সঠিক উত্তর: (খ) 1

এটি $\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2}$ আকারে রয়েছে।
এর মান সর্বদা $(a + b)$ হয়।
অতএব মান = 0.87 + 0.13 = 1.00 বা 1।

সঠিক উত্তর: (ক) 1

এটি $\frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}$ আকারে রয়েছে।
এর মান সর্বদা $(a – b)$ হয়।
অতএব মান = 2.5 – 1.5 = 1.0 বা 1।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{5}{3}$

সিঁড়ি ভাঙা অঙ্কে নিচ থেকে শুরু করতে হয়।
প্রথমে: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
এরপর: $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
সবশেষে: $1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{50}$

প্রতিটি বন্ধনী সমাধান করলে পাই: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \dots \times \frac{99}{100}$
মাঝখানের সমস্ত সংখ্যা কেটে যাবে। শুধু প্রথম লব (2) এবং শেষ হর (100) পড়ে থাকবে।
অতএব, মান = $\frac{2}{100} = \frac{1}{50}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5997

999 মোট 6 বার আছে। তাই পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল = $999 \times 6 = 5994$।
ভগ্নাংশগুলোর যোগফল = $\frac{1+2+3+4+5+6}{7} = \frac{21}{7} = 3$।
মোট যোগফল = 5994 + 3 = 5997।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী: $(a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab$।
সমীকরণটি হলো $\frac{4ab}{ab}$।
মানগুলো যাই হোক না কেন, $ab$ এবং $ab$ কেটে গিয়ে সর্বদা 4 অবশিষ্ট থাকবে।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{9}{10}$

প্রতিটি পদকে ভাঙলে পাই: $(1 – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10})$।
মাঝের সব পদ কেটে যাবে। পড়ে থাকবে $1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 5

শেষ থেকে শুরু করতে হয়: $\sqrt{16} = 4$।
এরপর: $\sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5$।
সবশেষে: $\sqrt{20 + 5} = \sqrt{25} = 5$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{8}{3}$

লব অংশে ‘এর’ এর কাজ আগে: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 2$।
হর অংশে ‘এর’ এর কাজ আগে: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
অতএব সম্পূর্ণ মান = $2 \div \frac{3}{4} = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে:
$\frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 3

এই ধরনের অঙ্কের শর্টকাট হলো ভেতরের সংখ্যাটিকে (6) দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফলে ভাঙা।
6 = 2 $\times$ 3।
যেহেতু মাঝে যোগ (+) চিহ্ন আছে, তাই বড় সংখ্যাটি (3) হবে উত্তর।

সঠিক উত্তর: (খ) 0.3

ভেতরের রুটটি আগে: $\sqrt{0.0064} = 0.08$।
এরপর: $\sqrt{0.01 + 0.08} = \sqrt{0.09} = 0.3$।

সঠিক উত্তর: (গ) 100

250 এর 20% = $\frac{250 \times 20}{100} = 50$।
200 এর 25% = $\frac{200 \times 25}{100} = 50$।
যোগফল = 50 + 50 = 100।

সঠিক উত্তর: (খ) 27

প্রথমে রেখা বন্ধনীর কাজ: $(8 – 5) = 3$।
প্রথম বন্ধনী: $(7 – 3) = 4$।
দ্বিতীয় বন্ধনী: $\{6 + 2 \times 4\} = \{6 + 8\} = 14$।
তৃতীয় বন্ধনী: $[5 – 14] = -9$।
সবশেষে: $18 – (-9) = 18 + 9 = 27$।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

যোগফল $x + y = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} – 1)^2}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)}$
লবের সূত্র $2(a^2 + b^2)$ প্রয়োগ করলে: $2(3 + 1) = 8$।
হরের সূত্র $(a^2 – b^2)$ প্রয়োগ করলে: $(3 – 1) = 2$。
অতএব, মান = $\frac{8}{2} = 4$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{11}{7}$

নিচ থেকে শুরু করি:
$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
এরপর: $\frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
এরপর: $1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
এরপর: $\frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}$
সবশেষে: $1 + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 8

লব অংশে $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$ সূত্র প্রয়োগ করি।
$(6.25 + 1.75)(6.25 – 1.75) = 8 \times 4.5$
সমীকরণ দাঁড়ায়: $\frac{8 \times 4.5}{4.5} = 8$।

