দশম শ্রেণী গনিত: রাশি বিজ্ঞান – কষে দেখি 26.2

কষে দেখি – 26.2

1. মধুপুর গ্রামের 10 জন শুঁটকি মাছ বিক্রেতার বিক্রয়লব্ধ অর্থ (টাকায়) হলো: 107, 210, 92, 52, 113, 75, 195; বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

52, 75, 92, 107, 113, 195, 210

এখানে মোট তথ্যের সংখ্যা ($n$) = 7, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে,

$$ \text{মধ্যমা} = \frac{n+1}{2} \text{ তম পদ} $$

$$ = \frac{7+1}{2} \text{ তম পদ} $$

$$ = \frac{8}{2} \text{ তম পদ} $$

$$ = 4 \text{র্থ পদ} $$

ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো তথ্যে 4র্থ পদটি হলো 107।

উত্তর: নির্ণেয় বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা 107 টাকা।

2. কিছু পশুর বয়স (বছরে) হলো: 6, 10, 5, 4, 9, 11, 20, 18; বয়সের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত বয়সগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

4, 5, 6, 9, 10, 11, 18, 20

এখানে মোট তথ্যের সংখ্যা ($n$) = 8, যা একটি জোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে,

$$ \text{মধ্যমা} = \frac{\frac{n}{2} \text{ তম পদ} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ তম পদ}}{2} $$

এখানে, $\frac{n}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = \frac{4\text{র্থ পদ} + 5\text{ম পদ}}{2} $$

ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো তথ্যে 4র্থ পদটি হলো 9 এবং 5ম পদটি হলো 10।

$$ = \frac{9 + 10}{2} $$

$$ = \frac{19}{2} $$

$$ = 9.5 $$

উত্তর: নির্ণেয় বয়সের মধ্যমা 9.5 বছর।

3. 14 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর হলো: 42, 51, 56, 45, 62, 59, 50, 52, 55, 64, 45, 54, 58, 60; প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

42, 45, 45, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64

এখানে মোট ছাত্র সংখ্যা ($n$) = 14, যা একটি জোড় সংখ্যা।

সুতরাং,

$$ \text{মধ্যমা} = \frac{\frac{n}{2} \text{ তম পদ} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ তম পদ}}{2} $$

এখানে, $\frac{n}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = \frac{7\text{ম পদ} + 8\text{ম পদ}}{2} $$

সাজানো তথ্যে 7ম পদটি হলো 54 এবং 8ম পদটি হলো 55।

$$ = \frac{54 + 55}{2} $$

$$ = \frac{109}{2} $$

$$ = 54.5 $$

উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 54.5।

4. আজ পাড়ার ক্রিকেট খেলায় আমাদের স্কোরের তালিকা হলো:

7 9 10 11 11 8 7 7 10 6 9
7 9 9 6 6 8 8 9 8 7 8

ক্রিকেট খেলায় আমাদের স্কোরের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত স্কোরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11

এখানে মোট তথ্যের সংখ্যা ($n$) = 22, যা একটি জোড় সংখ্যা।

সুতরাং,

$$ \text{মধ্যমা} = \frac{\frac{n}{2} \text{ তম পদ} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ তম পদ}}{2} $$

এখানে, $\frac{n}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = \frac{11\text{তম পদ} + 12\text{তম পদ}}{2} $$

সাজানো তথ্যে 11তম পদটি হলো 8 এবং 12তম পদটি হলো 8।

$$ = \frac{8 + 8}{2} $$

$$ = \frac{16}{2} $$

$$ = 8 $$

উত্তর: স্কোরের মধ্যমা 8।

5. নিচের 70 জন ছাত্রের ওজনের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ওজনের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা ($n$) = 70, যা একটি জোড় সংখ্যা।

$$ \therefore \frac{n}{2} = \frac{70}{2} = 35 $$

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকায় ৩৫-এর ঠিক বেশি মানটি হলো ৪৪।

৪৪ ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার অনুরূপ চলরাশির মান ($x$) হলো ৪৭।

সুতরাং, মধ্যমা হবে ৪৭।

উত্তর: নির্ণেয় ওজনের মধ্যমা ৪৭ কিগ্রা।

6. নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের (মিমি) পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা ($n$) = 80, যা একটি জোড় সংখ্যা।

$$ \therefore \frac{n}{2} = \frac{80}{2} = 40 $$

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকায় ৪০-এর ঠিক বেশি মানটি হলো ৫৭।

৫৭ ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার অনুরূপ চলরাশির মান ($x$) হলো ২২।

সুতরাং, মধ্যমা হবে ২২।

উত্তর: নির্ণেয় ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা ২২ মিমি।

7. মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা ($n$) = 116, যা একটি জোড় সংখ্যা।

$$ \therefore \frac{n}{2} = \frac{116}{2} = 58 $$

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকায় ৫৮-এর ঠিক বেশি মানটি হলো ৮৬।

৮৬ ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার অনুরূপ চলরাশির মান ($x$) হলো ২।

