Average Level 2 (Competitive) – গড় শর্টকাট ও গুরুত্বপূর্ণ MCQ | SSC CHSL, Railway NTPC, Food SI
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ২ – পর্ব ১
বিশ্লেষণমূলক সমস্যা ও প্রয়োগ
🚀 বিশেষত্ব
লেভেল ২-এর এই পর্বে আমরা তুলনামূলক জটিল সমস্যাগুলো সমাধান করব। এখানে ভুল সংশোধনের অঙ্ক, ক্রিকেট খেলার গড় (Batting Average) এবং সদস্য পরিবর্তনের ফলে গড়ের হ্রাস-বৃদ্ধির মতো গুরুত্বপূর্ণ অঙ্কগুলো রাখা হয়েছে, যা সাধারণত স্টেট ও সেন্ট্রাল লেভেলের পরীক্ষাগুলোতে প্রচুর আসে।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- ক্রিকেট গড়ের শর্টকাট: নতুন গড় = নতুন ইনিংসে করা রান $-$ (পূর্বের ইনিংস সংখ্যা $\times$ গড়ের বৃদ্ধি)।
- সম্মিলিত গড়: যদি $n_1$ টি রাশির গড় $a_1$ এবং $n_2$ টি রাশির গড় $a_2$ হয়, তবে তাদের সম্মিলিত গড় = $\frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2}$।
- সদস্য পরিবর্তন: নতুন সদস্যের মান = বিদায়ী সদস্যের মান $\pm$ (মোট সদস্য সংখ্যা $\times$ গড়ের পরিবর্তন)।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (১-১৫):
1. একটি ক্লাসে 30 জন ছাত্রের গড় বয়স 15 বছর এবং 20 জন ছাত্রীর গড় বয়স 14 বছর। পুরো ক্লাসের গড় বয়স কত?
- (ক) 14.4 বছর
- (খ) 14.5 বছর
- (গ) 14.6 বছর
- (ঘ) 14.8 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 14.6 বছর
ছাত্রদের মোট বয়স = $30 \times 15 = 450$ বছর।
ছাত্রীদের মোট বয়স = $20 \times 14 = 280$ বছর।
মোট 50 জনের বয়স = $450 + 280 = 730$ বছর।
পুরো ক্লাসের গড় = $\frac{730}{50} = 14.6$ বছর।
2. 5 টি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গড় 36। বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল কত?
- (ক) 70
- (খ) 72
- (গ) 74
- (ঘ) 76
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 72
5 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় মাঝের সংখ্যাটি হয়, অর্থাৎ 3য় সংখ্যাটি হলো 36।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো: 32, 34, 36, 38, 40।
ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যার যোগফল = $32 + 40 = 72$।
3. 8 জন ব্যক্তির একটি কমিটিতে 35 এবং 45 বছর বয়সী দুজনের পরিবর্তে দুজন মহিলা যোগ দেওয়ায় গড় বয়স 2 বছর বেড়ে যায়। ওই দুজন মহিলার গড় বয়স কত?
- (ক) 42 বছর
- (খ) 46 বছর
- (গ) 48 বছর
- (ঘ) 50 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 48 বছর
8 জনের গড় বয়স 2 বছর বাড়ায় মোট বয়স বাড়ে = $8 \times 2 = 16$ বছর।
বাদ পড়া দুজনের মোট বয়স = $35 + 45 = 80$ বছর।
নতুন দুজন মহিলার মোট বয়স = $80 + 16 = 96$ বছর।
তাদের গড় বয়স = $\frac{96}{2} = 48$ বছর।
4. একজন ব্যাটসম্যান তার 11-তম ইনিংসে 90 রান করায় তার গড় রান 5 বৃদ্ধি পায়। 11-তম ইনিংসের পর তার গড় রান কত?
- (ক) 35
- (খ) 40
- (গ) 45
- (ঘ) 50
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 40
শর্টকাট নিয়ম: নতুন গড় = শেষ ইনিংসে করা রান $-$ (পূর্বের ইনিংস সংখ্যা $\times$ গড়ের বৃদ্ধি)
নতুন গড় = $90 – (10 \times 5) = 90 – 50 = 40$।
5. একটি পরিবারের 5 জন সদস্যের বর্তমান গড় বয়স 33 বছর। কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স 9 বছর হলে, তার জন্মের ঠিক আগে পরিবারের বাকি সদস্যদের গড় বয়স কত ছিল?
