HCF & LCM Level 1 (Foundation) – ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর প্রাথমিক ধারণা | Group D, WB Police, Primary TET Preparation
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 1 (Basic) – পর্ব 1
প্রাথমিক ধারণা ও সাধারণ সূত্র
📚 ভূমিকা
লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) এবং গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (HCF) প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। পাটিগণিতের অন্যান্য অনেক অধ্যায়ের (যেমন: সময় ও কার্য, নল ও চৌবাচ্চা) হিসাব দ্রুত করার জন্য ল.সা.গু. নির্ণয়ের ধারণা থাকা অপরিহার্য। এই পর্বে আমরা এর প্রাথমিক ধারণাগুলো শিখব।
📝 প্রয়োজনীয় সূত্র ও শর্ট ট্রিকস
- মৌলিক সূত্র: দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.
- ভগ্নাংশের ল.সা.গু. (LCM of fractions): $\frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু.}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু.}}$
- ভগ্নাংশের গ.সা.গু. (HCF of fractions): $\frac{\text{লবগুলির গ.সা.গু.}}{\text{হরগুলির ল.সা.গু.}}$
- অনুপাতের ট্রিকস: দুটি সংখ্যার অনুপাত $a:b$ এবং গ.সা.গু. $H$ হলে, সংখ্যা দুটি হলো $aH$ এবং $bH$। আর ল.সা.গু. হবে $a \times b \times H$।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (1-15):
1. 12 এবং 18 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 6
- (খ) 24
- (গ) 36
- (ঘ) 72
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 36
12 এর গুণিতক: 12, 24, 36, 48…
18 এর গুণিতক: 18, 36, 54…
উভয়ের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হলো 36। তাই ল.সা.গু. 36।
2. 15 এবং 25 এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 3
- (খ) 5
- (গ) 15
- (ঘ) 75
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 5
15 এর উৎপাদক: 1, 3, 5, 15।
25 এর উৎপাদক: 1, 5, 25।
সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) হলো 5।
3. দুটি সংখ্যার গুণফল 120 এবং তাদের গ.সা.গু. 2 হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?
- (ক) 60
- (খ) 120
- (গ) 240
- (ঘ) 30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 60
আমরা জানি, ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল।
অতএব, ল.সা.গু. $\times 2 = 120$
ল.সা.গু. = $120 \div 2 = 60$।
4. দুটি মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. কত হয়?
- (ক) 0
- (খ) 1
- (গ) সংখ্যা দুটির গুণফল
- (ঘ) সংখ্যা দুটির যোগফল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1
যেকোনো দুটি মৌলিক সংখ্যার (যেমন 3 এবং 5) মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকে না। তাই তাদের গ.সা.গু. সর্বদা 1 হয়।
5. দুটি পরস্পর মৌলিক (Co-prime) সংখ্যার ল.সা.গু. কত হয়?
- (ক) 1
- (খ) সংখ্যা দুটির গুণফল
- (গ) সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. এর সমান
- (ঘ) নির্ণয় করা সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) সংখ্যা দুটির গুণফল
যেহেতু পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হয়, তাই সূত্র অনুযায়ী: ল.সা.গু. $\times 1$ = সংখ্যা দুটির গুণফল। অর্থাৎ, ল.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল (যেমন: 4 এবং 9 এর ল.সা.গু. 36)।
6. 8, 12 এবং 16 এর ল.সা.গু. কত?
