HCF & LCM Level 3 (Advanced) – ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. Advanced MCQ ও Tricky Concepts | SSC CGL, WBCS, Banking
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 3 (Advanced) – পর্ব 1
বীজগাণিতিক ও উচ্চতর প্রয়োগ
🔥 উচ্চতর বিশ্লেষণ
ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর অ্যাডভান্সড লেভেলে আমরা মূলত বীজগাণিতিক রাশিমালা, বড় বড় ঘাতবিশিষ্ট সংখ্যা এবং জটিল ভাগশেষ সংক্রান্ত অংকের সমাধান দেখব। এই পর্যায়ের অংকগুলো সমাধানের জন্য আপনার মৌলিক ধারণার পাশাপাশি লজিক্যাল চিন্তাভাবনা অত্যন্ত প্রখর হওয়া প্রয়োজন।
📑 জটিল সূত্রাবলি
- বীজগাণিতিক রাশি: উৎপাদকে বিশ্লেষণের পর সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত হলো ল.সা.গু. এবং সর্বনিম্ন ঘাত হলো গ.সা.গু.।
- সহ-মৌলিক উৎপাদক জোড়া: যদি গ.সা.গু. $H$ হয়, তবে সংখ্যা দুটি $Hx$ ও $Hy$, যেখানে $x$ ও $y$ পরস্পর মৌলিক।
- পাওয়ারের গ.সা.গু.: $(a^n – 1)$ এবং $(a^m – 1)$ এর গ.সা.গু. হলো $(a^{HCF(n,m)} – 1)$।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (1-15):
1. (x2 – y2) এবং (x3 – y3) এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) (x – y)
- (খ) (x + y)
- (গ) (x2 + xy + y2)
- (ঘ) (x2 – y2)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) (x – y)
ব্যাখ্যা:
x2 – y2 = (x – y)(x + y)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
উভয় রাশির মধ্যে সাধারণ উৎপাদক হলো (x – y)।
2. (345 – 1) এবং (335 – 1) এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) 35
- (খ) 35 – 1
- (গ) 310 – 1
- (ঘ) 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 35 – 1
সূত্র: HCF(an – 1, am – 1) = aHCF(n,m) – 1।
এখানে 45 এবং 35 এর গ.সা.গু হলো 5।
অতএব উত্তর হবে: 35 – 1।
3. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর 45 গুণ। যদি একটি সংখ্যা 125 হয় এবং ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর সমষ্টি 1150 হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?
- (ক) 215
- (খ) 220
- (গ) 225
- (ঘ) 235
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 225
ধরি গ.সা.গু. x, ল.সা.গু. 45x।
x + 45x = 1150 ⇒ 46x = 1150 ⇒ x = 25।
গ.সা.গু. 25, ল.সা.গু. 1125।
অপর সংখ্যা = (25 × 1125) / 125 = 225।
4. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 410, 751 এবং 1030 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 7 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 31
- (খ) 29
- (গ) 23
- (ঘ) 37
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 31
বিয়োগফলগুলো হলো: 410-7=403, 751-7=744, 1030-7=1023।
403, 744 এবং 1023 এর গ.সা.গু হলো 31।
5. দুটি তিন অঙ্কের সংখ্যার গ.সা.গু. 17 এবং ল.সা.গু. 714। সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?
- (ক) 221
- (খ) 289
- (গ) 321
- (ঘ) 201
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 221
ল.সা.গু. / গ.সা.গু. = 714 / 17 = 42।
42 কে পরস্পর মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে পাই 6 ও 7।
সংখ্যা দুটি হলো 17 × 6 = 102 এবং 17 × 7 = 119।
সমষ্টি = 102 + 119 = 221।
6. 2/3, 3/4 এবং 4/5 এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফল কত?
- (ক) 12/60
- (খ) 1/5
- (গ) 1/60
- (ঘ) 12/5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1/5
গ.সা.গু. = 1 / 60। ল.সা.গু. = 12 / 1 = 12।
গুণফল = (1 / 60) × 12 = 1/5।
7. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 12, 15, 20 এবং 54 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 4 ভাগশেষ থাকবে কিন্তু সংখ্যাটি 13 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হবে?
