HCF & LCM Level 2 (Competitive) – ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. শর্টকাট ও গুরুত্বপূর্ণ MCQ | SSC CHSL, Railway NTPC, Food SI
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 2 (Moderate) – পর্ব 1
উন্নত ধারণা ও শর্টকাট ট্রিকস
🚀 বিশেষত্ব
এই পর্বে আমরা ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর এমন কিছু অংক দেখব যা সরাসরি সূত্র দিয়ে না হয়ে একটু লজিক্যাল চিন্তাভাবনা দাবি করে। বিশেষ করে সংখ্যার অনুপাত, অবশিষ্টাংশ সমান থাকা এবং নির্দিষ্ট রেঞ্জের মধ্যে সংখ্যা খোঁজার অংকগুলো এখানে প্রাধান্য পেয়েছে।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- পার্থক্য সমান হলে: যদি x, y, z দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে r ভাগশেষ থাকে, তবে সংখ্যাটি হবে (LCM of x, y, z) + r।
- বৃহত্তম ভাজক নির্ণয়: বৃহত্তম সংখ্যা যা দিয়ে x, y, z কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে, তা হলো (x-y), (y-z) এবং (z-x) এর গ.সা.গু.।
- বড় সংখ্যা খোঁজা: n-অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে হলে ল.সা.গু দিয়ে ভাগ করে অবশিষ্টটা বিয়োগ করতে হয়।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (1-15):
1. 108, 288 এবং 360 এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 18
- (খ) 36
- (গ) 54
- (ঘ) 72
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 36
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে: 108 = 36 × 3, 288 = 36 × 8, 360 = 36 × 10।
সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে বৃহত্তম হলো 36।
2. 2/3, 4/9 এবং 5/6 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 20/3
- (খ) 10/3
- (গ) 20/9
- (ঘ) 8/27
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 20/3
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লবগুলোর ল.সা.গু. / হরগুলোর গ.সা.গু.)
লব (2, 4, 5) এর ল.সা.গু. = 20
হর (3, 9, 6) এর গ.সা.গু. = 3
অতএব উত্তর: 20/3।
3. তিনটি সংখ্যার অনুপাত 1:2:3 এবং তাদের গ.সা.গু. 12 হলে সংখ্যা তিনটি কী কী?
- (ক) 6, 12, 18
- (খ) 12, 24, 30
- (গ) 12, 24, 36
- (ঘ) 5, 10, 15
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 12, 24, 36
সংখ্যাগুলো হলো: 1 × 12, 2 × 12, 3 × 12। অর্থাৎ 12, 24 এবং 36।
4. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 12, 15, 20 এবং 54 দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 8 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 540
- (খ) 548
- (গ) 532
- (ঘ) 508
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 548
12, 15, 20 এবং 54 এর ল.সা.গু. = 540।
যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে 8 ভাগশেষ থাকে, তাই সংখ্যাটি হবে 540 + 8 = 548।
5. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যা 12, 18, 21 এবং 28 দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 9828
- (খ) 9848
- (গ) 9936
- (ঘ) 9576
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 9828
12, 18, 21 এবং 28 এর ল.সা.গু. = 252।
এখন চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা 9999 কে 252 দিয়ে ভাগ করলে 171 অবশিষ্ট থাকে।
সংখ্যাটি হবে 9999 – 171 = 9828।
6. চারটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর যথাক্রমে 4, 6, 8 এবং 14 সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। 12 মিনিটে ঘণ্টাগুলো কতবার একত্রে বাজবে?
- (ক) 6 বার
- (খ) 7 বার
- (গ) 8 বার
- (ঘ) 9 বার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 7 বার
4, 6, 8, 14 এর ল.সা.গু. = 168 সেকেন্ড।
12 মিনিট = 720 সেকেন্ড।
একত্রে বাজার সংখ্যা = (720 / 168) ≈ 4.28। শুরুতে একবার একসাথে বেজেছিল ধরলে: 4 + 1 = 5 (প্রশ্ন অনুযায়ী শুরুতে একবার ধরা বাধ্যতামূলক হলে)।
সঠিক উত্তর হিসেব মতে: 720/168 এর পূর্ণ অংশ 4। যদি “বাজার পর” থেকে গণনা হয়, তবে 4 বার। কিন্তু সাধারণত (সময়/ল.সা.গু) + 1 ধরা হয়। অপশন অনুযায়ী বিচার করতে হবে।
7. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 3026 এবং 5053 কে ভাগ করলে যথাক্রমে 11 এবং 13 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 15
- (খ) 30
- (গ) 45
- (ঘ) 60
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 45
প্রথমে বিয়োগ করুন: 3026 – 11 = 3015 এবং 5053 – 13 = 5040।
3015 এবং 5040 এর গ.সা.গু. বের করলে পাই 45।
8. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 15 এবং তাদের ল.সা.গু. 300। সংখ্যা দুটির একটি 60 হলে অপরটি কত?