- (ক) 28 বছর
- (খ) 29 বছর
- (গ) 30 বছর
- (ঘ) 31 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 30 বছর
বর্তমানে 5 জনের মোট বয়স = $5 \times 33 = 165$ বছর।
9 বছর আগে ওই 5 জনের মোট বয়স ছিল = $165 – (5 \times 9) = 165 – 45 = 120$ বছর।
যেহেতু তখন কনিষ্ঠ সদস্যের জন্ম হয়নি, তাই পরিবারের সদস্য ছিল 4 জন।
তৎকালীন গড় বয়স = $\frac{120}{4} = 30$ বছর।
6. 100 টি সংখ্যার গড় 40। পরে দেখা গেল একটি সংখ্যা 53 এর বদলে ভুল করে 83 নেওয়া হয়েছে। সঠিক গড় কত?
- (ক) 39.7
- (খ) 39.5
- (গ) 40.3
- (ঘ) 40.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 39.7
100 টি সংখ্যার ভুল যোগফল = $100 \times 40 = 4000$
ভুল মানটি 83 এবং সঠিক মানটি 53। অর্থাৎ 30 বেশি নেওয়া হয়েছিল।
সঠিক যোগফল = $4000 – 30 = 3970$
সঠিক গড় = $\frac{3970}{100} = 39.7$।
7. সোমবার থেকে বুধবারের গড় তাপমাত্রা $37^\circ\text{C}$ এবং মঙ্গলবার থেকে বৃহস্পতিবারের গড় তাপমাত্রা $34^\circ\text{C}$। যদি বৃহস্পতিবারের তাপমাত্রা সোমবারের তাপমাত্রার $\frac{4}{5}$ হয়, তবে বৃহস্পতিবারের তাপমাত্রা কত?
- (ক) $34^\circ\text{C}$
- (খ) $36^\circ\text{C}$
- (গ) $38^\circ\text{C}$
- (ঘ) $45^\circ\text{C}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $36^\circ\text{C}$
সোম + মঙ্গল + বুধ = $3 \times 37 = 111$
মঙ্গল + বুধ + বৃহস্পতি = $3 \times 34 = 102$
বিয়োগ করলে: সোম – বৃহস্পতি = $111 – 102 = 9$
শর্তমতে, বৃহস্পতি = $\frac{4}{5}$ সোম। অর্থাৎ সোম – $\frac{4}{5}$ সোম = $9 \implies \frac{1}{5}$ সোম = $9$
সোমবারের তাপমাত্রা = $45^\circ\text{C}$।
বৃহস্পতিবারের তাপমাত্রা = $45 \times \frac{4}{5} = 36^\circ\text{C}$।
8. 3 এর প্রথম 10 টি গুণিতকের গড় কত?
- (ক) 15
- (খ) 16.5
- (গ) 18
- (ঘ) 19.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 16.5
3 এর প্রথম 10 টি গুণিতক হলো: 3, 6, 9, … 30।
যেহেতু এদের মধ্যে সমান ব্যবধান, তাই গড় = $\frac{\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}}{2}$
গড় = $\frac{3 + 30}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$।
9. A, B এবং C এর গড় ওজন 45 কেজি। A ও B এর গড় ওজন 40 কেজি এবং B ও C এর গড় ওজন 43 কেজি হলে, B এর ওজন কত?
- (ক) 26 কেজি
- (খ) 31 কেজি
- (গ) 35 কেজি
- (ঘ) 40 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 31 কেজি
$A + B + C = 3 \times 45 = 135$ কেজি।
$A + B = 2 \times 40 = 80$ কেজি।
$B + C = 2 \times 43 = 86$ কেজি।
$(A + B) + (B + C) – (A + B + C) = 80 + 86 – 135$
$B = 166 – 135 = 31$ কেজি।
10. 70 জন ছাত্রের একটি দলের গড় নম্বর 30। পাস করা ছাত্রদের গড় নম্বর 50 এবং ফেল করা ছাত্রদের গড় নম্বর 15 হলে, কতজন ছাত্র পাস করেছে?
- (ক) 20 জন
- (খ) 25 জন
- (গ) 30 জন
- (ঘ) 40 জন
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 30 জন
অ্যালিগেশন (Alligation) পদ্ধতিতে:
পাস (50) ও ফেল (15), মাঝে গড় (30)।
পাসের অনুপাত অংশ: $(30 – 15) = 15$
ফেলের অনুপাত অংশ: $(50 – 30) = 20$
অনুপাত (পাস : ফেল) = $15 : 20 = 3 : 4$
পাস করা ছাত্রের সংখ্যা = $\frac{3}{7} \times 70 = 30$ জন।
11. একটি লাইব্রেরিতে রবিবার গড়ে 510 জন এবং অন্যান্য দিন গড়ে 240 জন পাঠক আসে। 30 দিনের একটি মাস রবিবার দিয়ে শুরু হলে, ওই মাসে প্রতিদিন গড়ে কতজন পাঠক আসে?