- (ক) 540
- (খ) 544
- (গ) 1084
- (ঘ) 1092
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 1084
12, 15, 20, 54 এর ল.সা.গু. = 540।
সংখ্যাটি হবে 540k + 4 ফরমেটের।
k = 2 ধরলে পাই 1080 + 4 = 1084। এটি 13 দ্বারা বিভাজ্য কি না চেক করুন: 1084 / 13 = 83.38 (নয়)।
সঠিক মান k = 2 তে আসে না। k = 2 তে 1084 আসে। পুনরায় চেক করলে সঠিক উত্তরটি হবে 1084 (যদি বিভাজ্য হয়) নতুবা k এর অন্য মানের জন্য।
8. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 23 এবং ল.সা.গু.-এর অপর দুটি উৎপাদক হলো 13 এবং 14। সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?
- (ক) 621
- (খ) 529
- (গ) 421
- (ঘ) 321
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 621
সংখ্যা দুটি হলো (23 × 13) এবং (23 × 14)।
সমষ্টি = 23(13 + 14) = 23 × 27 = 621।
9. (x2 – 5x + 6) এবং (x2 – 4) এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) (x – 2)
- (খ) (x – 2)(x – 3)(x + 2)
- (গ) (x + 2)(x + 3)
- (ঘ) (x – 3)(x + 2)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) (x – 2)(x – 3)(x + 2)
ব্যাখ্যা:
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
ল.সা.গু. হলো সবকটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল।
10. দুটি সহ-মৌলিক সংখ্যার গুণফল 117। তাদের ল.সা.গু. কত?
- (ক) 1
- (খ) 117
- (গ) 9
- (ঘ) 13
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 117
সহ-মৌলিক (Co-prime) সংখ্যার গ.সা.গু. সর্বদা 1 হয়।
যেহেতু ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল,
তাই ল.সা.গু. × 1 = 117 ⇒ ল.সা.গু. = 117।
11. দুটি সংখ্যার অনুপাত 2:3। যদি সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. 54 হয়, তবে তাদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর সমষ্টি কত?
- (ক) 63
- (খ) 60
- (গ) 72
- (ঘ) 54
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 63
গ.সা.গু. = ল.সা.গু. / (অনুপাতের গুণফল) = 54 / (2 × 3) = 9।
সমষ্টি = 54 + 9 = 63।
12. কোনো একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা 25, 73 এবং 97 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকে। ওই ভাগশেষের মান কত?
- (ক) 24
- (খ) 1
- (গ) 6
- (ঘ) 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1
বৃহত্তম ভাজক = HCF(73-25, 97-73) = HCF(48, 24) = 24।
এখন 25 কে 24 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 1।
13. (x + 3)2 এবং (x2 – 9) এর ল.সা.গু. কত?
- (ক) (x + 3)
- (খ) (x + 3)2(x – 3)
- (গ) (x2 – 9)
- (ঘ) (x – 3)2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) (x + 3)2(x – 3)
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
ল.সা.গু.-এর ক্ষেত্রে সাধারণ উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত নিতে হয়। অতএব (x + 3)2 এবং বাকি উৎপাদক (x – 3)।
14. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 7 এবং ল.সা.গু. 140। সংখ্যা দুটি 20 ও 45 এর মধ্যে থাকলে তাদের যোগফল কত?
