সঠিক উত্তর: (ক) 488

$x + y = \frac{2(5+3)}{5-3} = 8$ এবং $xy = 1$।
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y) = 8^3 – 3(1)(8) = 512 – 24 = 488$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{5}{16}$

ধারার পদগুলোর পার্থক্য 3।
সূত্র: $\frac{1}{\text{পার্থক্য}} \times \left(\frac{1}{\text{প্রথম পদ}} – \frac{1}{\text{শেষ পদ}}\right)$।
$= \frac{1}{3} \left(1 – \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{16} = \frac{5}{16}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 7

যদি $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\dots}}}$ অসীম পর্যন্ত থাকে, তবে তার মান সর্বদা $a$ হয়। এখানে $a = 7$।

সঠিক উত্তর: (ক) $5^{\frac{15}{16}}$

এটি সসীম ধারা। এর সূত্র হলো $a^{1 – \frac{1}{2^n}}$, যেখানে $n$ হলো রুটের সংখ্যা।
এখানে $n = 4$ এবং $a = 5$।
মান = $5^{1 – \frac{1}{16}} = 5^{\frac{15}{16}}$।

সঠিক উত্তর: (ক) 123

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 – 2 = 7$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 – 3(3) = 18$
$x^5 + \frac{1}{x^5} = (7 \times 18) – 3 = 126 – 3 = 123$।

সঠিক উত্তর: (গ) 3

ভগ্নাংশগুলো যোগ করলে ল.সা.গু. হবে $abc$।
লব হবে $a^3 + b^3 + c^3$।
যেহেতু $a+b+c=0$, তাই $a^3+b^3+c^3 = 3abc$।
অতএব $\frac{3abc}{abc} = 3$।

সঠিক উত্তর: (খ) 10

সূত্র: $x+y = \frac{2(a+b)}{a-b}$, যেখানে $a=3$ এবং $b=2$।
মান = $\frac{2(3+2)}{3-2} = \frac{10}{1} = 10$।

সঠিক উত্তর: (গ) 9000

সূত্র: $\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\}$।
$x+y+z = 3000$
$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 1+1+4 = 6$
মান = $\frac{1}{2} \times 3000 \times 6 = 9000$।

সঠিক উত্তর: (ক) 998999

$(999 + \frac{998}{999}) \times 999$
$= 999 \times 999 + 998$
$= (1000 – 1) \times 999 + 998 = 999000 – 999 + 998$
$= 999000 – 1 = 998999$।

সঠিক উত্তর: (গ) 0.8

লব = $0.5^3 + 0.3^3$ এবং হর = $0.5^2 – 0.5 \times 0.3 + 0.3^2$।
সূত্র $\frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2} = a + b$ অনুযায়ী,
মান = $0.5 + 0.3 = 0.8$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

ধরি, $2^x = 3^y = 6^{-z} = k$।
তাহলে, $2 = k^{\frac{1}{x}}$, $3 = k^{\frac{1}{y}}$ এবং $6 = k^{-\frac{1}{z}}$।
আমরা জানি $2 \times 3 = 6$।
$k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}} = k^{-\frac{1}{z}}$
$\implies k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{-\frac{1}{z}}$
$\implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{z} \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$

$11 + 2\sqrt{30} = 6 + 5 + 2\sqrt{6}\sqrt{5}$
$= (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{5}$
$= (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2$।
অতএব এর বর্গমূল হবে $\sqrt{6} + \sqrt{5}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{3}$

আমরা জানি, যদি $a+b+c=0$ হয়, তবে $a^3+b^3+c^3 = 3abc$।
এখানে $(x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$।
তাই লব হবে $3(x-y)(y-z)(z-x)$।
মান = $\frac{3(x-y)(y-z)(z-x)}{9(x-y)(y-z)(z-x)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।

সঠিক উত্তর: (ক) 50

সূত্র: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$
$13^2 = 69 + 2(xy+yz+zx)$
$169 – 69 = 2(xy+yz+zx)$
$100 = 2(xy+yz+zx) \implies xy+yz+zx = 50$।

সঠিক উত্তর: (খ) 500500

$a^2 – b^2$ সূত্র প্রয়োগ করলে প্রতিটি জোড়া তাদের যোগফলে পরিণত হয়।
যেমন, $1000^2 – 999^2 = (1000+999)(1000-999) = 1000 + 999$।
তাহলে ধারাটি দাঁড়ায়: $1000 + 999 + 998 + \dots + 1$।
প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{1000 \times 1001}{2} = 500 \times 1001 = 500500$।

সঠিক উত্তর: (ক) 112

করণী নিরসন করলে, $x = 2-\sqrt{3}$ এবং $y = 2+\sqrt{3}$।
$x+y = 4$ এবং $xy = (2)^2 – (\sqrt{3})^2 = 1$।
$x^2+y^2 = (x+y)^2 – 2xy = 16 – 2 = 14$।
অতএব, $8xy(x^2+y^2) = 8 \times 1 \times 14 = 112$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