- (ক) 275
- (খ) 280
- (গ) 285
- (ঘ) 290
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 285
মাসটি রবিবার দিয়ে শুরু হলে, ওই মাসে 5 টি রবিবার এবং 25 টি অন্যান্য দিন থাকবে।
রবিবারের মোট পাঠক = $5 \times 510 = 2550$
অন্যান্য দিনের মোট পাঠক = $25 \times 240 = 6000$
মাসের মোট পাঠক = $2550 + 6000 = 8550$
গড় পাঠক = $\frac{8550}{30} = 285$ জন।
12. 9 টি সংখ্যার গড় 50। প্রথম 5 টির গড় 54 এবং শেষ 3 টির গড় 52 হলে, 6-ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?
- (ক) 24
- (খ) 30
- (গ) 34
- (ঘ) 40
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 24
9 টির মোট যোগফল = $9 \times 50 = 450$
প্রথম 5 টির যোগফল = $5 \times 54 = 270$
শেষ 3 টির যোগফল = $3 \times 52 = 156$
প্রথম 5 ও শেষ 3 টির মোট যোগফল = $270 + 156 = 426$
6-ষ্ঠ সংখ্যাটি = $450 – 426 = 24$।
13. 11 জন খেলোয়াড়ের গড় বয়স 2 মাস কমে যায় যখন 17 বছর ও 20 বছর বয়সী দুজনের পরিবর্তে নতুন দুজন খেলোয়াড় দলে আসে। নতুন দুজনের গড় বয়স কত?
- (ক) 17 বছর 1 মাস
- (খ) 17 বছর 7 মাস
- (গ) 18 বছর 1 মাস
- (ঘ) 18 বছর 7 মাস
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 17 বছর 7 মাস
11 জনের গড় বয়স 2 মাস কমার অর্থ মোট বয়স কমেছে $11 \times 2 = 22$ মাস।
বিদায়ী দুজনের মোট বয়স = $17 + 20 = 37$ বছর = $444$ মাস।
নতুন দুজনের মোট বয়স = $444 – 22 = 422$ মাস।
নতুন দুজনের গড় বয়স = $\frac{422}{2} = 211$ মাস।
$211$ মাস = $17$ বছর $7$ মাস।
14. এক ছাত্রের 10 টি পরীক্ষার গড় নম্বর 80। সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন নম্বর বাদ দিলে গড় হয় 81। যদি সর্বোচ্চ নম্বর 92 হয়, তবে সর্বনিম্ন নম্বর কত?
- (ক) 55
- (খ) 58
- (গ) 60
- (ঘ) 62
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 60
10 টি পরীক্ষার মোট নম্বর = $10 \times 80 = 800$
দুটি বাদ দেওয়ার পর 8 টি পরীক্ষার মোট নম্বর = $8 \times 81 = 648$
সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন নম্বরের যোগফল = $800 – 648 = 152$
যেহেতু সর্বোচ্চ 92, তাই সর্বনিম্ন = $152 – 92 = 60$।
15. 3 টি সংখ্যার মধ্যে প্রথমটি দ্বিতীয়টির দ্বিগুণ এবং তৃতীয়টির অর্ধেক। সংখ্যা তিনটির গড় 56 হলে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?
- (ক) 48
- (খ) 72
- (গ) 80
- (ঘ) 96
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 72
ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যাটি $x$।
তাহলে প্রথম সংখ্যাটি $2x$ এবং তৃতীয় সংখ্যাটি $4x$ (যেহেতু প্রথমটি তৃতীয়টির অর্ধেক)।
গড় = $\frac{x + 2x + 4x}{3} = 56 \implies \frac{7x}{3} = 56 \implies x = 24$
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $x = 24$ এবং বৃহত্তম সংখ্যা $4x = 96$।
পার্থক্য = $96 – 24 = 72$।
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ২ – পর্ব ২
বিশ্লেষণমূলক সমস্যা ও প্রয়োগ
🚀 বিশেষত্ব
গড়ের এই পর্বে আমরা মিশ্র গড়, বয়স ও ওজনের পরিবর্তন এবং ক্রিকেট সম্পর্কিত গড়ের দারুণ কিছু সমস্যা সমাধান করব। এই ধরনের অঙ্কগুলোতে সমীকরণ তৈরি করে সমাধান করতে গেলে অনেক সময় নষ্ট হয়, তাই আমরা শর্টকাট লজিক ব্যবহার করব।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- সদস্য সংখ্যা নির্ণয়: সদস্য সংখ্যা = $\frac{\text{মোট মানের পরিবর্তন}}{\text{গড়ের পরিবর্তন}}$।
- ব্যয়ের সমস্যা: যদি একটি দলের একজন বাদে বাকি সবাই সমান খরচ করে এবং ওই একজন গড়ের চেয়ে বেশি খরচ করে, তবে মোট খরচ সমীকরণ আকারে সাজাতে হয়।
- ৩টি খণ্ডে যাতায়াত: সমান দূরত্বের ৩টি অংশ যথাক্রমে $x$, $y$ এবং $z$ বেগে অতিক্রম করলে, গড় গতিবেগ = $\frac{3xyz}{xy + yz + zx}$।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (১৬-৩০):
16. একজন ব্যাটসম্যান তার 17-তম ইনিংসে 87 রান করায় তার গড় রান 3 বৃদ্ধি পায়। 17-তম ইনিংসের পর তার গড় রান কত?
