique tangent) আঁকা যায় না, তাই সেই বিন্দুতে ফাংশনটি অবকলনযোগ্য হয় না। $x=0$ তে বামদিকের অবকলন (LHD) -1 এবং ডানদিকের অবকলন (RHD) +1।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^{3x} – 1) – (e^{2x} – 1)}{x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} – 1}{x} – \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} – 1}{x}$
প্রথম সীমার মান $3$ এবং দ্বিতীয়টির মান $2$।
সুতরাং, নির্ণেয় মান $= 3 – 2 = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

$y = (ax+b)^{1/2}$
চেইন রুল অনুযায়ী: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(ax+b)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(ax+b)$
$= \frac{1}{2\sqrt{ax+b}} \cdot (a \cdot 1 + 0) = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$।

সঠিক উত্তর: (খ) অযুগ্ম অপেক্ষক (Odd function)

যুগ্ম অপেক্ষকের শর্ত: $f(-x) = f(x)$।
উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অবকলন করলে চেইন রুল অনুযায়ী: $f'(-x) \cdot (-1) = f'(x)$
$\implies f'(-x) = -f'(x)$, যা অযুগ্ম অপেক্ষকের শর্ত। (উদাহরণ: $f(x) = x^2$ যুগ্ম, এর অবকলন $f'(x) = 2x$ অযুগ্ম)।

সঠিক উত্তর: (খ) $\pi/180$

ক্যালকুলাসের ত্রিকোণমিতিক সূত্রগুলোতে কোণ সর্বদা রেডিয়ানে (Radian) থাকতে হবে।
আমরা জানি, $x^\circ = \frac{\pi x}{180}$ রেডিয়ান।
সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \times \frac{\pi}{180} \right) = 1 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2\pi r$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$।
ব্যাসার্ধ $r$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার মানে $A$ এর অবকলন $\frac{dA}{dr}$।
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = \pi (2r) = 2\pi r$। (যা বৃত্তের পরিসীমা বা পরিধির সমান)।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

লব এবং হর উভয়কে $x$ দিয়ে ভাগ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x – 1}{x}}{\frac{\ln(1+x)}{x}}$
আমরা জানি, লবের সীমা $= 1$ এবং হরের সীমা $= 1$।
সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশির মান $= \frac{1}{1} = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{x \ln 10}$

আমরা জানি $\log_a x$ এর অবকলন $\frac{1}{x \ln a}$।
এখানে বেস বা নিধান $a = 10$।
তাই $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

$x \to 0$ হলে মান 1 হয়, কিন্তু এখানে $x \to \infty$।
$\sin x$ এর মান সর্বদা $-1$ এবং $1$ এর মধ্যে আবদ্ধ (Bounded)।
একটি আবদ্ধ সসীম মানকে অসীম ($\infty$) দিয়ে ভাগ করলে তার মান $0$ হয়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

$y = (\sin x)^{1/2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$= \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

$x \to 0$ হওয়ার কারণে প্রথম অংশটি $0$-এর দিকে যাচ্ছে। আর $\sin(1/x)$ এর মান সর্বদাই $-1$ এবং $1$ এর মধ্যে দোদুল্যমান (Oscillating but bounded)।
$0$ এর সাথে যেকোনো সসীম মান গুণ করলে তার ফলাফল $0$ হয়। (এটি স্যান্ডউইচ উপপাদ্য দিয়েও প্রমাণ করা যায়)।

সঠিক উত্তর: (ক) $a^x \ln a + a x^{a-1}$

এখানে দুটি আলাদা ফাংশন যোগ করা আছে।
১ম অংশ: $a^x$ হলো সূচকীয় ফাংশন, এর অবকলন $a^x \ln a$।
২য় অংশ: $x^a$ হলো ঘাতের ফাংশন ($x^n$ এর মতো), এর অবকলন $a x^{a-1}$।
দুটো যোগ করলেই সঠিক উত্তর পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) $x(2 \ln x + 1)$

গুণের নিয়ম (Product rule) প্রয়োগ করে:
$\frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$= x^2 \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot (2x) = x + 2x \ln x$
$x$ কমন নিলে: $x(1 + 2 \ln x)$ বা $x(2 \ln x + 1)$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1/2

$1 – \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x/2)}{4 \cdot (x/2)^2}$
$= \frac{2}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{-a}{(ax+b)^2}$

$f(x) = (ax+b)^{-1}$
চেইন রুল প্রয়োগ করে: $f'(x) = -1 \cdot (ax+b)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(ax+b)$
$= \frac{-1}{(ax+b)^2} \cdot a = \frac{-a}{(ax+b)^2}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{\ln(a/b)}{\ln(c/d)}$

লব ও হর উভয়কে $x$ দিয়ে ভাগ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x – b^x}{x}}{\frac{c^x – d^x}{x}}$
পূর্বের একটি প্রশ্নে আমরা দেখেছি $\lim_{x \to 0} \frac{a^x – b^x}{x} = \ln(a/b)$।
তেমনি হরের মান হবে $\ln(c/d)$। তাই নির্ণেয় মান $\frac{\ln(a/b)}{\ln(c/d)}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$