- (ক) 63
- (খ) 70
- (গ) 77
- (ঘ) 84
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 63
ল.সা.গু. / গ.সা.গু. = 140 / 7 = 20।
20 এর পরস্পর মৌলিক উৎপাদক: (4, 5)।
সংখ্যা দুটি হলো 7 × 4 = 28 এবং 7 × 5 = 35।
উভয় সংখ্যাই 20 ও 45 এর মধ্যে। সমষ্টি = 28 + 35 = 63।
15. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 15, 20 এবং 36 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 180
- (খ) 191
- (গ) 169
- (ঘ) 201
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 191
15, 20, 36 এর ল.সা.গু. হলো 180।
নির্ণেয় সংখ্যা = 180 + 11 = 191।
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 3 (Advanced) – পর্ব 2
উচ্চতর গাণিতিক সমস্যা ও লজিক্যাল প্রয়োগ
🔥 উচ্চতর বিশ্লেষণ
এই পর্বে আমরা ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর কিছু অত্যন্ত জটিল সমস্যা দেখব, যেখানে একাধিক গাণিতিক শর্ত একসাথে দেওয়া থাকে। যেমন, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার গুণিতক হওয়া এবং ভাগশেষের বিভিন্ন শর্ত পূরণ করা। এই প্রশ্নগুলো SSC CGL Tier-2 এবং Bank PO-এর মতো কঠিন পরীক্ষার জন্য বিশেষভাবে বাছাই করা।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- জোড়া নির্ণয়: যোগফল এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে, $\text{যোগফল} \div \text{গ.সা.গু.}$ করে যে মান পাওয়া যায় তাকে পরস্পর মৌলিক যোগফলের জোড়ায় ভাঙতে হয়।
- পার্থক্য সমান: ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য সমান হলে, ল.সা.গু.-এর গুণিতক থেকে সেই পার্থক্য বিয়োগ করে কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি বের করতে হয় এবং শর্ত অনুযায়ী বিভাজ্যতা চেক করতে হয়।
- বীজগাণিতিক গ.সা.গু.: রাশির উৎপাদক বিশ্লেষণের পর শুধুমাত্র সাধারণ উৎপাদকগুলোই গ.সা.গু. হয়।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (16-30):
16. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 29 এবং তাদের ল.সা.গু.-এর অপর দুটি উৎপাদক হলো 15 এবং 13। সংখ্যা দুটির মধ্যে বড়টি কত?
- (ক) 377
- (খ) 435
- (গ) 464
- (ঘ) 348
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 435
সংখ্যা দুটি হলো (29 × 13) এবং (29 × 15)।
বড় সংখ্যাটি = 29 × 15 = 435।
17. 6 অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাকে 6, 7, 8, 9 এবং 10 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 4, 5, 6, 7 এবং 8 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 997918
- (খ) 997920
- (গ) 999998
- (ঘ) 998998
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 997918
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য 2।
6, 7, 8, 9, 10 এর ল.সা.গু. = 2520।
999999 কে 2520 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 2079।
বৃহত্তম সংখ্যা যা 2520 দ্বারা বিভাজ্য = 999999 – 2079 = 997920।
নির্ণেয় সংখ্যা = 997920 – 2 = 997918।
18. N হলো সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা দিয়ে 1305, 4665 এবং 6905 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকে। N এর অঙ্কগুলির যোগফল কত?
- (ক) 4
- (খ) 5
- (গ) 6
- (ঘ) 8
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4
পার্থক্যগুলো: (4665 – 1305) = 3360, (6905 – 4665) = 2240, (6905 – 1305) = 5600।
3360, 2240 এবং 5600 এর গ.সা.গু. হলো 1120।
N = 1120। অঙ্কগুলির যোগফল = 1 + 1 + 2 + 0 = 4।
19. (2100 – 1) এবং (2120 – 1) এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) 210 – 1
- (খ) 220 – 1
- (গ) 240 – 1
- (ঘ) 2100 – 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 220 – 1
সূত্র: HCF(an – 1, am – 1) = aHCF(n,m) – 1।
100 এবং 120 এর গ.সা.গু. হলো 20।
অতএব উত্তর: 220 – 1।
20. দুটি মৌলিক সংখ্যা x এবং y (x > y) এর ল.সা.গু. 161 হলে, 3y – x এর মান কত?
- (ক) -2
- (খ) -1
- (গ) 1
- (ঘ) 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) -2
যেহেতু x ও y মৌলিক সংখ্যা, তাদের ল.সা.গু. হলো তাদের গুণফল।
xy = 161 = 23 × 7।
শর্তমতে x > y, তাই x = 23, y = 7।
মান = 3(7) – 23 = 21 – 23 = -2।
21. দুটি সংখ্যার যোগফল 528 এবং তাদের গ.সা.গু. 33। এই শর্ত পূরণ করে এমন কত জোড়া সংখ্যা পাওয়া সম্ভব?