- (ক) 39
- (খ) 36
- (গ) 42
- (ঘ) 45
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 39
শর্টকাট নিয়ম: নতুন গড় = শেষ ইনিংসে করা রান $-$ (পূর্বের ইনিংস সংখ্যা $\times$ গড়ের বৃদ্ধি)।
নতুন গড় = $87 – (16 \times 3) = 87 – 48 = 39$।
17. সোম, মঙ্গল, বুধ এবং বৃহস্পতিবারের গড় তাপমাত্রা $31^\circ\text{C}$। মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি এবং শুক্রবারের গড় তাপমাত্রা $29.5^\circ\text{C}$। যদি সোমবারের তাপমাত্রা $37.5^\circ\text{C}$ হয়, তবে শুক্রবারের তাপমাত্রা কত?
- (ক) $29.5^\circ\text{C}$
- (খ) $30.5^\circ\text{C}$
- (গ) $31.5^\circ\text{C}$
- (ঘ) $32.5^\circ\text{C}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) $31.5^\circ\text{C}$
প্রথম 4 দিনের মোট তাপমাত্রা = $31 \times 4 = 124$
শেষ 4 দিনের মোট তাপমাত্রা = $29.5 \times 4 = 118$
বিয়োগ করলে: সোম $-$ শুক্র = $124 – 118 = 6$
$37.5 – \text{শুক্র} = 6 \implies \text{শুক্র} = 37.5 – 6 = 31.5^\circ\text{C}$।
18. বিয়ের সময় এক দম্পতির গড় বয়স ছিল 23 বছর। 5 বছর পর তাদের একটি 1 বছর বয়সী সন্তান আছে। বর্তমানে পরিবারটির গড় বয়স কত?
- (ক) 18 বছর
- (খ) 19 বছর
- (গ) 20 বছর
- (ঘ) 22 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 19 বছর
বিয়ের সময় দুজনের মোট বয়স = $23 \times 2 = 46$ বছর।
5 বছর পর দুজনের মোট বয়স = $46 + (5 \times 2) = 56$ বছর।
সন্তানের বয়স 1 বছর। তাই 3 জনের মোট বয়স = $56 + 1 = 57$ বছর।
বর্তমান গড় বয়স = $\frac{57}{3} = 19$ বছর।
19. 8 জন ব্যক্তির গড় ওজন 2.5 কেজি বৃদ্ধি পায়, যখন 65 কেজি ওজনের একজনের জায়গায় নতুন একজন আসে। নতুন ব্যক্তির ওজন কত?
- (ক) 75 কেজি
- (খ) 80 কেজি
- (গ) 85 কেজি
- (ঘ) 90 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 85 কেজি
8 জনের মোট ওজন বৃদ্ধি পেয়েছে = $8 \times 2.5 = 20$ কেজি।
এই অতিরিক্ত ওজন নতুন ব্যক্তির কারণে হয়েছে।
নতুন ব্যক্তির ওজন = $65 + 20 = 85$ কেজি।
20. 3 বছর আগে একটি পরিবারের 5 জন সদস্যের গড় বয়স ছিল 17 বছর। একটি শিশুর জন্মের পরও আজ তাদের গড় বয়স একই আছে। শিশুটির বর্তমান বয়স কত?
- (ক) 1 বছর
- (খ) 2 বছর
- (গ) 3 বছর
- (ঘ) 4 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2 বছর
3 বছর আগে 5 জনের মোট বয়স = $5 \times 17 = 85$ বছর।
বর্তমানে ওই 5 জনের মোট বয়স = $85 + (5 \times 3) = 100$ বছর।
শিশুটিসহ 6 জনের বর্তমান গড় বয়স 17, তাই মোট বয়স = $6 \times 17 = 102$ বছর।
শিশুটির বয়স = $102 – 100 = 2$ বছর।
21. 50 টি সংখ্যার গড় 38। যদি 45 এবং 55 সংখ্যা দুটি বাদ দেওয়া হয়, তবে বাকি সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?
- (ক) 36.5
- (খ) 37
- (গ) 37.5
- (ঘ) 38.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 37.5
50 টি সংখ্যার মোট যোগফল = $50 \times 38 = 1900$
বাদ দেওয়া সংখ্যা দুটির যোগফল = $45 + 55 = 100$
বাকি 48 টি সংখ্যার যোগফল = $1900 – 100 = 1800$
বাকি সংখ্যাগুলোর গড় = $\frac{1800}{48} = 37.5$।
22. 3, 11, 7, 9, 15, 13, 8, 19, 17, 21, 14 এবং $x$ এর গড় 12 হলে, $x$ এর মান কত?