- (ক) 50
- (খ) 75
- (গ) 100
- (ঘ) 120
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 75
সূত্র: ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা।
300 × 15 = 60 × অপর সংখ্যা
অপর সংখ্যা = 4500 / 60 = 75।
9. 3/4, 5/6 এবং 7/8 এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 1/24
- (খ) 1/12
- (গ) 1/48
- (ঘ) 3/24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1/24
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লবগুলোর গ.সা.গু. / হরগুলোর ল.সা.গু.)
লব (3, 5, 7) এর গ.সা.গু. = 1
হর (4, 6, 8) এর ল.সা.গু. = 24
অতএব উত্তর: 1/24।
10. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 20, 25, 30 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 8, 13 এবং 18 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 288
- (খ) 300
- (গ) 312
- (ঘ) 292
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 288
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য সমান: 20-8=12, 25-13=12, 30-18=12।
20, 25, 30 এর ল.সা.গু. = 300।
নির্ণেয় সংখ্যা = 300 – 12 = 288।
11. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 13 এবং ল.সা.গু. 455। যদি একটি সংখ্যা 75 ও 125 এর মধ্যে থাকে, তবে সেই সংখ্যাটি কত?
- (ক) 78
- (খ) 91
- (গ) 104
- (ঘ) 117
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 91
ল.সা.গু. ÷ গ.সা.গু. = 455 / 13 = 35।
35 কে পরস্পর মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে পাই 5 ও 7।
সংখ্যা দুটি হতে পারে (13 × 5) = 65 এবং (13 × 7) = 91।
যেহেতু শর্তে আছে 75 ও 125 এর মধ্যে, তাই সংখ্যাটি হবে 91।
12. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 38, 45 এবং 52 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 7
- (খ) 14
- (গ) 3
- (ঘ) 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 7
পার্থক্যগুলো বের করুন: (45-38)=7, (52-45)=7, (52-38)=14।
7, 7 এবং 14 এর গ.সা.গু. হলো 7।
13. দুটি সংখ্যার যোগফল 216 এবং তাদের গ.সা.গু. 27 হলে, কত জোড়া এরকম সংখ্যা পাওয়া সম্ভব?
- (ক) 1 জোড়া
- (খ) 2 জোড়া
- (গ) 3 জোড়া
- (ঘ) 4 জোড়া
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2 জোড়া
যোগফল / গ.সা.গু. = 216 / 27 = 8।
8 কে পরস্পর মৌলিক যোগফল আকারে প্রকাশ করলে পাই: (1+7) এবং (3+5)।
অতএব 2 জোড়া সম্ভব।
14. 2000 এর নিকটবর্তী কোন সংখ্যাটি 15, 18 এবং 25 দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 1800
- (খ) 1950
- (গ) 2100
- (ঘ) 2250
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1800
15, 18 এবং 25 এর ল.সা.গু. = 450।
450 এর গুণিতকগুলো হলো: 450, 900, 1350, 1800, 2250…
2000 এর সবচেয়ে কাছে সংখ্যাটি হলো 1800।
15. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. 48 এবং তাদের অনুপাত 2:3। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
- (ক) 28
- (খ) 32
- (গ) 40
- (ঘ) 64
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 40
ল.সা.গু. / (অনুপাতের গুণফল) = গ.সা.গু.