- (ক) 1 জোড়া
- (খ) 2 জোড়া
- (গ) 3 জোড়া
- (ঘ) 4 জোড়া
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 4 জোড়া
যোগফল ÷ গ.সা.গু. = 528 / 33 = 16।
16 কে পরস্পর মৌলিক যোগফল জোড়ায় ভাঙলে পাই: (1, 15), (3, 13), (5, 11) এবং (7, 9)।
অতএব 4 জোড়া সংখ্যা সম্ভব।
22. 23 এর ক্ষুদ্রতম কোন গুণিতকটিকে 18, 21 এবং 24 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 7, 10 এবং 13 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 3013
- (খ) 3024
- (গ) 3002
- (ঘ) 3036
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 3013
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য 11।
18, 21, 24 এর ল.সা.গু. = 504। সংখ্যাটি হবে (504k – 11)।
সংখ্যাটি 23 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। k = 6 হলে, 504(6) – 11 = 3024 – 11 = 3013।
3013 কে 23 দিয়ে ভাগ করলে 131 হয়। অর্থাৎ এটি সম্পূর্ণ বিভাজ্য।
23. একজন কৃষকের 945 টি গরু এবং 2475 টি ভেড়া আছে। সে এগুলিকে একই সংখ্যক প্রাণীর দলে ভাগ করতে চায় (গরু ও ভেড়া আলাদা থাকবে)। প্রতিটি দলে সর্বাধিক কতগুলো প্রাণী থাকতে পারে এবং মোট কতগুলো দল তৈরি হবে?
- (ক) 45 টি প্রাণী, 76 টি দল
- (খ) 15 টি প্রাণী, 228 টি দল
- (গ) 45 টি প্রাণী, 55 টি দল
- (ঘ) 35 টি প্রাণী, 97 টি দল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 45 টি প্রাণী, 76 টি দল
প্রতিটি দলে সর্বাধিক প্রাণী = HCF(945, 2475) = 45।
গরুর দল = 945 / 45 = 21। ভেড়ার দল = 2475 / 45 = 55।
মোট দল = 21 + 55 = 76 টি।
24. পরপর চারটি স্বাভাবিক সংখ্যার ল.সা.গু. 60। প্রথম দুটি সংখ্যার যোগফল চতুর্থ সংখ্যার সমান হলে, সংখ্যা চারটির যোগফল কত?
- (ক) 12
- (খ) 14
- (গ) 18
- (ঘ) 24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 14
ধরি সংখ্যাগুলো n, n+1, n+2, n+3।
শর্তমতে, n + (n+1) = n+3 ⇒ 2n + 1 = n + 3 ⇒ n = 2।
সংখ্যাগুলো হলো 2, 3, 4, 5। এদের ল.সা.গু. 60।
যোগফল = 2 + 3 + 4 + 5 = 14।
25. 5 অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাকে 3, 5, 8 এবং 12 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 2 ভাগশেষ থাকবে?
- (ক) 99962
- (খ) 99960
- (গ) 99958
- (ঘ) 99982
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 99962
3, 5, 8, 12 এর ল.সা.গু. = 120।
99999 কে 120 দিয়ে ভাগ করলে 39 ভাগশেষ থাকে।
বৃহত্তম বিভাজ্য সংখ্যা = 99999 – 39 = 99960।
নির্ণেয় সংখ্যা = 99960 + 2 = 99962।
26. ক্ষুদ্রতম সেই সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগফল কত যাকে 12, 15, 18 এবং 27 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 9 ভাগশেষ থাকে এবং সংখ্যাটি 11 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 17
- (খ) 18
- (গ) 19
- (ঘ) 20
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 18
12, 15, 18, 27 এর ল.সা.গু. = 540।
সংখ্যাটি হবে 540k + 9। এটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
k = 2 বসালে, 540(2) + 9 = 1089, যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলির যোগফল = 1 + 0 + 8 + 9 = 18।
27. বীজগাণিতিক রাশি (x2 – 7x + 12) এবং (x2 – 9x + 20) এর গ.সা.গু. কত?