- (ক) 24
- (খ) 32
- (গ) 48
- (ঘ) 96
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 48
সবচেয়ে বড় সংখ্যা 16 এর নামতা পড়ুন: 16, 32 (12 দিয়ে যায় না), 48 (8 এবং 12 উভয় দিয়েই ভাগ যায়)। তাই ল.সা.গু. 48।
7. 10, 15 এবং 20 এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) 2
- (খ) 5
- (গ) 10
- (ঘ) 60
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 5
10, 15 এবং 20 কে ভাগ করা যায় এমন সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হলো 5।
8. $\frac{2}{3}$ এবং $\frac{4}{5}$ এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) $\frac{2}{15}$
- (খ) $\frac{4}{15}$
- (গ) $\frac{4}{3}$
- (ঘ) $\frac{2}{5}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{2}{15}$
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = $\frac{\text{লবগুলির গ.সা.গু.}}{\text{হরগুলির ল.সা.গু.}}$
লব (2, 4) এর গ.সা.গু. = 2
হর (3, 5) এর ল.সা.গু. = 15
অতএব উত্তর: $\frac{2}{15}$।
9. $\frac{1}{2}$ এবং $\frac{3}{4}$ এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) $\frac{3}{4}$
- (খ) $\frac{3}{2}$
- (গ) $\frac{1}{4}$
- (ঘ) $\frac{4}{3}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{3}{2}$
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = $\frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু.}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু.}}$
লব (1, 3) এর ল.সা.গু. = 3
হর (2, 4) এর গ.সা.গু. = 2
অতএব উত্তর: $\frac{3}{2}$।
10. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3:4 এবং তাদের গ.সা.গু. 4 হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?
- (ক) 12
- (খ) 24
- (গ) 36
- (ঘ) 48
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 48
ল.সা.গু. বের করার শর্টকাট: অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু.
$= 3 \times 4 \times 4 = 48$।
11. দুটি সংখ্যার অনুপাত 2:3 এবং তাদের ল.সা.গু. 30 হলে, সংখ্যা দুটি কী কী?
- (ক) 6, 9
- (খ) 10, 15
- (গ) 12, 18
- (ঘ) 8, 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10, 15
ধরি, গ.সা.গু. = $H$
ল.সা.গু. = $2 \times 3 \times H = 6H$
প্রশ্নমতে, $6H = 30 \Rightarrow H = 5$
অতএব, সংখ্যা দুটি হলো $2 \times 5 = 10$ এবং $3 \times 5 = 15$।
12. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 6, 8 এবং 12 দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?
- (ক) 12
- (খ) 24
- (গ) 48
- (ঘ) 72
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 24
‘ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যাকে ভাগ করা যায়’ বললে ল.সা.গু. (LCM) বের করতে হয়। 6, 8 এবং 12 এর ল.সা.গু. হলো 24।
13. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 24 এবং 36 কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?
- (ক) 6
- (খ) 8
- (গ) 12
- (ঘ) 24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 12
‘বৃহত্তম যে সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়’ বললে গ.সা.গু. (HCF) বের করতে হয়। 24 এবং 36 এর গ.সা.গু. হলো 12।
14. 18 এবং 24 এর গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফল কত?
- (ক) 144
- (খ) 216
- (গ) 432
- (ঘ) 512
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 432
আমরা জানি, ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল।
তাই, গুণফল = $18 \times 24 = 432$।
15. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 5 এবং ল.সা.গু. 60। একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
- (ক) 10
- (খ) 12
- (গ) 20
- (ঘ) 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 20
অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$= \frac{60 \times 5}{15} = \frac{300}{15} = 20$।
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 1 (Basic) – পর্ব 2
দশমিকের অংক ও বাস্তব প্রয়োগ
📚 ভূমিকা
ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর প্রয়োগ শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় দশমিক যুক্ত সংখ্যা এবং সময় (যেমন ট্রাফিক সিগনাল বা ঘণ্টার শব্দ) সংক্রান্ত সমস্যা প্রায়ই আসে। এই পর্বে আমরা এই ধরনের সমস্যা সমাধানের সহজ পদ্ধতিগুলো দেখে নেব।
📝 প্রয়োজনীয় সূত্র ও টিপস
- দশমিকের ল.সা.গু./গ.সা.গু.: দশমিকের পর অঙ্ক সংখ্যা সমান করে নিয়ে সাধারণ নিয়মে হিসেব করতে হয়, তারপর আবার সঠিক স্থানে দশমিক বসাতে হয়।