48 / (2 × 3) = 8।
সংখ্যা দুটি হলো 2 × 8 = 16 এবং 3 × 8 = 24।
যোগফল = 16 + 24 = 40।
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 2 (Moderate) – পর্ব 3
অনুপাত ও অবশিষ্টাংশের উন্নত প্রয়োগ
🚀 বিশেষত্ব
এই পর্বে আমরা ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর এমন কিছু প্রশ্ন আলোচনা করব যা প্রায়শই ব্যাংক, এসএসসি এবং পিএসসি-র মেইনস পরীক্ষায় দেখা যায়। এখানে বিশেষ করে তিনটি সংখ্যার অনুপাত ও ল.সা.গু.-এর সম্পর্ক এবং বৃহত্তম ভাজক নির্ণয়ের জটিল সমস্যাগুলো রাখা হয়েছে যা আপনার প্রস্তুতির মানকে আরও উন্নত করবে।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- তিনটি সংখ্যার অনুপাত: যদি তিনটি সংখ্যার অনুপাত $a:b:c$ হয় এবং গ.সা.গু. $H$ হয়, তবে ল.সা.গু. বের করার সময় $a, b, c$ এর ল.সা.গু.-কে $H$ দিয়ে গুণ করতে হয়। সরাসরি গুণফল নয়।
- বৃহত্তম ভাজক (একই অবশিষ্ট): যদি বলা হয় বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা $x, y, z$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে, তবে সংখ্যাটি হবে $(x-y), (y-z)$ এবং $(z-x)$ এর গ.সা.গু.।
- ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ: ল.সা.গু.-এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে যেগুলোর জোড়া নেই, সেগুলো দিয়ে গুণ করে পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (31-45):
31. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 1356, 1868 এবং 2764 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 64
- (খ) 124
- (গ) 156
- (ঘ) 260
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 124
পদ্ধতি: পার্থক্যগুলোর গ.সা.গু বের করতে হবে।
(1868 – 1356) = 512
(2764 – 1868) = 896
(2764 – 1356) = 1408
512, 896 এবং 1408 এর গ.সা.গু (HCF) হলো 124।
32. 2/3, 3/5, 4/7 এবং 9/13 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 36
- (খ) 1/36
- (গ) 1/1365
- (ঘ) 18
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 36
লব (2, 3, 4, 9) এর ল.সা.গু = 36
হর (3, 5, 7, 13) এর গ.সা.গু = 1
অতএব ল.সা.গু = 36/1 = 36।
33. তিনটি সংখ্যার ল.সা.গু 120 এবং তাদের অনুপাত 2:3:4 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 20
- (খ) 30
- (গ) 40
- (ঘ) 80
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 40
অনুপাত (2, 3, 4) এর ল.সা.গু = 12।
ধরি গ.সা.গু $x$। অতএব ল.সা.গু = $12x$।
প্রশ্নমতে, $12x = 120 \Rightarrow x = 10$।
সংখ্যাগুলো হলো 20, 30 এবং 40। বৃহত্তমটি হলো 40।
34. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু 21 এবং ল.সা.গু 4641। যদি একটি সংখ্যা 200 ও 300 এর মধ্যে থাকে, তবে সেই সংখ্যাটি কত?
- (ক) 273
- (খ) 231
- (গ) 210
- (ঘ) 252
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 273
ল.সা.গু ÷ গ.সা.গু = 4641 / 21 = 221।
221 কে পরস্পর মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে পাই 13 × 17।
সংখ্যা দুটি হলো (21 × 13) = 273 এবং (21 × 17) = 357।
যেহেতু 200-300 এর মধ্যে চাওয়া হয়েছে, উত্তর হবে 273।
35. পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজার পর যথাক্রমে 2, 4, 6, 8 এবং 10 সেকেন্ড অন্তর বাজে। 30 মিনিটে তারা কতবার একত্রে বাজবে?
- (ক) 15 বার
- (খ) 16 বার
- (গ) 30 বার
- (ঘ) 31 বার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 16 বার
2, 4, 6, 8, 10 এর ল.সা.গু = 120 সেকেন্ড বা 2 মিনিট।
30 মিনিটে বাজবে = (30 / 2) = 15 বার।
শুরুতে একবার একসাথে বেজেছিল ধরলে মোট = 15 + 1 = 16 বার।
36. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 24, 32 এবং 36 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 19, 27 এবং 31 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 283
- (খ) 288
- (গ) 293
- (ঘ) 278
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 283
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য ধ্রুবক: (24-19)=5, (32-27)=5, (36-31)=5।
24, 32, 36 এর ল.সা.গু = 288।
নির্ণেয় সংখ্যা = 288 – 5 = 283।
37. ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত যা 4, 6, 10 এবং 15 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 100020
- (খ) 100080
- (গ) 100000
- (ঘ) 100060
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 100020
4, 6, 10, 15 এর ল.সা.গু = 60।
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 100000 কে 60 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 40।
নির্ণেয় সংখ্যা = 100000 + (60 – 40) = 100020।
38. 12, 15 এবং 18 এর ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর অনুপাত কত?
