Number System Level 2 (Competitive) – সংখ্যা তত্ত্ব শর্টকাট ও গুরুত্বপূর্ণ MCQ | SSC CHSL, Railway NTPC, Food SI Preparation
অধ্যায় 1 | সংখ্যা তত্ত্ব (Number System)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 2 (Moderate) – পর্ব 1
ভাগশেষ উপপাদ্য, উৎপাদক ও ঘাত সংক্রান্ত সমস্যা
🚀 বিশেষত্ব
Level 2-এর এই পর্বে আমরা শিখব কীভাবে বড় বড় ঘাতের একক স্থানীয় অঙ্ক দ্রুত বের করা যায়, ভাগশেষ নির্ণয়ের শর্টকাট ট্রিকস এবং কোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা বের করার পদ্ধতি। এই প্রশ্নগুলো আপনার লজিক্যাল চিন্তাভাবনা বৃদ্ধিতে সাহায্য করবে।
🔑 অ্যাডভান্সড ট্রিকস
- মোট উৎপাদক সংখ্যা: যদি $N = a^p \times b^q \times c^r$ হয়, তবে মোট উৎপাদক = $(p+1)(q+1)(r+1)$।
- ভাগশেষ ট্রিক: $x^n$ কে $(x+1)$ দিয়ে ভাগ করলে যদি $n$ জোড় হয় তবে ভাগশেষ 1, আর $n$ বিজোড় হলে ভাগশেষ $x$।
- একক অঙ্ক (Unit Digit): পাওয়ারকে 4 দিয়ে ভাগ করে অবশিষ্ট ঘাত হিসেবে ব্যবহার করতে হয়।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (1-15):
1. $7^{95} – 3^{58}$-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি কত?
- (ক) 0
- (খ) 4
- (গ) 6
- (ঘ) 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4
$7^{95}$ এর একক অঙ্ক: $95 \div 4$ করলে ভাগশেষ 3 থাকে। $7^3 = 343$, একক অঙ্ক 3।
$3^{58}$ এর একক অঙ্ক: $58 \div 4$ করলে ভাগশেষ 2 থাকে। $3^2 = 9$, একক অঙ্ক 9।
অতএব, $3 – 9 = -6$। যেহেতু মান ঋণাত্মক, তাই 10 যোগ করতে হবে: $10 – 6 = 4$।
2. 360 সংখ্যাটির মোট কতগুলি উৎপাদক (Factors) আছে?
- (ক) 12
- (খ) 18
- (গ) 24
- (ঘ) 30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 24
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$।
উৎপাদক সংখ্যা = $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$।
3. $67^{67} + 67$ কে 68 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
- (ক) 1
- (খ) 63
- (গ) 66
- (ঘ) 67
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 66
$67^{67}$ কে 68 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে $-1$ (যেহেতু ঘাত বিজোড়)।
অতএব, ভাগশেষ = $-1 + 67 = 66$।
4. 200 থেকে 500-এর মধ্যে 8 দ্বারা বিভাজ্য মোট কতগুলি সংখ্যা আছে?
- (ক) 35
- (খ) 37
- (গ) 38
- (ঘ) 40
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 38
500 পর্যন্ত 8 এর গুণিতক = $500 \div 8 = 62$ টি।
200 পর্যন্ত 8 এর গুণিতক = $200 \div 8 = 25$ টি।
যেহেতু 200 বিভাজ্য, তাই এর মধ্যবর্তী সংখ্যা হবে $62 – 24 = 38$ টি।
5. $100!$ (factorial 100)-এর শেষে কতগুলি শূন্য থাকবে?
- (ক) 20
- (খ) 24
- (গ) 25
- (ঘ) 30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 24
শূন্যের সংখ্যা = $\frac{100}{5} + \frac{100}{25} = 20 + 4 = 24$।
6. $3^{25} + 3^{26} + 3^{27} + 3^{28}$ নিচের কোন সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 11
- (খ) 16
- (গ) 25
- (ঘ) 30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 30
$3^{25}(1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) = 3^{25}(1+3+9+27) = 3^{25} \times 40$।
এখন $3^{24} \times 3 \times 40 = 3^{24} \times 120$। 120 সংখ্যাটি 30 দ্বারা বিভাজ্য।
7. চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি কত যা 88 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 9944
- (খ) 9768
- (গ) 9988
- (ঘ) 8888
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 9944
9999 কে 88 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 55।
নির্ণেয় সংখ্যা = $9999 – 55 = 9944$।
8. $1! + 2! + 3! + … + 100!$ এর একক স্থানীয় অঙ্ক কত?