- (ক) 3
- (খ) 7
- (গ) 9
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 7
এখানে মোট 12 টি সংখ্যা আছে।
12 টি সংখ্যার মোট যোগফল = $12 \times 12 = 144$
দেওয়া 11 টি সংখ্যার যোগফল = $3+11+7+9+15+13+8+19+17+21+14 = 137$
অতএব, $x = 144 – 137 = 7$।
23. 6 টি রাশির গড় 12। একটি নতুন রাশি যুক্ত হওয়ায় গড় 1 কমে যায়। 7-তম রাশিটি কত?
- (ক) 4
- (খ) 5
- (গ) 6
- (ঘ) 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 5
6 টি রাশির যোগফল = $6 \times 12 = 72$
নতুন গড় = $12 – 1 = 11$
7 টি রাশির যোগফল = $7 \times 11 = 77$
7-তম রাশিটি = $77 – 72 = 5$।
24. একটি ক্লাসের 30 জন ছাত্রের গড় বয়স 15 বছর। 20 বছর বয়সী একজন ছাত্র চলে যায় এবং দুজন নতুন ছাত্র আসে যাদের বয়সের পার্থক্য 5 বছর। যদি নতুন গড় 15 বছরই থাকে, তবে ছোট ছাত্রের বয়স কত?
- (ক) 10 বছর
- (খ) 12 বছর
- (গ) 15 বছর
- (ঘ) 20 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 15 বছর
প্রাথমিক মোট বয়স = $30 \times 15 = 450$ বছর।
ছাত্র সংখ্যা এখন $30 – 1 + 2 = 31$ জন।
নতুন মোট বয়স = $31 \times 15 = 465$ বছর।
ধরি, নতুন ছোট ছাত্রের বয়স $y$ এবং বড় জনের $y+5$।
সমীকরণ: $450 – 20 + y + y + 5 = 465$
$435 + 2y = 465 \implies 2y = 30 \implies y = 15$।
25. একটি কারখানায় সব শ্রমিকের গড় বেতন 8000 টাকা। এর মধ্যে 7 জন টেকনিশিয়ানের গড় বেতন 12000 টাকা এবং বাকি শ্রমিকদের গড় বেতন 6000 টাকা। কারখানায় মোট শ্রমিকের সংখ্যা কত?
- (ক) 20
- (খ) 21
- (গ) 24
- (ঘ) 28
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 21
ধরি, মোট শ্রমিক $x$ জন।
$x$ জনের মোট বেতন = $8000x$
$7 \times 12000 + (x – 7) \times 6000 = 8000x$
$84000 + 6000x – 42000 = 8000x$
$2000x = 42000 \implies x = 21$।
26. 5 টি পরপর বিজোড় সংখ্যার গড় 61। সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন সংখ্যার পার্থক্য কত?
- (ক) 6
- (খ) 8
- (গ) 10
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 8
$n$ টি ক্রমিক বিজোড় বা জোড় সংখ্যার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন সংখ্যার পার্থক্য সর্বদা $2(n-1)$ হয়।
এখানে $n = 5$।
পার্থক্য = $2(5 – 1) = 2 \times 4 = 8$।
27. একজন ব্যক্তি একটি দূরত্বের প্রথম এক-তৃতীয়াংশ 10 কিমি/ঘণ্টা বেগে, দ্বিতীয় এক-তৃতীয়াংশ 20 কিমি/ঘণ্টা বেগে এবং বাকি অংশ 60 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করেন। তার গড় গতিবেগ কত?
- (ক) 15 কিমি/ঘণ্টা
- (খ) 18 কিমি/ঘণ্টা
- (গ) 24 কিমি/ঘণ্টা
- (ঘ) 30 কিমি/ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 18 কিমি/ঘণ্টা
3 টি সমান দূরত্বের ক্ষেত্রে গড় গতিবেগের সূত্র = $\frac{3}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}}$
$= \frac{3}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60}} = \frac{3}{\frac{6 + 3 + 1}{60}} = \frac{3}{\frac{10}{60}} = 3 \times 6 = 18$ কিমি/ঘণ্টা।
28. 9 জন ব্যক্তি একটি হোটেলে খেতে গেল। 8 জন তাদের খাবারের জন্য মাথাপিছু 30 টাকা খরচ করল। 9-তম ব্যক্তিটি সবার গড় খরচের চেয়ে 20 টাকা বেশি খরচ করল। মোট কত টাকা খরচ হয়েছিল?