সঠিক উত্তর: (ক) 998996

ভগ্নাংশটিকে যোগ আকারে লিখলে: $(999 + \frac{995}{999}) \times 999$
$= 999 \times 999 + 995$
$= (1000 – 1) \times 999 + 995$
$= 999000 – 999 + 995 = 999000 – 4 = 998996$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{6}{7}$

প্রতিটি পদকে ভাঙলে:
$(1 – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{6} – \frac{1}{7})$
মাঝের সব পদ কেটে যাবে। পড়ে থাকবে: $1 – \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 14

বীজগণিতের সূত্র: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$।
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 \times x \times \frac{1}{x}$
$= 4^2 – 2 = 16 – 2 = 14$।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

12 কে দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফলে ভাঙলে: $3 \times 4$।
মাঝে যোগ ($+$) চিহ্ন থাকায় বড় সংখ্যাটি (4) উত্তর হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 0.86

এটি $\frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}$ সূত্র অনুযায়ী সাজানো।
(যেখানে $a = 0.96$ এবং $b = 0.1$)।
এর মান হয় $a – b = 0.96 – 0.1 = 0.86$।

সঠিক উত্তর: (খ) 18

ভাগের আগে ‘এর’-এর কাজ: 4 এর $2 = 8$।
সমীকরণ দাঁড়ায়: $24 \div 8 + 5 \times 3$।
ভাগ: $24 \div 8 = 3$।
গুণ: $5 \times 3 = 15$।
যোগ: $3 + 15 = 18$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{11}{20}$

সূত্র: $1 – \frac{1}{n^2} = (1 – \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})$।
ভাঙলে: $(\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}) \times (\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}) \times \dots \times (\frac{9}{10} \times \frac{11}{10})$。
মাঝের সব ভগ্নাংশ গুণ হয়ে 1 হয়ে যাবে। পড়ে থাকবে প্রথমটির লব ও শেষটির হর অংশ।
মান = $\frac{1}{2} \times \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{1}{8}$

হরের প্রতিটি পদ লবের দ্বিগুণ।
$(0.2)^3 + (0.4)^3 = (2 \times 0.1)^3 + (2 \times 0.2)^3$
$= 2^3 (0.1^3 + 0.2^3) = 8(0.1^3 + 0.2^3)$。
উপর-নিচ কেটে গেলে মান হবে $\frac{1}{8}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 2

$x + \frac{1}{x} = 2$ সমীকরণটি একমাত্র তখনই সিদ্ধ হয় যখন $x = 1$ হয়।
অতএব $1^{10} + \frac{1}{1^{10}} = 1 + 1 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 10

লব অংশে $a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2$ সূত্র প্রয়োগ করা যায়।
লব = $(3.75 – 2.75)^2 = 1^2 = 1$।
সমীকরণ দাঁড়ায়: $\frac{1}{0.1} = \frac{10}{1} = 10$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

প্রতিটি পদের হরকে করণী নিরসন (Rationalization) করলে পাই:
$(\sqrt{9} – \sqrt{8}) + (\sqrt{8} – \sqrt{7}) + \dots + (\sqrt{2} – 1)$。
মাঝের সব পদ কেটে যাবে। পড়ে থাকবে: $\sqrt{9} – 1 = 3 – 1 = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{3}{5}$

প্রথম বন্ধনী: $1 + 1 = 2$
দ্বিতীয় বন্ধনীর ভেতরের কাজ: $1 + 1 \div 2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
তৃতীয় বন্ধনীর ভেতরের কাজ: $1 + 1 \div \frac{3}{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
সবশেষে ভাগ: $1 \div \frac{5}{3} = \frac{3}{5}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1.25

ভাগের কাজ আগে: $0.5 \div 0.5 = 1$।
গুণের কাজ: $0.5 \times 0.5 = 0.25$।
যোগের কাজ: $0.25 + 1 = 1.25$।

সঠিক উত্তর: (ক) 34

$x = 3 + \sqrt{8}$ হলে, $\frac{1}{x} = 3 – \sqrt{8}$ (যেহেতু $3^2 – (\sqrt{8})^2 = 9 – 8 = 1$)।
অতএব, $x + \frac{1}{x} = (3 + \sqrt{8}) + (3 – \sqrt{8}) = 6$।
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 = 6^2 – 2 = 36 – 2 = 34$।

সঠিক উত্তর: (ক) 0.125

হরের প্রতিটি পদ লবের দ্বিগুণ।
হর $= (2 \times 0.1)^3 + (2 \times 0.02)^3 = 8(0.1^3 + 0.02^3)$।
লব ও হর কেটে গেলে থাকে $\frac{1}{8} = 0.125$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{3}{20}$