12 কে দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ($4 \times 3$) এ ভাঙা যায়।
মাঝে $(+)$ থাকলে বড় সংখ্যাটি (4) হয়, আর $(-)$ থাকলে ছোট সংখ্যাটি (3) হয়।
অতএব মান = $4 – 3 = 1$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{7}{30}$

সূত্র অনুযায়ী এর মান হলো $\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1 \times 2} – \frac{1}{5 \times 6} \right]$।
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} – \frac{1}{30} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{15 – 1}{30} \right] = \frac{1}{2} \times \frac{14}{30} = \frac{7}{30}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

$a+b+c = 0 \implies b+c = -a$
উভয়দিকে বর্গ করলে, $b^2+c^2+2bc = a^2 \implies b^2+c^2 = a^2-2bc$।
লব = $a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + a^2 – 2bc = 2a^2 – 2bc = 2(a^2 – bc)$।
অতএব, $\frac{2(a^2-bc)}{a^2-bc} = 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 10

12 কে $(x+1)$ হিসেবে লেখা যায়।
$x^5 – (x+1)x^4 + (x+1)x^3 – (x+1)x^2 + (x+1)x – 1$
$= x^5 – x^5 – x^4 + x^4 + x^3 – x^3 – x^2 + x^2 + x – 1$
মাঝখানের সব পদ কেটে যাবে, পড়ে থাকবে $x – 1 = 11 – 1 = 10$।

সঠিক উত্তর: (ক) 1

হর দুটির ল.সা.গু. করলে হরে $(1+\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2$ সূত্র তৈরি হয়।
লব = $(1-\sqrt{2}+\sqrt{3}) + (1+\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 2+2\sqrt{3}$।
হর = $(1+3+2\sqrt{3}) – 2 = 2+2\sqrt{3}$।
লব ও হর সমান, তাই মান 1।

সঠিক উত্তর: (খ) 39

$ab = 6 – 5 = 1$ এবং $a+b = 2\sqrt{6}$।
$a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab = (2\sqrt{6})^2 – 2(1) = 24 – 2 = 22$।
সমীকরণ: $2(a^2+b^2) – 5ab = 2(22) – 5(1) = 44 – 5 = 39$।

সঠিক উত্তর: (গ) 10

লক্ষ্য করলে দেখা যায়, হরের প্রতিটি পদ লবের পদের $\frac{1}{10}$ অংশ।
যেহেতু স্কোয়ার আছে, তাই হর লবের $\frac{1}{100}$ অংশ।
মান = $\sqrt{100} = 10$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{9}{4}$

$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$।
তাহলে, $x^{(x^{\frac{3}{2}})} = (x^{\frac{3}{2}})^x = x^{\frac{3x}{2}}$।
উভয়দিকে বেস (Base) সমান, তাই সূচকগুলো সমান হবে: $x^{\frac{3}{2}} = \frac{3x}{2}$।
$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \implies x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{2}{3}$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা (Infinite Geometric Series)।
এর প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = -\frac{1}{2}$।
যোগফলের সূত্র $S = \frac{a}{1 – r} = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 4

বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী: $\frac{a^2 – b^2}{a – b} = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b} = a + b$।
অতএব, মান = $2.39 + 1.61 = 4.00$ বা $4$।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

লব ও হরকে $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ দিয়ে গুণ করে করণী নিরসন করি।
$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 – 3} = \frac{5 + 3 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$।
তুলনা করলে, $a = 4$ এবং $b = 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 10

$2x – 1 = \sqrt{3}$। উভয়দিকে বর্গ করলে, $4x^2 – 4x + 1 = 3 \implies 2x^2 – 2x – 1 = 0$।
রাশিটিকে ভাগ পদ্ধতিতে সাজালে: $4x^3 + 2x^2 – 8x + 7 = 2x(2x^2 – 2x – 1) + 3(2x^2 – 2x – 1) + 10$।
যেহেতু $(2x^2 – 2x – 1) = 0$, তাই মান $= 0 + 0 + 10 = 10$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1

$x^{b-a}$ কে $\frac{1}{x^{a-b}}$ হিসেবে লেখা যায়।
দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি হবে: $\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{a-b}}} = \frac{x^{a-b}}{x^{a-b} + 1}$।
যোগ করলে: $\frac{1}{1+x^{a-b}} + \frac{x^{a-b}}{1+x^{a-b}} = \frac{1+x^{a-b}}{1+x^{a-b}} = 1$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) -1

সব পদ বামদিকে আনলে: $(a^2 – 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1) + (c^2 + 2c + 1) = 0$
$\implies (a-1)^2 + (b+1)^2 + (c+1)^2 = 0$।
বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে প্রতিটি পদ শূন্য হয়। তাই $a=1$, $b=-1$ এবং $c=-1$।
মান = $1 – 1 – 1 = -1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 7

উভয়দিকে বর্গ করলে: $x + \frac{1}{x} + 2 = 5 \implies x + \frac{1}{x} = 3$।
আবার বর্গ করলে: $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$।