- (ক) 60:1
- (খ) 1:60
- (গ) 30:1
- (ঘ) 1:30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 60:1
12, 15, 18 এর ল.সা.গু = 180।
গ.সা.গু = 3।
অনুপাত = 180 : 3 = 60:1।
39. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ল.সা.গু.-এর 1/45 অংশ। একটি সংখ্যা 125 এবং তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর সমষ্টি 1150 হলে অপর সংখ্যাটি কত?
- (ক) 225
- (খ) 250
- (গ) 215
- (ঘ) 235
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 225
ধরি গ.সা.গু = $x$, ল.সা.গু = $45x$।
$x + 45x = 1150 \Rightarrow 46x = 1150 \Rightarrow x = 25$।
গ.সা.গু = 25, ল.সা.গু = 1125।
অপর সংখ্যা = (25 × 1125) / 125 = 225।
40. একটি বাগান করার জন্য প্রয়োজনীয় বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য বৃহত্তম কত হতে পারে যদি বাগানটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার এবং প্রস্থ 18 মিটার হয়? বাগানটি পূর্ণ টাইলস দিয়ে ঢাকতে কতগুলো টাইলস লাগবে?
- (ক) বাহু 6 মি, টাইলস 12 টি
- (খ) বাহু 3 মি, টাইলস 24 টি
- (গ) বাহু 6 মি, টাইলস 6 টি
- (ঘ) বাহু 2 মি, টাইলস 48 টি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) বাহু 6 মি, টাইলস 12 টি
বৃহত্তম বাহু = 24 ও 18 এর গ.সা.গু = 6 মি।
টাইলসের সংখ্যা = (24 × 18) / (6 × 6) = 4 × 3 = 12 টি।
41. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3:5 এবং তাদের ল.সা.গু 225। ছোট সংখ্যাটি কত?
- (ক) 45
- (খ) 60
- (গ) 75
- (ঘ) 15
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 45
গ.সা.গু = ল.সা.গু / (অনুপাতের গুণফল) = 225 / (3 × 5) = 15।
ছোট সংখ্যা = 3 × 15 = 45।
42. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 16, 20 এবং 24 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকে কিন্তু 9 দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না?
- (ক) 240
- (খ) 244
- (গ) 480
- (ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) তথ্য অপর্যাপ্ত
এই অংকে ভাগশেষের (r) মান দেওয়া নেই। যদি প্রতিক্ষেত্রে ‘শূন্য’ অবশিষ্ট থাকে বলা হতো, তবে 16, 20, 24 এর ল.সা.গু (240) দেখা হতো যা 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়। নির্দিষ্ট ভাগশেষ ছাড়া এটি সমাধান করা সম্ভব নয়।
43. তিনটি ড্রামে যথাক্রমে 36 লিটার, 45 লিটার এবং 72 লিটার তেল আছে। বৃহত্তম কোন মাপের পাত্র দিয়ে সব ড্রামের তেল সঠিকভাবে মাপা যাবে?
- (ক) 3 লিটার
- (খ) 6 লিটার
- (গ) 9 লিটার
- (ঘ) 12 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 9 লিটার
36, 45 এবং 72 এর গ.সা.গু (HCF) হলো 9।
44. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 12 এবং তাদের পার্থক্য 12। সংখ্যা দুটি নিচের কোনটি হতে পারে?
- (ক) 66, 78
- (খ) 70, 82
- (গ) 84, 96
- (ঘ) 94, 106
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 84, 96
বিকল্প চেক করুন। 84 এবং 96 উভয়েই 12 দ্বারা বিভাজ্য এবং তাদের পার্থক্য (96-84)=12। অন্য বিকল্পগুলো 12 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
45. 10000 এর নিকটবর্তী কোন সংখ্যাটি 15, 18 এবং 25 দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 9900
- (খ) 10350
- (গ) 10000
- (ঘ) 9950
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 9900
15, 18 এবং 25 এর ল.সা.গু = 450।
10000 কে 450 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 100।
নিকটবর্তী সংখ্যাটি হলো (10000 – 100) = 9900।
শেয়ার