- ঘণ্টার অংক: যদি বলা হয় কয়েকটি ঘণ্টা নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে বাজে, তবে তারা পুনরায় একসাথে বাজার সময় বের করতে ব্যবধানগুলোর ল.সা.গু. করতে হয়।
- ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা: যে সংখ্যাটি নির্দিষ্ট কয়েকটি সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য হবে, তার জন্য প্রথমে ল.সা.গু. করতে হবে এবং উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় সাজাতে হবে।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (16-30):
16. 0.6 এবং 0.09 এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 0.3
- (খ) 0.03
- (গ) 0.18
- (ঘ) 0.06
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 0.03
দশমিকের পর অঙ্ক সমান করলে সংখ্যাগুলো হয় 0.60 এবং 0.09।
এখন 60 এবং 9 এর গ.সা.গু. হলো 3।
যেহেতু আমরা দশমিকের পর দুটি ঘর ধরেছি, তাই উত্তর হবে 0.03।
17. 1.2 এবং 0.18 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 3.6
- (খ) 0.36
- (গ) 36
- (ঘ) 1.8
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 3.6
অঙ্ক সমান করলে হয় 1.20 এবং 0.18।
120 এবং 18 এর ল.সা.গু. হলো 360।
সঠিক দশমিক বসিয়ে পাই 3.60 বা 3.6।
18. তিনটি ঘণ্টা একসাথে বাজার পর যথাক্রমে 12, 15 এবং 18 সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কত সময় পর তারা আবার একত্রে বাজবে?
- (ক) 1 মিনিট
- (খ) 2 মিনিট
- (গ) 3 মিনিট
- (ঘ) 4 মিনিট
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3 মিনিট
12, 15 এবং 18 এর ল.সা.গু. = 180 সেকেন্ড।
180 সেকেন্ড = 180 ÷ 60 = 3 মিনিট।
19. ক্ষুদ্রতম কোন পূর্ণবর্গ সংখ্যা 12, 15 এবং 20 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 400
- (খ) 900
- (গ) 1600
- (ঘ) 3600
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 900
12, 15 এবং 20 এর ল.সা.গু. = 60।
60 এর উৎপাদক: 2 × 2 × 3 × 5।
একে পূর্ণবর্গ করতে হলে 3 এবং 5 দিয়ে গুণ করতে হবে (যাতে জোড়া সম্পূর্ণ হয়)।
সংখ্যাটি হবে: 60 × 3 × 5 = 900।
20. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:6 এবং তাদের ল.সা.গু. 120 হলে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. কত?
- (ক) 4
- (খ) 6
- (গ) 8
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4
আমরা জানি, গ.সা.গু. = ল.সা.গু. ÷ (অনুপাতের গুণফল)
গ.সা.গু. = 120 ÷ (5 × 6) = 120 ÷ 30 = 4।
21. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে অপরটি কত?
- (ক) 279
- (খ) 283
- (গ) 308
- (ঘ) 318
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 308
অপর সংখ্যা = (11 × 7700) ÷ 275 = 84700 ÷ 275 = 308।
22. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 15, 20 এবং 30 দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 5 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 60
- (খ) 65
- (গ) 55
- (ঘ) 125
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 65
প্রথমে 15, 20 এবং 30 এর ল.সা.গু. বের করতে হবে = 60।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে 5 ভাগশেষ থাকবে, তাই নির্ণেয় সংখ্যা = 60 + 5 = 65।
23. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 43, 91 এবং 183 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 4
- (খ) 7
- (গ) 9
- (ঘ) 13
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4
পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর মধ্যকার পার্থক্যের গ.সা.গু. বের করতে হবে।
(91 – 43) = 48, (183 – 91) = 92, (183 – 43) = 140।
48, 92 এবং 140 এর গ.সা.গু. হলো 4।
24. 23 × 32 এবং 22 × 33 এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) 22 × 32
- (খ) 23 × 33
- (গ) 2 × 3
- (ঘ) 36
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 22 × 32
গ.সা.গু.-এর ক্ষেত্রে সাধারণ উৎপাদকগুলোর ক্ষুদ্রতম ঘাত (Lowest power) নিতে হয়।
এখানে 2 এর ক্ষুদ্রতম ঘাত 2 এবং 3 এর ক্ষুদ্রতম ঘাত 2। অতএব উত্তর: 22 × 32 = 4 × 9 = 36।
25. 3/4, 6/7, 9/8 এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) 3/28
- (খ) 3/56
- (গ) 9/56
- (ঘ) 18/56
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3/56
লব (3, 6, 9) এর গ.সা.গু. = 3
হর (4, 7, 8) এর ল.সা.গু. = 56
অতএব গ.সা.গু. = 3/56।
26. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 8। নিচের কোনটি তাদের ল.সা.গু. হতে পারে না?