- (ক) 1
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3
$5!$ এবং তার পরবর্তী সব ফ্যাক্টোরিয়ালের একক অঙ্ক 0।
তাই আমাদের শুধু $1!+2!+3!+4!$ এর যোগফল দেখতে হবে: $1+2+6+24 = 33$। একক অঙ্ক 3।
9. $2^{31}$ কে 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (ক) 1
- (খ) 2
- (গ) 3
- (ঘ) 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3
$2^{31}$ এর একক অঙ্ক: $31 \div 4 \rightarrow$ ভাগশেষ 3। $2^3 = 8$।
8 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 3।
10. দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য সর্বদা কত দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 3
- (খ) 6
- (গ) 8
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 8
উদাহরণ: $3^2 – 1^2 = 9 – 1 = 8$। $5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16$। এটি সর্বদা 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়।
11. $2^{10} \times 3^{15} \times 7^5$ গুণফলটিতে মোট কতগুলি মৌলিক উৎপাদক (Prime Factors) আছে?
- (ক) 30
- (খ) 3 টি
- (গ) 35
- (ঘ) 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 30
মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা = ঘাতগুলির যোগফল = $10 + 15 + 5 = 30$। (যদি ভিত্তিগুলো মৌলিক সংখ্যা হয়)।
12. কোনো সংখ্যাকে 136 দিয়ে ভাগ করলে 36 ভাগশেষ থাকে। সেই সংখ্যাকে 17 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
- (ক) 2
- (খ) 3
- (গ) 7
- (ঘ) 9
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 2
সরাসরি $36 \div 17$ করলে ভাগশেষ থাকে 2।
13. $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হলে $n^2 – n$ সর্বদা কত দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 2
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 10
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 2
$n^2 – n = n(n-1)$। এটি দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় অর্থাৎ 2 দ্বারা বিভাজ্য।
14. 1000-এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে সংখ্যাটি 45 দ্বারা বিভাজ্য হবে?
- (ক) 10
- (খ) 20
- (গ) 35
- (ঘ) 80
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 35
$1000 \div 45$ করলে ভাগশেষ থাকে 10।
যোগ করতে হবে = $(45 – 10) = 35$।
15. 1 থেকে 50 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?
- (ক) 600
- (খ) 625
- (গ) 650
- (ঘ) 1275
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 650
1 থেকে 50 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 25 টি ($n=25$)।
সমষ্টি = $n(n+1) = 25 \times 26 = 650$।
অধ্যায় 1 | সংখ্যা তত্ত্ব (Number System)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 2 (Moderate) – পর্ব 2
উন্নত বিভাজ্যতা, ক্রমিক ভাগ ও ঘাত বিশ্লেষণ
🚀 বিশেষত্ব
এই পর্বে আমরা মূলত 72, 88 বা 99-এর মতো বড় সংখ্যার বিভাজ্যতা নির্ণয়, ক্রমিক ভাগের অবশিষ্টাংশ এবং বড় সংখ্যার গুণফলে কতগুলি অংক থাকে বা শেষে কতগুলি শূন্য থাকে—তা বের করার আধুনিক পদ্ধতিগুলো আলোচনা করব। এই টাইপের প্রশ্নগুলো SSC CGL এবং WBCS Mains-এর জন্য অপরিহার্য।
🔑 অ্যাডভান্সড ট্রিকস
- যৌগিক বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যা 72 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তাকে 8 এবং 9 উভয় দ্বারা পৃথকভাবে বিভাজ্য হতে হবে।
- গুণফলের অংক সংখ্যা: $10^n$-এর ক্ষেত্রে অংক সংখ্যা হয় $(n+1)$। যেমন $2^{10} \times 5^8$ কে এই আকারে সাজিয়ে হিসাব করা সহজ।
- ঘাতের বিভাজ্যতা: $(a^n + b^n)$ সর্বদা $(a+b)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, যখন $n$ একটি বিজোড় সংখ্যা।
- পরপর ভাগ: কোনো সংখ্যাকে $x, y$ দিয়ে পরপর ভাগ করলে অবশিষ্টাংশ বের করার সূত্রটি হলো: $R_1 + d_1(R_2)$।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (16-30):
16. $2^{10} \times 5^8$ গুণফলটিতে মোট কতগুলি অংক (Digits) আছে?
- (ক) 8
- (খ) 9
- (গ) 10
- (ঘ) 11
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 9
হিসাব: $2^{10} \times 5^8 = 2^2 \times (2 \times 5)^8 = 4 \times 10^8$।
অর্থাৎ 4-এর পরে 8টি শূন্য আছে। মোট অংক সংখ্যা = $1 + 8 = 9$।
17. 9-অংকের সংখ্যা $985x3678y$ যদি 72 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে $(4x – 3y)$ এর মান কত?