সঠিক উত্তর: (খ) 56

প্রদত্ত রাশিটিকে ভাঙলে: $a^3 + a + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} = (a^3 + \frac{1}{a^3}) + (a + \frac{1}{a})$।
যেহেতু $a = 2 + \sqrt{3}$, তাই $\frac{1}{a} = 2 – \sqrt{3}$।
$a + \frac{1}{a} = 4$।
$a^3 + \frac{1}{a^3} = 4^3 – 3(4) = 64 – 12 = 52$।
মোট মান = $52 + 4 = 56$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $\frac{x+4}{x}$

প্রতিটি বন্ধনীর ভেতরের যোগফল বের করি:
$\frac{x+1}{x} \times \frac{x+2}{x+1} \times \frac{x+3}{x+2} \times \frac{x+4}{x+3}$।
মাঝের সব পদ কেটে গিয়ে প্রথমটির হর ($x$) এবং শেষটির লব ($x+4$) অবশিষ্ট থাকে।
মান = $\frac{x+4}{x}$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\sqrt{5} – \sqrt{3}$

$8 – 2\sqrt{15}$ কে লেখা যায় $5 + 3 – 2\sqrt{5}\sqrt{3}$।
এটি $(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 – 2\sqrt{5}\sqrt{3} = (\sqrt{5} – \sqrt{3})^2$ এর সূত্র।
অতএব বর্গমূল করলে মান দাঁড়ায় $\sqrt{5} – \sqrt{3}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 19

প্রদত্ত শর্তে $a = 12$ এবং $b = 4$ বসিয়ে পাই:
$12 + 4 + \frac{12}{4} = 16 + 3 = 19$।

সঠিক উত্তর: (ক) 2

এটি কম্পোনেন্ডো ও ডিভিডেন্ডো (যোগভাগ প্রক্রিয়া) এর একটি বিশেষ ফর্ম।
$x = \frac{4ab}{a+b}$ হলে, এই নির্দিষ্ট ফরম্যাটের মান সর্বদা 2 হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) 10

প্রতিটি পদের করণী নিরসন করলে পাওয়া যায়: $(\sqrt{2} – 1) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{121} – \sqrt{120})$।
মাঝখানের সব পদ কেটে গিয়ে অবশিষ্ট থাকে: $-1 + \sqrt{121} = -1 + 11 = 10$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $\frac{9}{4}$

$x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$।
সমীকরণটি দাঁড়ায় $x^{(x^{\frac{3}{2}})} = x^{\frac{3x}{2}}$।
উভয়দিকে ঘাত সমান করলে: $x^{\frac{3}{2}} = \frac{3x}{2} \implies x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$।
উভয়দিকে বর্গ করলে: $x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 1000

বিকল্প সূত্র: $\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$।
$a+b+c = 333+333+334 = 1000$
$(a-b)^2 = 0$, $(b-c)^2 = (-1)^2 = 1$, $(c-a)^2 = 1^2 = 1$।
মান = $\frac{1}{2} \times 1000 \times [0 + 1 + 1] = \frac{1}{2} \times 1000 \times 2 = 1000$।

সঠিক উত্তর: (গ) 3

যেহেতু $(x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$,
তাই এদের ঘনের সমষ্টি হবে $3(x-y)(y-z)(z-x)$।
লব ও হর কাটাকাটি গেলে অবশিষ্ট থাকে 3।

সঠিক উত্তর: (ক) $2\sqrt{2}$

$x = 5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$
তাহলে $\sqrt{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।
এর অনন্যক $\frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{3} – \sqrt{2}$।
মান = $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) – (\sqrt{3} – \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 0.6

হর অংশে $0.02, 0.06, 0.03$ হলো যথাক্রমে $(0.1\times 0.2), (0.2\times 0.3)$ এবং $(0.3\times 0.1)$।
সমীকরণটি $\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$ আকারে রয়েছে, যার মান $(a+b+c)$।
মান = $0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$।

সঠিক উত্তর: (গ) 50

সূত্র: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$
$13^2 = 69 + 2(xy+yz+zx)$
$169 – 69 = 100 = 2(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx = \frac{100}{2} = 50$।

সঠিক উত্তর: (গ) 500500

$a^2 – b^2$ সূত্র প্রয়োগ করলে প্রতিটি জোড়া তাদের যোগফলে পরিণত হয়।
$1000^2 – 999^2 = (1000+999)(1000-999) = 1000 + 999$।
পুরো ধারাটি দাঁড়ায়: $1000 + 999 + 998 + \dots + 1$।
$1$ থেকে $1000$ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{1000 \times 1001}{2} = 500 \times 1001 = 500500$।

সঠিক উত্তর: (গ) 5

উভয়দিকে ঘন (Cube) করলে: $x^3 = (2^{\frac{1}{3}})^3 + (2^{-\frac{1}{3}})^3 + 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} (2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{1}{3}})$
$x^3 = 2 + \frac{1}{2} + 3(1)(x) = \frac{5}{2} + 3x$
সমীকরণটিকে 2 দিয়ে গুণ করলে: $2x^3 = 5 + 6x$
অতএব, $2x^3 – 6x = 5$।