- (ক) 24
- (খ) 48
- (গ) 56
- (ঘ) 60
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 60
নিয়ম: ল.সা.গু. সর্বদা গ.সা.গু. দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হবে।
এখানে 24, 48 এবং 56 সংখ্যাগুলো 8 দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু 60 বিভাজ্য নয়।
27. 4, 6, 8 এবং 12 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 12
- (খ) 24
- (গ) 36
- (ঘ) 48
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 24
4, 6, 8 এবং 12 এর ল.সা.গু. হলো 24।
28. তিনটি সংখ্যার অনুপাত 1:2:3 এবং তাদের গ.সা.গু. 12 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 24
- (খ) 36
- (গ) 48
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 36
সংখ্যাগুলো হলো 1×12, 2×12 এবং 3×12 অর্থাৎ 12, 24 এবং 36।
বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 36।
29. 12, 15 এবং 18 এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 3
- (খ) 4
- (গ) 6
- (ঘ) 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 3
12, 15 এবং 18 কে ভাগ করতে পারে এমন সবচেয়ে বড় সাধারণ সংখ্যা হলো 3।
30. দুটি পরপর বিজোড় সংখ্যার গ.সা.গু. সর্বদা কত হয়?
- (ক) 1
- (খ) 2
- (গ) 3
- (ঘ) বলা সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1
পরপর দুটি বিজোড় সংখ্যা (যেমন: 7, 9 বা 13, 15) সর্বদা পরস্পর মৌলিক হয়। তাই তাদের গ.সা.গু. সর্বদা 1 হয়।
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 1 (Basic) – পর্ব 3
বাস্তব সমস্যা ও সমাধান কৌশল
📚 ভূমিকা
ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর ধারণাকে কাজে লাগিয়ে আমরা বাস্তব জীবনের অনেক জটিল হিসাব খুব সহজে সমাধান করতে পারি। যেমন—সবচেয়ে বড় মাপের ফিতে দিয়ে বিভিন্ন দৈর্ঘ্য মাপা, বা রাস্তার মোড়ের ট্রাফিক লাইট কখন আবার একসাথে জ্বলবে তা বের করা। এই পর্বে আমরা এই ধরণের প্রয়োগমূলক প্রশ্নগুলো শিখব।
📝 প্রয়োজনীয় সূত্র ও টিপস
- বৃহত্তম মাপের ফিতে: যখন বিভিন্ন দৈর্ঘ্যকে সঠিকভাবে মাপার জন্য ‘সবচেয়ে বড়’ মাপের কিছু চাওয়া হয়, তখন প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. (HCF) করতে হয়।
- ট্রাফিক সিগন্যাল: বিভিন্ন সময়ের ব্যবধানে চলা লাইটগুলো পুনরায় একত্রে জ্বলার সময় বের করতে ব্যবধানগুলোর ল.সা.গু. (LCM) করতে হয়।
- টাইলসের অংক: একটি মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দেওয়া থাকলে, প্রয়োজনীয় বৃহত্তম বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে মেঝেটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গ.সা.গু.।
- পার্থক্য ধ্রুবক থাকলে: যদি x, y, z দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ভাগশেষের সাথে ভাজকের পার্থক্য (k) এক হয়, তবে সংখ্যাটি হবে (LCM of x, y, z) – k।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (31-45):
31. 7 মিটার, 3 মিটার 85 সেমি এবং 12 মিটার 95 সেমি লম্বা তিনটি ফিতেকে সঠিকভাবে মাপার জন্য বৃহত্তম কোন দৈর্ঘ্যের মাপকাঠি ব্যবহার করা যাবে?