- (ক) 4
- (খ) 5
- (গ) 6
- (ঘ) 8
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4
72 দ্বারা বিভাজ্য মানে 8 ও 9 দ্বারা বিভাজ্য। 8-এর জন্য শেষ তিন অংক $78y$ বিভাজ্য হতে হবে, তাই $y=4$।
9-এর জন্য অংক সমষ্টি $46+x+y \rightarrow 46+x+4 = 50+x$ বিভাজ্য হতে হবে, তাই $x=4$।
মান: $4(4) – 3(4) = 16 – 12 = 4$।
18. $4^1 + 9^2 + 4^3 + 9^4 + … + 4^{99} + 9^{100}$ যোগফলটির একক স্থানীয় অংক কত?
- (ক) 0
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 0
4-এর বিজোড় পাওয়ারের একক অংক 4 এবং 9-এর জোড় পাওয়ারের একক অংক 1।
প্রতি জোড়ার যোগফল $4+1=5$। মোট 50টি জোড়া আছে। অতএব, $50 \times 5 = 250$, যার একক অংক 0।
19. কোনো একটি সংখ্যাকে 13 দিয়ে ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকে। ভাগফলটিকে 5 দিয়ে ভাগ করলে 3 ভাগশেষ থাকে। সংখ্যাটিকে 65 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
- (ক) 30
- (খ) 35
- (গ) 40
- (ঘ) 45
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 40
ধরি ভাগফল $q$। সংখ্যাটি $N = 13q + 1$। আবার $q = 5m + 3$।
অতএব, $N = 13(5m + 3) + 1 = 65m + 39 + 1 = 65m + 40$।
অর্থাৎ 65 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 40 থাকবে।
20. $3^{101} \div 7$ এর ভাগশেষ (Remainder) কত?
- (ক) 1
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 5
$3^1 \div 7 = 3$, $3^2 \div 7 = 2$, $3^3 \div 7 = 6 (-1)$।
$(3^3)^{33} \times 3^2 \rightarrow (-1)^{33} \times 9 \rightarrow -1 \times 2 = -2$।
ভাগশেষ = $7 – 2 = 5$।
21. $1^2 + 3^2 + 5^2 + … + 19^2$ এর সমষ্টি কত?
- (ক) 1330
- (খ) 1440
- (গ) 1230
- (ঘ) 1550
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1330
বিজোড় বর্গের সমষ্টির সূত্র: $\frac{n(4n^2 – 1)}{3}$ যেখানে $n$ হলো পদসংখ্যা।
এখানে $n=10$। অতএব $\frac{10(400 – 1)}{3} = \frac{10 \times 399}{3} = 10 \times 133 = 1330$।
22. 200-এর কতগুলি বিজোড় উৎপাদক (Odd Factors) আছে?
- (ক) 2
- (খ) 3
- (গ) 4
- (ঘ) 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3
$200 = 2^3 \times 5^2$।
বিজোড় উৎপাদকের জন্য শুধু 5-এর ঘাত নিতে হবে: $(2+1) = 3$। (উৎপাদকগুলো হলো 1, 5, 25)।
23. $4^{61} + 4^{62} + 4^{63} + 4^{64}$ যোগফলটি নিচের কোন সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য?
- (ক) 3
- (খ) 10
- (গ) 11
- (ঘ) 13
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10
$4^{61}(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3) = 4^{61}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{61} \times 85$।
এখন $4^{60} \times 4 \times 85 = 4^{60} \times 340$। 340 সংখ্যাটি 10 দ্বারা বিভাজ্য।
24. $(127^{127} + 97^{127})$ এবং $(127^{97} + 97^{97})$ এর সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) কোনটি?
- (ক) 127 – 97
- (খ) 127 + 97
- (গ) $127^{127} + 97^{97}$
- (ঘ) 127
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 127 + 97
নিয়ম: $(a^n + b^n)$ সর্বদা $(a+b)$ দ্বারা বিভাজ্য যখন $n$ বিজোড়। এখানে 127 এবং 97 উভয়ই বিজোড় ঘাত। অতএব সাধারণ উৎপাদক $127+97 = 224$।
25. 100-এর ছোট কতগুলি মৌলিক সংখ্যা (Prime numbers) আছে?