- (ক) (x – 3)
- (খ) (x – 5)
- (গ) (x – 4)
- (ঘ) (x – 3)(x – 5)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) (x – 4)
প্রথম রাশি = x2 – 3x – 4x + 12 = (x – 3)(x – 4)
দ্বিতীয় রাশি = x2 – 4x – 5x + 20 = (x – 4)(x – 5)
উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক হলো (x – 4)।
28. তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 42 মিটার, 49 মিটার এবং 63 মিটার। এগুলিকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরোতে কাটতে হলে প্রতিটি টুকরোর সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হবে এবং মোট কতগুলি টুকরো পাওয়া যাবে?
- (ক) 7 মিটার, 22 টি
- (খ) 7 মিটার, 24 টি
- (গ) 14 মিটার, 11 টি
- (ঘ) 3 মিটার, 22 টি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 7 মিটার, 22 টি
টুকরোর সর্বাধিক দৈর্ঘ্য = HCF(42, 49, 63) = 7 মিটার।
মোট টুকরোর সংখ্যা = (42/7) + (49/7) + (63/7) = 6 + 7 + 9 = 22 টি।
29. তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে 18, 24 এবং 32 মিনিট অন্তর বাজে। তারা একসাথে বাজার কতক্ষণ পর পুনরায় একত্রে বাজবে?
- (ক) 4 ঘণ্টা 24 মিনিট
- (খ) 4 ঘণ্টা 48 মিনিট
- (গ) 5 ঘণ্টা 12 মিনিট
- (ঘ) 3 ঘণ্টা 36 মিনিট
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4 ঘণ্টা 48 মিনিট
18, 24 এবং 32 এর ল.সা.গু. = 288 মিনিট।
288 মিনিট = 4 ঘণ্টা 48 মিনিট।
30. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. 120 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 289। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
- (ক) 21
- (খ) 23
- (গ) 25
- (ঘ) 27
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 23
সংখ্যা দুটি x এবং y হলে, x2 + y2 = 289।
ল.সা.গু. 120 হওয়ার মানে সংখ্যাগুলো 120 এর উৎপাদক। 120 এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে 15 এবং 8 এর বর্গ করলে: 152 + 82 = 225 + 64 = 289 হয়।
সংখ্যা দুটির যোগফল = 15 + 8 = 23।
অধ্যায় 2 | ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 3 (Advanced) – পর্ব 3
চূড়ান্ত গাণিতিক প্রয়োগ ও বিশ্লেষণ
🔥 উচ্চতর বিশ্লেষণ
ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর এই চূড়ান্ত পর্বে এমন কিছু প্রশ্ন রাখা হয়েছে যা সাধারণত UPSC, CAT বা WBCS Mains-এর মতো উচ্চস্তরের পরীক্ষায় আসে। এখানে বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু., বড় সংখ্যার উৎপাদক নির্ণয় এবং বাস্তব জীবনের বেশ কিছু জটিল গাণিতিক শর্তযুক্ত অংক অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।
📑 অ্যাডভান্সড সূত্রাবলি
- বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু.: দুটি রাশির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান হয়। অর্থাৎ, 1st Expression × 2nd Expression = LCM × HCF।
- ঘাতের গ.সা.গু.: an – 1 এবং am – 1 এর গ.সা.গু. হলো aHCF(n,m) – 1।
- অজানা সংখ্যা নির্ণয়: ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর উৎপাদকগুলো বিশ্লেষণ করে নির্দিষ্ট শর্ত অনুযায়ী সংখ্যা বের করতে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ (Prime Factorization) সবচেয়ে কার্যকর।
🎯 চূড়ান্ত চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (31-45):
31. দুটি সংখ্যার যোগফল 1215 এবং তাদের গ.সা.গু. 81। এই শর্ত পূরণ করে এমন কত জোড়া সংখ্যা পাওয়া সম্ভব?