- (ক) 15 সেমি
- (খ) 25 সেমি
- (গ) 35 সেমি
- (ঘ) 45 সেমি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 35 সেমি
দৈর্ঘ্যগুলোকে সেমি-তে নিলে হয়: 700 সেমি, 385 সেমি এবং 1295 সেমি।
এই তিনটি সংখ্যার গ.সা.গু. (HCF) হলো 35।
অতএব, বৃহত্তম মাপকাঠিটি হবে 35 সেমি।
32. রাস্তার তিনটি মোড়ের ট্রাফিক লাইট যথাক্রমে প্রতি 48, 72 এবং 108 সেকেন্ড অন্তর পরিবর্তন হয়। যদি সকাল 8:20:00 টায় তারা একসাথে পরিবর্তিত হয়ে থাকে, তবে পুনরায় কখন তারা আবার একসাথে পরিবর্তিত হবে?
- (ক) 8:27:12 AM
- (খ) 8:28:22 AM
- (গ) 8:26:12 AM
- (ঘ) 8:24:10 AM
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 8:27:12 AM
48, 72 এবং 108 এর ল.সা.গু. = 432 সেকেন্ড।
432 সেকেন্ড = 7 মিনিট 12 সেকেন্ড।
পুনরায় বাজার সময় = 8:20:00 + 7 মি 12 সে = 8:27:12 AM।
33. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 20, 25, 35 এবং 40 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 14, 19, 29 এবং 34 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 1394
- (খ) 1400
- (গ) 1406
- (ঘ) 1384
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1394
এখানে ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য ধ্রুবক: (20-14)=6, (25-19)=6, (35-29)=6, (40-34)=6।
20, 25, 35, 40 এর ল.সা.গু. = 1400।
নির্ণেয় সংখ্যা = 1400 – 6 = 1394।
34. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যা 12, 15, 18 এবং 27 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 9600
- (খ) 9720
- (গ) 9930
- (ঘ) 9840
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 9720
12, 15, 18 এবং 27 এর ল.সা.গু. = 540।
বৃহত্তম চার অঙ্কের সংখ্যা 9999 কে 540 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 279।
নির্ণেয় সংখ্যা = 9999 – 279 = 9720।
35. পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর যথাক্রমে 6, 7, 8, 9 এবং 12 সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কত সময় পরে তারা পুনরায় একত্রে বাজবে?
- (ক) 504 সেকেন্ড
- (খ) 252 সেকেন্ড
- (গ) 72 সেকেন্ড
- (ঘ) 600 সেকেন্ড
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 504 সেকেন্ড
6, 7, 8, 9 এবং 12 এর ল.সা.গু. (LCM) বের করলে আমরা উত্তর পাব।
এদের ল.সা.গু. হলো 504। অতএব 504 সেকেন্ড পরে তারা পুনরায় বাজবে।
36. 10000 এর নিকটবর্তী কোন সংখ্যাটি 3, 4, 5, 6, 7 এবং 8 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 9240
- (খ) 10080
- (গ) 9996
- (ঘ) 10000
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10080
3, 4, 5, 6, 7, 8 এর ল.সা.গু. = 840।
10000 কে 840 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 760।
নিকটবর্তী সংখ্যাটি হতে পারে (10000 – 760) = 9240 অথবা (10000 + (840-760)) = 10080।
যেহেতু 10080 বেশি কাছে, তাই এটিই উত্তর।
37. একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার 17 সেমি এবং প্রস্থ 9 মিটার 2 সেমি। ওই মেঝের জন্য প্রয়োজনীয় বৃহত্তম বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
- (ক) 31 সেমি
- (খ) 41 সেমি
- (গ) 51 সেমি
- (ঘ) 61 সেমি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 41 সেমি
দৈর্ঘ্য = 1517 সেমি, প্রস্থ = 902 সেমি।
বর্গাকার টাইলসের বাহু হবে এদের গ.সা.গু. (HCF)।
1517 এবং 902 এর গ.সা.গু. হলো 41।
38. তিনটি ড্রামে যথাক্রমে 2527 লিটার, 1653 লিটার এবং 2261 লিটার দুধ আছে। বৃহত্তম কোন মাপের পাত্র দিয়ে সব ড্রামের দুধ মাপা যাবে?