এখানে $n!$ একটি ধ্রুবক। তাই এটি অপরিবর্তিত থাকবে।
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n!} x^n \right) = \frac{1}{n!} \cdot n x^{n-1}$
আমরা জানি $n! = n \times (n-1)!$
$= \frac{n \cdot x^{n-1}}{n \cdot (n-1)!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$।

সঠিক উত্তর: (গ) অবিচ্ছিন্ন (Continuous)

ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক উপপাদ্য হলো: “Every differentiable function is continuous, but the converse is not necessarily true.” অর্থাৎ, অবকলনযোগ্য হলে ফাংশনটি অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হবে, কিন্তু অবিচ্ছিন্ন হলেই যে তা অবকলনযোগ্য হবে এমন কোনো কথা নেই (যেমন $|x|$)।

সঠিক উত্তর: (খ) $x = 2$

মডুলাস ফাংশন $|x-a|$ সর্বদা $x = a$ বিন্দুতে একটি তীক্ষ্ণ কোণ (sharp point) তৈরি করে। এই বিন্দুতে অনন্য কোনো স্পর্শক আঁকা সম্ভব হয় না বলে ফাংশনটি ওই বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয় না। এখানে $a=2$, তাই $x=2$ তে অবকলনযোগ্য নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 5/3

লব ও হর উভয়কে $x$ দিয়ে ভাগ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\tan 3x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \times 5}{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \times 3} = \frac{1 \times 5}{1 \times 3} = \frac{5}{3}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

ধরি, $y = 1/x$। যখন $x \to \infty$, তখন $y \to 0$।
সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \sin(y) = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\sec^2 x$

ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করি:
$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ এবং $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$।
$y = \sqrt{\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x}} = \sqrt{\tan^2 x} = \tan x$।
সুতরাং, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$।

সঠিক উত্তর: (গ) $x = 3$

মডুলাস ফাংশন $|x-a|$ সর্বদা $x = a$ বিন্দুতে একটি তীক্ষ্ণ বাঁক বা “V” আকৃতির কোণ তৈরি করে। তাই $x = 3$ বিন্দুতে অনন্য স্পর্শক আঁকা সম্ভব নয় এবং এটি ওই বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) $t = 2$ সেকেন্ডে

বেগ $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9$।
ত্বরণ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = 6t – 12$।
ত্বরণ শূন্য হলে, $6t – 12 = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2$।
সুতরাং, 2 সেকেন্ডে ত্বরণ শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) $\ln x$

প্রথম অংশে গুণের নিয়ম প্রয়োগ করি:
$\frac{d}{dx}(x \ln x) = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1 = 1 + \ln x$
দ্বিতীয় অংশের অবকলন: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
সম্পূর্ণ অবকলন: $(1 + \ln x) – 1 = \ln x$। (এটি ইন্টিগ্রেশন বা সমাকলনের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রমাণের বিপরীত ধাপ)।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $\cot x$

চেইন রুল প্রয়োগ করে:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$= \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

সীমাটিকে সাজিয়ে লিখি: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} – 1}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{x}$
এখানে দুটি প্রমিত সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে:
১ম অংশ $\lim_{\tan x \to 0} \frac{e^{\tan x} – 1}{\tan x} = 1$
২য় অংশ $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
নির্ণেয় মান $= 1 \times 1 = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) -3

ভাগের নিয়ম (Quotient rule) প্রয়োগ করে:
$f'(x) = \frac{(x-1)\cdot 2 – (2x+1)\cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x – 2 – 2x – 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$
$x=2$ বসালে: $f'(2) = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1} = -3$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

লব ও হরকে এর অনুবন্ধী $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$ দিয়ে গুণ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x) – (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$
$x=0$ বসালে: $\frac{2}{1 + 1} = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 2

জ্যামিতিকভাবে, $\frac{dy}{dx}$ হলো স্পর্শকের ঢাল।
$\frac{dy}{dx} = 2x – 4$
$x=3$ বিন্দুতে ঢাল = $2(3) – 4 = 6 – 4 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2x \cdot 5^{x^2} \ln 5$

চেইন রুল প্রয়োগ করে:
$\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ (যেখানে $u = x^2$ এবং $a = 5$)
$= 5^{x^2} \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 5^{x^2} \ln 5 \cdot (2x) = 2x \cdot 5^{x^2} \ln 5$।

সঠিক উত্তর: (খ) $e^2$

এটি একটি প্রমিত সীমার বর্ধিত রূপ। $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$।
এখানে $a = 2$, তাই মান হবে $e^2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $-3\cos^2 x \sin x$

$y = (\cos x)^3$
চেইন রুল অনুযায়ী: $\frac{dy}{dx} = 3(\cos x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$= 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ (Identity) অনুযায়ী, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$।
সুতরাং, ফাংশনটি একটি ধ্রুবক ফাংশন: $f(x) = 1$।
যেকোনো ধ্রুবক রাশির অবকলন সর্বদা 0 হয়। তাই $f'(x) = 0$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\log_b a$