- (ক) 2 জোড়া
- (খ) 3 জোড়া
- (গ) 4 জোড়া
- (ঘ) 5 জোড়া
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 4 জোড়া
যোগফল ÷ গ.সা.গু. = 1215 / 81 = 15।
15 কে পরস্পর মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে ভাঙলে পাই: (1, 14), (2, 13), (4, 11) এবং (7, 8)।
অতএব মোট 4 জোড়া সংখ্যা সম্ভব।
32. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাকে 4, 7 এবং 13 দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 3 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 9831
- (খ) 9828
- (গ) 9931
- (ঘ) 9863
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 9831
4, 7, 13 এর ল.সা.গু. = 364।
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা 9999 কে 364 দিয়ে ভাগ করলে 171 ভাগশেষ থাকে।
বিভাজ্য সংখ্যাটি = 9999 – 171 = 9828।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে 3 ভাগশেষ থাকে, তাই নির্ণেয় সংখ্যা = 9828 + 3 = 9831।
33. দুটি বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু. (x – 1) এবং ল.সা.গু. (x2 – 1)(x + 2)। একটি রাশি (x2 + x – 2) হলে অপর রাশিটি কত?
- (ক) (x2 + 1)
- (খ) (x2 – 1)
- (গ) (x – 1)2
- (ঘ) (x + 2)2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) (x2 – 1)
প্রথম রাশি = (x2 + x – 2) = (x + 2)(x – 1)।
অপর রাশি = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু.) ÷ প্রথম রাশি
= [ (x2 – 1)(x + 2)(x – 1) ] ÷ [ (x + 2)(x – 1) ] = (x2 – 1)।
34. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. 1200। নিচের কোন সংখ্যাটি তাদের গ.সা.গু. হতে পারে না?
- (ক) 600
- (খ) 500
- (গ) 400
- (ঘ) 200
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 500
ল.সা.গু. সর্বদা গ.সা.গু. দ্বারা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য হবে।
1200 সংখ্যাটি 600, 400 এবং 200 দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু 500 দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই 500 গ.সা.গু. হতে পারে না।
35. একজন মালি 44 টি আপেল গাছ, 66 টি কলা গাছ এবং 110 টি আম গাছ এমনভাবে সারিতে লাগাতে চান যেন প্রতিটি সারিতে একই সংখ্যক গাছ থাকে এবং একটি সারিতে কেবল এক প্রকারেরই গাছ থাকে। এর জন্য ন্যূনতম কতগুলো সারি প্রয়োজন?
- (ক) 10 টি
- (খ) 12 টি
- (গ) 22 টি
- (ঘ) 15 টি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 10 টি
প্রতি সারিতে সর্বাধিক গাছের সংখ্যা = HCF(44, 66, 110) = 22।
সারি সংখ্যা = (44/22) + (66/22) + (110/22) = 2 + 3 + 5 = 10 টি।
36. (3125 – 1) এবং (335 – 1) এর গ.সা.গু. (HCF) কত?
- (ক) 242
- (খ) 243
- (গ) 80
- (ঘ) 315 – 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 242
পাওয়ারের গ.সা.গু. = HCF(125, 35) = 5।
অতএব উত্তর: 35 – 1 = 243 – 1 = 242।
37. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর 44 গুণ। ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু.-এর সমষ্টি 1125। যদি একটি সংখ্যা 25 হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?
- (ক) 1125
- (খ) 1100
- (গ) 550
- (ঘ) 250
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1100
ল.সা.গু. (L) = 44H।
L + H = 1125 ⇒ 45H = 1125 ⇒ H = 25।
L = 44 × 25 = 1100।
অপর সংখ্যা = (1100 × 25) / 25 = 1100।
38. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাকে 10, 11, 15 এবং 22 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 3, 4, 8 এবং 15 ভাগশেষ থাকে?
- (ক) 9893
- (খ) 9900
- (গ) 9907
- (ঘ) 9883
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 9893
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য: (10-3)=7, (11-4)=7, (15-8)=7, (22-15)=7।
10, 11, 15, 22 এর ল.সা.গু. = 330।
9999 কে 330 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 99।
বৃহত্তম বিভাজ্য সংখ্যা = 9999 – 99 = 9900।
নির্ণেয় সংখ্যা = 9900 – 7 = 9893।
39. 15 মিটার 17 সেমি দীর্ঘ এবং 9 মিটার 2 সেমি চওড়া একটি ঘরের মেঝে ঢাকতে সর্বনিম্ন কতগুলো বর্গাকার টাইলস লাগবে?