- (ক) 24
- (খ) 25
- (গ) 26
- (ঘ) 21
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 25
1 থেকে 100 এর মধ্যে মোট 25টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। (2, 3, 5, 7, … , 97)।
26. $x + y = 15$ এবং $xy = 56$ হলে, $(x^2 + y^2)$ এর মান কত?
- (ক) 113
- (খ) 121
- (গ) 100
- (ঘ) 144
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 113
সূত্র: $(x+y)^2 – 2xy = 15^2 – 2(56) = 225 – 112 = 113$।
27. 50 থেকে 100 পর্যন্ত সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?
- (ক) 3825
- (খ) 3775
- (গ) 5050
- (ঘ) 4000
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3825
যোগফল = (1 থেকে 100-এর সমষ্টি) – (1 থেকে 49-এর সমষ্টি)
= $\frac{100 \times 101}{2} – \frac{49 \times 50}{2} = 5050 – 1225 = 3825$।
28. $7^{19} + 2$ কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (ক) 1
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3
$7 \div 6$ করলে ভাগশেষ 1 থাকে। অতএব $1^{19} + 2 = 1 + 2 = 3$।
29. তিন অংকের কতগুলি সংখ্যা 6 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 140
- (খ) 150
- (গ) 160
- (ঘ) 170
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 150
বৃহত্তম তিন অংক 999 পর্যন্ত 6-এর গুণিতক = $999 \div 6 = 166$।
তিন অংকের আগে 99 পর্যন্ত 6-এর গুণিতক = $99 \div 6 = 16$।
সংখ্যা = $166 – 16 = 150$।
30. কোনো সংখ্যাকে 6 দিয়ে ভাগ করলে 3 ভাগশেষ থাকে। সংখ্যাটির বর্গকে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (ক) 0
- (খ) 1
- (গ) 3
- (ঘ) 9
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3
ট্রিক: সরাসরি ভাগশেষের বর্গ করুন: $3^2 = 9$।
এখন 9 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 3।
অধ্যায় 1 | সংখ্যা তত্ত্ব (Number System)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – Level 2 (Moderate) – পর্ব 3
শূন্যের সংখ্যা, ঘাত বিশ্লেষণ ও উন্নত গাণিতিক ধারা
🚀 বিশেষত্ব
Level 2-এর এই শেষ পর্বে আমরা মূলত গুণফলের শেষে কতগুলি শূন্য থাকবে তা নির্ণয় করা, বড় বড় ঘাতের ভাগশেষ বের করার জন্য ফেরমাটের উপপাদ্য (Fermat’s Theorem)-এর প্রাথমিক প্রয়োগ এবং ঘনফলের সমষ্টির মতো সূত্রগুলোর ব্যবহার শিখব। এই প্রশ্নগুলো রেলওয়ে NTPC, SSC CGL এবং WBCS Mains-এর জন্য বিশেষভাবে বাছাই করা হয়েছে।
🔑 অ্যাডভান্সড ট্রিকস
- ঘনফলের সমষ্টি: $1^3 + 2^3 + … + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$
- শূন্যের সংখ্যা নির্ণয়: গুণফলের শেষে শূন্যের সংখ্যা নির্ভর করে 2 এবং 5 এর জোড়ের ওপর। সাধারণত 5 এর ঘাত গণনা করলেই উত্তর পাওয়া যায়।
- ফেরমাটের নীতি: যদি $p$ মৌলিক হয়, তবে $a^{p-1} \div p$ এর ভাগশেষ সর্বদা 1 হয়।
- বড় বিভাজ্যতা: কোনো সংখ্যা 99 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তাকে 9 এবং 11 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (31-45):
31. $1 \times 2 \times 3 \times … \times 100$ গুণফলটির শেষে কতগুলি শূন্য থাকবে?
- (ক) 20
- (খ) 24
- (গ) 25
- (ঘ) 30
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 24
শূন্যের সংখ্যা = $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 20 + 4 = 24$।
32. $2^{100}$ কে 101 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
- (ক) 1
- (খ) 2
- (গ) 100
- (ঘ) 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1
ফেরমাটের উপপাদ্য অনুযায়ী, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$। এখানে $p=101$ একটি মৌলিক সংখ্যা। তাই $2^{101-1} = 2^{100} \div 101$ করলে ভাগশেষ 1 হবে।
33. $1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 10^3$ এর মান কত?
- (ক) 55
- (খ) 550
- (গ) 3025
- (ঘ) 2500
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3025
সূত্র: $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$। এখানে $n=10$, তাই $[\frac{10 \times 11}{2}]^2 = (55)^2 = 3025$।
34. পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি কত যা 99 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য?