- (ক) 19 লিটার
- (খ) 29 লিটার
- (গ) 31 লিটার
- (ঘ) 37 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 19 লিটার
এখানে সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. (HCF) বের করতে হবে।
2527, 1653 এবং 2261 এর গ.সা.গু. হলো 19।
39. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 16, 24, 30 এবং 36 দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 10 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 730
- (খ) 720
- (গ) 710
- (ঘ) 740
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 730
16, 24, 30, 36 এর ল.সা.গু. = 720।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে 10 ভাগশেষ থাকবে, তাই সংখ্যাটি হবে 720 + 10 = 730।
40. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 1657 এবং 2037 কে ভাগ করলে যথাক্রমে 6 এবং 5 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 127
- (খ) 133
- (গ) 235
- (ঘ) 305
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 127
প্রথমে ভাজ্য থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে: (1657-6)=1651 এবং (2037-5)=2032।
এখন 1651 এবং 2032 এর গ.সা.গু. (HCF) হলো 127।
41. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 23 এবং ল.সা.গু.-এর অপর দুটি উৎপাদক হলো 13 এবং 14। বড় সংখ্যাটি কত?
- (ক) 299
- (খ) 322
- (গ) 345
- (ঘ) 460
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 322
সংখ্যা দুটি হবে: (23 × 13) এবং (23 × 14)।
বড় সংখ্যাটি = 23 × 14 = 322।
42. 2/3, 8/9, 10/27 এবং 32/81 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 160/81
- (খ) 160/3
- (গ) 80/3
- (ঘ) 40/3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 160/3
লব (2, 8, 10, 32) এর ল.সা.গু. = 160
হর (3, 9, 27, 81) এর গ.সা.গু. = 3
অতএব ল.সা.গু. = 160/3।
43. তিনটি সংখ্যার ল.সা.গু. 120। নিচের কোনটি তাদের গ.সা.গু. হতে পারে না?
- (ক) 8
- (খ) 12
- (গ) 24
- (ঘ) 35
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 35
গ.সা.গু. সর্বদা ল.সা.গু.-এর একটি উৎপাদক হবে।
120 সংখ্যাটি 8, 12 এবং 24 দ্বারা বিভাজ্য হলেও 35 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
44. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর 12 গুণ। গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর সমষ্টি 403। একটি সংখ্যা 93 হলে অপরটি কত?
- (ক) 124
- (খ) 128
- (গ) 134
- (ঘ) 310
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 124
ধরি, গ.সা.গু. = $x$, ল.সা.গু. = $12x$।
$x + 12x = 403 \Rightarrow 13x = 403 \Rightarrow x = 31$।
গ.সা.গু. = 31, ল.সা.গু. = $31 \times 12 = 372$।
অপর সংখ্যা = $(31 \times 372) \div 93 = 124$।
45. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যার সাথে 7 যোগ করলে যোগফল 12, 16, 18, 21 এবং 28 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হবে?
- (ক) 1008
- (খ) 1015
- (গ) 1022
- (ঘ) 1001
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 1001
12, 16, 18, 21, 28 এর ল.সা.গু. = 1008।
যেহেতু ‘7 যোগ করলে’ বিভাজ্য হবে, তাই সংখ্যাটি হবে 1008 – 7 = 1001।
শেয়ার