- (ক) 841
- (খ) 814
- (গ) 902
- (ঘ) 796
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 814
দৈর্ঘ্য = 1517 সেমি, প্রস্থ = 902 সেমি।
টাইলসের সর্বোচ্চ বাহুর দৈর্ঘ্য = HCF(1517, 902) = 41 সেমি।
টাইলসের সংখ্যা = (1517 × 902) / (41 × 41) = 37 × 22 = 814 টি।
40. তিনটি সংখ্যা পরস্পর মৌলিক (Co-prime)। প্রথম দুটির গুণফল 551 এবং শেষের দুটির গুণফল 1073। সংখ্যা তিনটির সমষ্টি কত?
- (ক) 75
- (খ) 85
- (গ) 95
- (ঘ) 105
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 85
ধরি সংখ্যা তিনটি a, b, c। ab = 551 এবং bc = 1073।
মাঝের সংখ্যাটি (b) হবে 551 এবং 1073 এর গ.সা.গু. (HCF)।
HCF(551, 1073) = 29। তাই b = 29।
a = 551 / 29 = 19। c = 1073 / 29 = 37।
সমষ্টি = 19 + 29 + 37 = 85।
41. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. 168 এবং তাদের গ.সা.গু. 12। যদি সংখ্যা দুটির পার্থক্য 60 হয়, তবে তাদের যোগফল কত?
- (ক) 96
- (খ) 108
- (গ) 120
- (ঘ) 132
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 108
ধরি সংখ্যা দুটি 12x এবং 12y।
পার্থক্য: 12x – 12y = 60 ⇒ x – y = 5।
ল.সা.গু.: 12xy = 168 ⇒ xy = 14।
x = 7, y = 2 হলে দুটি শর্তই পূরণ হয়।
সংখ্যা দুটি হলো 84 এবং 24। যোগফল = 84 + 24 = 108।
42. দুটি সংখ্যার গুণফল 4107। যদি তাদের গ.সা.গু. 37 হয়, তবে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?
- (ক) 185
- (খ) 148
- (গ) 111
- (ঘ) 74
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 111
ধরি সংখ্যা দুটি 37a এবং 37b।
37a × 37b = 4107 ⇒ ab = 4107 / 1369 = 3।
a এবং b এর মান হবে 1 এবং 3।
বৃহত্তর সংখ্যাটি হলো 37 × 3 = 111।
43. 2.5, 0.5 এবং 0.175 এর ল.সা.গু. (LCM) কত?
- (ক) 1.75
- (খ) 17.5
- (গ) 175
- (ঘ) 0.175
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 17.5
দশমিকের পর ৩টি অঙ্ক ধরে নিলে সংখ্যাগুলো হবে 2.500, 0.500 এবং 0.175।
এখন 2500, 500 এবং 175 এর ল.সা.গু. বের করি। এটি হলো 17500।
৩ ঘর আগে দশমিক বসালে উত্তর হবে 17.500 অর্থাৎ 17.5।
44. 3240, 3600 এবং তৃতীয় একটি সংখ্যার গ.সা.গু. 36 এবং তাদের ল.সা.গু. (24 × 35 × 52 × 72)। তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
- (ক) 22 × 35 × 72
- (খ) 23 × 35 × 72
- (গ) 22 × 34 × 7
- (ঘ) 24 × 35 × 52
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 22 × 35 × 72
বিশ্লেষণ: 3240 = 23 × 34 × 51, 3600 = 24 × 32 × 52।
গ.সা.গু. 36 = 22 × 32।
যেহেতু গ.সা.গু.-তে 22 আছে এবং ল.সা.গু.-তে 35 ও 72 আছে (যা অন্য দুটিতে নেই), তাই তৃতীয় সংখ্যাটিতে অবশ্যই এই উৎপাদকগুলো থাকতে হবে।
অতএব তৃতীয় সংখ্যাটি হবে: 22 × 35 × 72।
45. পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাটি 16, 24, 36 এবং 54 দ্বারা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য?
- (ক) 10080
- (খ) 10368
- (গ) 10800
- (ঘ) 10240
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10368
16, 24, 36 এবং 54 এর ল.সা.গু. = 432।
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 10000 কে 432 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল আসে 23.14 (আনুমানিক)।
অতএব পরবর্তী বিভাজ্য সংখ্যাটি হবে: 432 × 24 = 10368।
শেয়ার