- (ক) 99990
- (খ) 99909
- (গ) 99999
- (ঘ) 99099
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 99990
99999 কে 99 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 9। অতএব নির্ণেয় সংখ্যা = $99999 – 9 = 99990$।
35. $7^{71} \times 6^{63} \times 3^{65}$ এর একক স্থানীয় অংক কত?
- (ক) 1
- (খ) 2
- (গ) 3
- (ঘ) 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 4
$7^{71}$ এর একক অংক: $71 \div 4 \rightarrow$ ভাগশেষ 3, $7^3 = 343 \rightarrow 3$।
$6^{63}$ এর একক অংক সর্বদা 6।
$3^{65}$ এর একক অংক: $65 \div 4 \rightarrow$ ভাগশেষ 1, $3^1 = 3$।
গুণফল: $3 \times 6 \times 3 = 54 \rightarrow 4$।
36. 1024 সংখ্যাটির মোট কতগুলি উৎপাদক (Factors) আছে?
- (ক) 10
- (খ) 11
- (গ) 12
- (ঘ) 15
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 11
$1024 = 2^{10}$। উৎপাদক সংখ্যা = $(10+1) = 11$।
37. $(9^6 – 11)$ কে 8 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
- (ক) 1
- (খ) 2
- (গ) 6
- (ঘ) 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 6
$9 \div 8$ করলে ভাগশেষ 1 থাকে। অতএব $1^6 – 11 = 1 – 11 = -10$।
এখন $-10 + 16$ (8 এর গুণিতক) $= 6$। ভাগশেষ হবে 6।
38. 1 থেকে 100 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?
- (ক) 2500
- (খ) 2550
- (গ) 5050
- (ঘ) 2450
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2550
জোড় সংখ্যা আছে 50টি। সূত্র: $n(n+1) = 50 \times 51 = 2550$।
39. 100-এর মোট উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (ক) 6
- (খ) 8
- (গ) 9
- (ঘ) 10
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 9
$100 = 2^2 \times 5^2$। উৎপাদক সংখ্যা = $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$।
40. $3^{25} \times 4^{26} \times 5^{27}$ গুণফলটির একক স্থানীয় অংক কত হবে?
- (ক) 0
- (খ) 2
- (গ) 5
- (ঘ) 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 0
এখানে 4 (জোড় সংখ্যা) এবং 5 রয়েছে। গুণফলের মধ্যে জোড় সংখ্যা এবং 5 থাকলে একক অংক সর্বদা 0 হয়।
41. 1000-এর সাথে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাটি যোগ করলে যোগফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হবে?
- (ক) 1
- (খ) 3
- (গ) 5
- (ঘ) 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1
$1000 \div 7$ করলে ভাগশেষ থাকে 6। অতএব যোগ করতে হবে $(7 – 6) = 1$।
42. $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2})$ সংখ্যাটি কী ধরনের সংখ্যা?
- (ক) অমূলদ সংখ্যা
- (খ) মূলদ সংখ্যা
- (গ) কাল্পনিক সংখ্যা
- (ঘ) মৌলিক সংখ্যা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) মূলদ সংখ্যা
সূত্র $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$ অনুযায়ী: $(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2 = 3 – 2 = 1$। 1 একটি মূলদ সংখ্যা।
43. $x^n – y^n$ সর্বদা $(x – y)$ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি—
- (ক) $n$ জোড় সংখ্যা হয়
- (খ) $n$ বিজোড় সংখ্যা হয়
- (গ) $n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হয়
- (ঘ) $n$ শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যা হয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) $n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হয়
$x^n – y^n$ রাশিটি $n$-এর সমস্ত স্বাভাবিক মানের জন্যই $(x – y)$ দ্বারা বিভাজ্য।
44. $6^{10} \times 7^{17} \times 11^{27}$ গুণফলটিতে মোট কতগুলি মৌলিক উৎপাদক (Prime Factors) আছে?
- (ক) 54
- (খ) 64
- (গ) 74
- (ঘ) 81
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 64
$6^{10}$ কে ভাঙলে পাই $(2 \times 3)^{10} = 2^{10} \times 3^{10}$।
মোট মৌলিক উৎপাদক = $10 + 10 + 17 + 27 = 64$।
45. প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি এবং তাদের যোগফলের বর্গের মধ্যে পার্থক্য কত?
- (ক) 2640
- (খ) 3025
- (গ) 385
- (ঘ) 2500
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 2640
যোগফলের বর্গ = $(55)^2 = 3025$।
বর্গের সমষ্টি = 385।
পার্থক্য = $3025 – 385 = 2640$।
শেয়ার