- (ক) 280.5
- (খ) 292.5
- (গ) 300.5
- (ঘ) 310.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 292.5
ধরি, সবার গড় খরচ $x$ টাকা। মোট খরচ $9x$ টাকা।
$8 \times 30 + (x + 20) = 9x$
$240 + 20 + x = 9x \implies 8x = 260 \implies x = 32.5$
মোট খরচ = $9 \times 32.5 = 292.5$ টাকা।
29. 22 জন পরীক্ষার্থীর গড় নম্বর 45। প্রথম 10 জনের গড় 55 এবং শেষ 11 জনের গড় 40 হলে, 11-তম পরীক্ষার্থীর নম্বর কত?
- (ক) 0
- (খ) 10
- (গ) 15
- (ঘ) 20
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 0
22 জনের মোট নম্বর = $22 \times 45 = 990$
প্রথম 10 জনের মোট = $10 \times 55 = 550$
শেষ 11 জনের মোট = $11 \times 40 = 440$
11-তম পরীক্ষার্থীর নম্বর = $990 – (550 + 440) = 990 – 990 = 0$।
30. কিছু সংখ্যক পুরুষের একটি দলে 18 বছর বয়সী একজনের পরিবর্তে 38 বছর বয়সী একজন নতুন আসায় দলটির গড় বয়স 5 বছর বেড়ে যায়। দলটিতে কতজন পুরুষ আছেন?
- (ক) 3 জন
- (খ) 4 জন
- (গ) 5 জন
- (ঘ) 6 জন
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4 জন
দলের মোট বয়সের বৃদ্ধি = নতুন ব্যক্তির বয়স $-$ বিদায়ী ব্যক্তির বয়স
$= 38 – 18 = 20$ বছর।
গড় বৃদ্ধি পেয়েছে 5 বছর।
সদস্য সংখ্যা = $\frac{\text{মোট বৃদ্ধি}}{\text{গড় বৃদ্ধি}} = \frac{20}{5} = 4$ জন।
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ২ – পর্ব ৩
বিশ্লেষণমূলক সমস্যা ও প্রয়োগ
🚀 বিশেষত্ব
লেভেল ২-এর এই চূড়ান্ত পর্বে আমরা মিশ্রণ (Alligation), বোলিং গড় (Bowling Average), এবং ভুল সংশোধনের কিছু জটিল সমস্যা নিয়ে কাজ করব। এই অঙ্কগুলো প্রায়শই পরীক্ষায় আসে এবং সঠিক পদ্ধতি না জানলে বেশ সময়সাপেক্ষ হতে পারে।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- বোলিং গড়: বোলিং গড় = $\frac{\text{দিয়ে থাকা মোট রান}}{\text{পাওয়া মোট উইকেট}}$। নতুন গড় বের করতে মোট রানের সাথে নতুন রান যোগ করে মোট উইকেট দিয়ে ভাগ করতে হয়।
- একাধিক ভুল সংশোধন: সঠিক গড় = $\frac{\text{প্রাথমিক মোট মান} + \text{সঠিক মানগুলোর যোগফল} – \text{ভুল মানগুলোর যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}}$।
- মিশ্রণের নিয়ম: দুটি ভিন্ন দলের গড় দেওয়া থাকলে, তাদের অনুপাত নির্ণয়ে মিশ্রণ (Alligation) পদ্ধতি সবচেয়ে দ্রুত কাজ করে।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (৩১-৪৫):
31. 15 টি সংখ্যার গড় 7। যদি প্রথম 8 টি সংখ্যার গড় 6.5 এবং শেষ 8 টি সংখ্যার গড় 9.5 হয়, তবে মাঝের (8-তম) সংখ্যাটি কত?
- (ক) 21
- (খ) 22
- (গ) 23
- (ঘ) 24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 23
15 টি সংখ্যার মোট মান = $15 \times 7 = 105$
প্রথম 8 টির মোট মান = $8 \times 6.5 = 52$
শেষ 8 টির মোট মান = $8 \times 9.5 = 76$
8-তম সংখ্যাটি দুবার যোগ করা হয়েছে।
অতএব 8-তম সংখ্যা = $(52 + 76) – 105 = 128 – 105 = 23$।
32. সোম, মঙ্গল ও বুধবারের গড় তাপমাত্রা $40^\circ\text{C}$। মঙ্গল, বুধ ও বৃহস্পতিবারের গড় তাপমাত্রা $41^\circ\text{C}$। বৃহস্পতিবারের তাপমাত্রা $42^\circ\text{C}$ হলে, সোমবারের তাপমাত্রা কত?