লব ও হরকে $x$ দিয়ে ভাগ করি: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x – 1}{x}}{\frac{b^x – 1}{x}}$
প্রমিত সূত্র অনুযায়ী, লবের সীমা $\ln a$ এবং হরের সীমা $\ln b$।
সুতরাং, মান $= \frac{\ln a}{\ln b}$। লগারিদমের নিধান পরিবর্তনের সূত্র (Change of base formula) অনুযায়ী $\frac{\ln a}{\ln b} = \log_b a$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\sec x$

চেইন রুল প্রয়োগ করে: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)$
$= \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x)$
লব থেকে $\sec x$ কমন নিলে: $\frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$। (এটি সমাকলনের একটি বিখ্যাত প্রমাণের অংশ)।

সঠিক উত্তর: (খ) $e^2$

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, রাশিটিকে লেখা যায়: $\left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^2$
ভেতরের সীমার প্রমিত মান হলো $e$।
সুতরাং, সম্পূর্ণ মান হবে $e^2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{2y – 1}$

অসীম ধারাটির দিকে লক্ষ করলে দেখা যায়, রুটের ভেতরের অংশটিও $y$ এর সমান।
তাই, $y = \sqrt{x + y}$। উভয়পক্ষকে বর্গ করলে: $y^2 = x + y$।
এবার $x$ এর সাপেক্ষে অবকলন করি: $2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$
$\implies 2y \frac{dy}{dx} – \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx}(2y – 1) = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y – 1}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

ধরি, $\frac{\pi}{2} – x = h \implies x = \frac{\pi}{2} – h$।
যখন $x \to \frac{\pi}{2}$, তখন $h \to 0$।
সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2} – h)}{h}$
আমরা জানি $\cos(\frac{\pi}{2} – h) = \sin h$।
সুতরাং, $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

যুগ্ম অপেক্ষকের ক্ষেত্রে: $f(-x) = f(x)$।
উভয়পক্ষকে অবকলন করলে: $-f'(-x) = f'(x) \implies f'(-x) = -f'(x)$ (অর্থাৎ $f'(x)$ একটি অযুগ্ম অপেক্ষক)।
এবার $x = 0$ বসালে: $f'(0) = -f'(0) \implies 2f'(0) = 0 \implies f'(0) = 0$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

লগারিদমের মৌলিক ধর্ম (Fundamental property of Logarithms) অনুযায়ী, $a^{\log_a x} = x$।
যেহেতু $\ln x$ এর নিধান $e$, তাই $y = e^{\ln x} = x$।
এখন, $y = x$ হলে, $\frac{dy}{dx} = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

ধরি, $x – 1 = h \implies x = 1 + h$।
যখন $x \to 1$, তখন $h \to 0$।
সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{h \to 0} \frac{\log_e (1 + h)}{h}$।
এটি একটি প্রমিত সূত্র, যার মান 1।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

আগের ৯৭ নং প্রশ্নের মতোই, লগারিদমের ধর্ম অনুযায়ী $a^{\log_a x} = x$।
তাই, $y = 2^{\log_2 x} = x$।
অতএব, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 1

লব ও হরকে હরের অনুবন্ধী $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$ দিয়ে গুণ করি:
$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{(1+x) – (1-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{2x}$
$x$ কেটে দিলে: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{2}$
$x=0$ বসালে: $\frac{\sqrt{1} + \sqrt{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1$।

সঠিক উত্তর: (গ) 2

রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x – 1) – (e^{-x} – 1)}{x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} – \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} – 1}{x}$
দ্বিতীয় সীমার ক্ষেত্রে লব ও হরকে -1 দিয়ে গুণ করলে সেটি প্রমিত সূত্রে পড়ে।
$= 1 – (-1) = 1 + 1 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) $2\pi r \frac{dr}{dt}$

ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$।
সময়ের ($t$) সাপেক্ষে অবকলন করতে চেইন রুল প্রয়োগ করতে হবে:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) অসংজ্ঞাত (Does not exist)

$x=0$ তে ফাংশনটির বামদিকের অবকলন (Left Hand Derivative) হলো -1 এবং ডানদিকের অবকলন (Right Hand Derivative) হলো +1। যেহেতু LHD $\neq$ RHD, তাই $x=0$ বিন্দুতে ফাংশনটি অবকলনযোগ্য নয়, অর্থাৎ $f'(0)$ এর মান অসংজ্ঞাত।

সঠিক উত্তর: (খ) $\pi$

লব ও হরকে $\pi$ দিয়ে গুণ করি:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \times \pi \right)$
যেহেতু $x \to 0$, তাই $\pi x \to 0$।
প্রমিত সূত্র অনুযায়ী, সীমার মান $= 1 \times \pi = \pi$।

সঠিক উত্তর: (গ) 22

বেগ $v = \frac{ds}{dt}$।
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t) = 10t + 2$।
$t = 2$ বসালে, বেগ $v = 10(2) + 2 = 20 + 2 = 22$ একক/সেকেন্ড।