প্রতিটি হরকে ক্রমিক সংখ্যার গুণফলে ভাঙলে পাই:
$(\frac{1}{4 \times 5}) + (\frac{1}{5 \times 6}) + \dots + (\frac{1}{9 \times 10})$।
$= (\frac{1}{4} – \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} – \frac{1}{6}) + \dots + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10})$。
মাঝের সব কেটে গিয়ে থাকে $\frac{1}{4} – \frac{1}{10} = \frac{5 – 2}{20} = \frac{3}{20}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

ভেতর থেকে শুরু করি: $7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$।
তাহলে, $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$।
এরপর: $3 + 8(2 + \sqrt{3}) = 3 + 16 + 8\sqrt{3} = 19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2$।
এর রুট করলে হবে $4 + \sqrt{3}$।
সবশেষে: $\sqrt{-\sqrt{3} + 4 + \sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$।

সঠিক উত্তর: (ক) 8

সূত্রের সাহায্যে: $x + y = \frac{2(a + b)}{a – b}$।
এখানে $a = 5$ এবং $b = 3$।
অতএব, $x + y = \frac{2(5 + 3)}{5 – 3} = \frac{16}{2} = 8$।

সঠিক উত্তর: (খ) $-a$

নিচের অংশটি সমাধান করি: $1 – \frac{1}{1+a} = \frac{1+a-1}{1+a} = \frac{a}{1+a}$।
এবার সম্পূর্ণ ভগ্নাংশটি: $\frac{a}{\frac{a}{1+a}} = a \times \frac{1+a}{a} = 1+a$।
সবশেষে: $1 – (1+a) = 1 – 1 – a = -a$।

সঠিক উত্তর: (ক) $3 \times 10^4$

ভাগের নিয়মানুযায়ী:
$\frac{2.4 \times 10^3}{8 \times 10^{-2}} = \left(\frac{2.4}{8}\right) \times 10^{3 – (-2)}$
$= 0.3 \times 10^5 = 30000 = 3 \times 10^4$।

সঠিক উত্তর: (খ) 10

লব থেকে 5.32 কমন নিলে: $5.32(56 + 44) = 5.32 \times 100 = 532$।
হর অংশে $a^2 – b^2$ সূত্র: $(7.66 + 2.34)(7.66 – 2.34) = 10 \times 5.32 = 53.2$।
অতএব মান = $\frac{532}{53.2} = 10$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী: $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$।
প্রথম পদ = $(x^{a-b})^{a+b} = x^{a^2-b^2}$।
একইভাবে অন্য পদগুলো গুণ করলে ঘাতগুলো যোগ হবে:
$x^{a^2 – b^2 + b^2 – c^2 + c^2 – a^2} = x^0 = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) 9

করণী নিরসন করলে প্রতিটি পদ দাঁড়াবে $\sqrt{n+1} – \sqrt{n}$।
যেমন প্রথমটি: $\sqrt{2} – 1$, দ্বিতীয়টি: $\sqrt{3} – \sqrt{2}$ ইত্যাদি।
মাঝের সব কেটে গিয়ে থাকবে শেষ পদ – প্রথম পদ $= \sqrt{100} – 1 = 10 – 1 = 9$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{73}{77}$

$\frac{x}{y} = \frac{0.04}{1.5} = \frac{4}{150} = \frac{2}{75}$।
এখানে $x = 2$ এবং $y = 75$ ধরে নিলে:
$\frac{y-x}{y+x} = \frac{75 – 2}{75 + 2} = \frac{73}{77}$।

সঠিক উত্তর: (ক) 0.01

এটি $\frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}$ আকারে আছে।
এর মান সর্বদা $(a – b)$ হয়।
অতএব, $0.05 – 0.04 = 0.01$।

সঠিক উত্তর: (গ) 2

প্রথমে ভাগ: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
এরপর গুণ: $2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$।
সবশেষে যোগ: $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$।

সঠিক উত্তর: (গ) 4

$27 = 3^3$, তাই $x – y = 3$।
$243 = 3^5$, তাই $x + y = 5$।
সমীকরণ দুটি যোগ করলে: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{7}{8}$

লব অংশে $2^n$ কমন নিলে: $2^n (2^4 – 2) = 2^n(16 – 2) = 2^n \times 14$।
হর অংশে: $2 \times 2^{n+3} = 2^{n+4} = 2^n \times 16$।
অতএব, মান = $\frac{2^n \times 14}{2^n \times 16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$।