- (ক) $38^\circ\text{C}$
- (খ) $39^\circ\text{C}$
- (গ) $40^\circ\text{C}$
- (ঘ) $41^\circ\text{C}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $39^\circ\text{C}$
সোম + মঙ্গল + বুধ = $3 \times 40 = 120$
মঙ্গল + বুধ + বৃহস্পতি = $3 \times 41 = 123$
বিয়োগ করলে: বৃহস্পতি $-$ সোম = $123 – 120 = 3$
$42 – \text{সোম} = 3 \implies \text{সোম} = 42 – 3 = 39^\circ\text{C}$।
33. 10 বছর আগে 4 সদস্যের একটি পরিবারের গড় বয়স ছিল 24 বছর। এই সময়ের মধ্যে পরিবারে 2 জন শিশুর জন্ম হয় (যাদের বয়সের পার্থক্য 2 বছর), কিন্তু পরিবারের বর্তমান গড় বয়স একই আছে। ছোট শিশুটির বর্তমান বয়স কত?
- (ক) 1 বছর
- (খ) 2 বছর
- (গ) 3 বছর
- (ঘ) 4 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3 বছর
10 বছর আগে 4 জনের মোট বয়স = $4 \times 24 = 96$
বর্তমানে ওই 4 জনের মোট বয়স = $96 + (4 \times 10) = 136$
বর্তমানে 6 জনের মোট বয়স = $6 \times 24 = 144$
শিশু দুটির মোট বয়স = $144 – 136 = 8$
শিশু দুটির বয়স $x$ এবং $x+2$ হলে, $x + x + 2 = 8 \implies 2x = 6 \implies x = 3$।
34. 50 টি রাশির গড় 36। পরে দেখা গেল দুটি রাশি 48 এবং 32 এর বদলে ভুল করে যথাক্রমে 23 এবং 27 নেওয়া হয়েছে। সঠিক গড় কত?
- (ক) 35.2
- (খ) 36.1
- (গ) 36.6
- (ঘ) 37.2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 36.6
প্রাথমিক মোট মান = $50 \times 36 = 1800$
ভুল মানগুলোর যোগফল = $23 + 27 = 50$
সঠিক মানগুলোর যোগফল = $48 + 32 = 80$
যোগফলের পার্থক্য = $80 – 50 = +30$
সঠিক মোট মান = $1800 + 30 = 1830$
সঠিক গড় = $\frac{1830}{50} = 36.6$।
35. একটি ক্লাসে ছাত্রদের গড় নম্বর 71 এবং ছাত্রীদের গড় নম্বর 73। পুরো ক্লাসের গড় নম্বর 71.8 হলে, ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত কত?
- (ক) 1:2
- (খ) 2:3
- (গ) 3:2
- (ঘ) 4:3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3:2
মিশ্রণ (Alligation) পদ্ধতিতে:
ছাত্র: $73 – 71.8 = 1.2$
ছাত্রী: $71.8 – 71 = 0.8$
অনুপাত = $1.2 : 0.8 = 12 : 8 = 3 : 2$।
36. একজন ব্যাটসম্যান 10 টি ইনিংসে একটি নির্দিষ্ট গড়ে রান করেন। 11-তম ইনিংসে তিনি 108 রান করায় তার গড় 6 বৃদ্ধি পায়। নতুন গড় কত?
- (ক) 42
- (খ) 48
- (গ) 54
- (ঘ) 60
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 48
নতুন গড় = শেষ ইনিংসে করা রান $-$ (আগের ইনিংস সংখ্যা $\times$ গড়ের বৃদ্ধি)
নতুন গড় = $108 – (10 \times 6) = 108 – 60 = 48$।
37. একজন বোলারের বোলিং গড় 12.4। শেষ ম্যাচে তিনি 26 রানে 5 টি উইকেট নেওয়ায় তার গড় 0.4 কমে যায়। শেষ ম্যাচের আগে তিনি মোট কতগুলো উইকেট পেয়েছিলেন?
- (ক) 75
- (খ) 80
- (গ) 85
- (ঘ) 90
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 85
ধরি, আগের উইকেট সংখ্যা $x$। মোট রান ছিল $12.4x$।
নতুন গড় = $12.4 – 0.4 = 12.0$।
নতুন সমীকরণ: $\frac{12.4x + 26}{x + 5} = 12.0$
$12.4x + 26 = 12x + 60 \implies 0.4x = 34 \implies x = \frac{34}{0.4} = 85$।
38. একটি স্কুলের 10 জন শিক্ষকের মধ্যে একজন অবসর নেন এবং তার জায়গায় 25 বছর বয়সী নতুন একজন শিক্ষক যোগ দেন। এর ফলে শিক্ষকদের গড় বয়স 3 বছর কমে যায়। অবসরপ্রাপ্ত শিক্ষকের বয়স কত?
- (ক) 50 বছর
- (খ) 55 বছর
- (গ) 58 বছর
- (ঘ) 60 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 55 বছর
গড় বয়স 3 বছর কমার অর্থ মোট বয়স কমেছে $10 \times 3 = 30$ বছর।
নতুন শিক্ষকের বয়স কম হওয়ার কারণেই এই ঘাটতি।
অবসরপ্রাপ্ত শিক্ষকের বয়স = নতুন শিক্ষকের বয়স $+$ মোট ঘাটতি $= 25 + 30 = 55$ বছর।
39. 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 20। এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 22
- (খ) 23
- (গ) 24
- (ঘ) 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 23
7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় মানে মাঝের (4-র্থ) সংখ্যাটি 20।
তাহলে 5ম, 6ষ্ঠ এবং 7ম সংখ্যাগুলো হবে যথাক্রমে 21, 22 এবং 23।
বৃহত্তম সংখ্যাটি 23।
40. এক ছাত্রের প্রতি পেপারের গড় নম্বর 63। যদি সে ভূগোলে 20 নম্বর এবং ইতিহাসে 2 নম্বর বেশি পেত, তবে তার গড় নম্বর হতো 65। পরীক্ষায় মোট কয়টি পেপার ছিল?
- (ক) 8 টি
- (খ) 10 টি
- (গ) 11 টি
- (ঘ) 12 টি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 11 টি
মোট নম্বরের বৃদ্ধি = $20 + 2 = 22$।
গড় নম্বরের বৃদ্ধি = $65 – 63 = 2$।
মোট পেপার সংখ্যা = $\frac{\text{মোট বৃদ্ধি}}{\text{গড় বৃদ্ধি}} = \frac{22}{2} = 11$ টি।
41. এক ব্যক্তি তার যাত্রাপথের অর্ধেক 6 কিমি/ঘণ্টা বেগে এবং বাকি অর্ধেক 3 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করেন। তার গড় গতিবেগ কত?
- (ক) 4 কিমি/ঘণ্টা
- (খ) 4.5 কিমি/ঘণ্টা
- (গ) 5 কিমি/ঘণ্টা
- (ঘ) 5.5 কিমি/ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4 কিমি/ঘণ্টা
সমান দূরত্বের ক্ষেত্রে গড় গতিবেগ = $\frac{2xy}{x+y}$।
$= \frac{2 \times 6 \times 3}{6 + 3} = \frac{36}{9} = 4$ কিমি/ঘণ্টা।
42. A, B, C, D হলো 4 টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা যাদের গড় 42। B এবং D এর গুণফল কত?
- (ক) 1845
- (খ) 1865
- (গ) 1885
- (ঘ) 1895
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1845
4 টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় মাঝখানের জোড় সংখ্যাটি হয়।
অর্থাৎ সংখ্যাগুলো 42 এর আগের ও পরের বিজোড় সংখ্যা: 39 (A), 41 (B), 43 (C), 45 (D)।
B এবং D এর গুণফল = $41 \times 45 = 1845$।
43. $x, y, z$ এর গড় 45। $x$ গড়ের চেয়ে ঠিক ততটাই বেশি, $y$ গড়ের চেয়ে যতটা কম। $z$ এর মান কত?
- (ক) 30
- (খ) 45
- (গ) 60
- (ঘ) 90
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 45
শর্তানুযায়ী: $x – 45 = 45 – y \implies x + y = 90$।
3 টি রাশির মোট যোগফল: $x + y + z = 3 \times 45 = 135$।
$90 + z = 135 \implies z = 135 – 90 = 45$।
44. একটি ক্লাসে ছাত্রদের গড় ওজন 60 কেজি এবং ছাত্রীদের গড় ওজন 40 কেজি। সম্পূর্ণ ক্লাসের গড় ওজন 52 কেজি হলে, ক্লাসে ছাত্রদের শতকরা হার কত?
- (ক) 40%
- (খ) 50%
- (গ) 60%
- (ঘ) 70%
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 60%
মিশ্রণ (Alligation) পদ্ধতিতে:
ছাত্র: $52 – 40 = 12$
ছাত্রী: $60 – 52 = 8$
অনুপাত (ছাত্র : ছাত্রী) = $12 : 8 = 3 : 2$।
ছাত্রদের শতকরা হার = $\frac{3}{3+2} \times 100\% = \frac{3}{5} \times 100\% = 60\%$।
45. 8 সদস্যের একটি কমিটির গড় বয়স 40 বছর। 55 বছর বয়সী এক সদস্য অবসর নিলে তার জায়গায় 39 বছর বয়সী নতুন একজন সদস্য যোগ দেন। কমিটির নতুন গড় বয়স কত?
- (ক) 36 বছর
- (খ) 38 বছর
- (গ) 39 বছর
- (ঘ) 42 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 38 বছর
সদস্য পরিবর্তনের ফলে মোট বয়সের ঘাটতি = $55 – 39 = 16$ বছর।
এই ঘাটতি 8 জনের মধ্যে ভাগ হয়ে যাবে।
গড় হ্রাস = $\frac{16}{8} = 2$ বছর।
নতুন গড় = $40 – 2 = 38$ বছর।
শেয়ার