সুতরাং, মধ্যমা হবে ২।

উত্তর: ২

8. আমাদের 40 জন শিক্ষার্থীর প্রতি সপ্তাহে টিফিন খরচের (টাকায়) পরিসংখ্যা হলো:

টিফিন খরচের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

মধ্যমা নির্ণয়ের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা:

এখানে মোট পরিসংখ্যা $n = 40$

$\therefore \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$

২০-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ২৩, যা (৫০ – ৫৫) শ্রেণির অন্তর্গত।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ৫০ – ৫৫।

এখানে,

• মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা ($l$) = 50
• মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা ($f$) = 9
• মধ্যমা শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ($cf$) = 14
• শ্রেণি দৈর্ঘ্য ($h$) = 5

$$ \therefore \text{নির্ণেয় মধ্যমা} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf}{f} \right) \times h $$

$$ = 50 + \left( \frac{20 – 14}{9} \right) \times 5 $$

$$ = 50 + \frac{6}{9} \times 5 $$

$$ = 50 + \frac{2}{3} \times 5 $$

$$ = 50 + \frac{10}{3} $$

$$ = 50 + 3.33 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 53.33 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: নির্ণেয় টিফিন খরচের মধ্যমা ৫৩.৩৩ টাকা (প্রায়)।

9. নিচের তথ্য থেকে ছাত্রীদের উচ্চতার মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা $n = 100$

$\therefore \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$

৫০-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ৫৭, যা (১৫০ – ১৫৫) শ্রেণির অন্তর্গত।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ১৫০ – ১৫৫।

এখানে, $l = 150, f = 22, cf = 35, h = 5$

$$ \therefore \text{নির্ণেয় মধ্যমা} = 150 + \left( \frac{50 – 35}{22} \right) \times 5 $$

$$ = 150 + \frac{15}{22} \times 5 $$

$$ = 150 + \frac{75}{22} $$

$$ = 150 + 3.41 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 153.41 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: নির্ণেয় উচ্চতার মধ্যমা ১৫৩.৪১ সেমি (প্রায়)।

10. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা $n = 59$

$\therefore \frac{n}{2} = \frac{59}{2} = 29.5$

২৯.৫-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ৩৬, যা (৩০ – ৪০) শ্রেণির অন্তর্গত।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ৩০ – ৪০।

এখানে, $l = 30, f = 15, cf = 21, h = 10$

$$ \therefore \text{নির্ণেয় মধ্যমা} = 30 + \left( \frac{29.5 – 21}{15} \right) \times 10 $$

$$ = 30 + \frac{8.5}{15} \times 10 $$

$$ = 30 + \frac{85}{150} \times 10 $$

$$ = 30 + \frac{85}{15} $$

$$ = 30 + \frac{17}{3} $$

$$ = 30 + 5.67 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 35.67 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩৫.৬৭ (প্রায়)।

11. নিচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

এখানে $n = 50$, $\therefore \frac{n}{2} = 25$

২৫-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ২৬।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ১৫ – ২০।

এখানে, $l = 15, f = 15, cf = 11, h = 5$

$$ \therefore \text{নির্ণেয় মধ্যমা} = 15 + \left( \frac{25 – 11}{15} \right) \times 5 $$

$$ = 15 + \frac{14}{15} \times 5 $$

$$ = 15 + \frac{14}{3} $$

$$ = 15 + 4.67 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 19.67 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ১৯.৬৭ (প্রায়)।

12. নিচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

যেহেতু শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন (Inclusive Method), তাই শ্রেণি-সীমানা তৈরি করে নিতে হবে (০.৫ বিয়োগ ও ০.৫ যোগ করে)।

এখানে $n = 30$, $\therefore \frac{n}{2} = 15$

১৫-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ১৮।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ১৫.৫ – ২০.৫।

এখানে, $l = 15.5, f = 7, cf = 11, h = 5$

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = 15.5 + \left( \frac{15 – 11}{7} \right) \times 5 $$

$$ = 15.5 + \frac{4}{7} \times 5 $$

$$ = 15.5 + \frac{20}{7} $$

$$ = 15.5 + 2.86 \text{ (প্রায়)} $$

$$ = 18.36 \text{ (প্রায়)} $$

উত্তর: ১৮.৩৬ (প্রায়)।

13. নিচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

এখানেও শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন। তাই শ্রেণি-সীমানা তৈরি করতে হবে।

এখানে $n = 68$, $\therefore \frac{n}{2} = 34$

৩৪-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ৪৯।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ৮০.৫ – ৯০.৫।

এখানে, $l = 80.5, f = 20, cf = 29, h = 10$

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = 80.5 + \left( \frac{34 – 29}{20} \right) \times 10 $$

$$ = 80.5 + \frac{5}{20} \times 10 $$

$$ = 80.5 + \frac{5}{2} $$

$$ = 80.5 + 2.5 $$

$$ = 83 $$

উত্তর: ৮৩

14. নিচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

সমাধান:

প্রদত্ত তালিকাটি একটি ‘ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা’ (ক্ষুদ্রতর সূচক) তালিকা। প্রথমে আমরা এটি থেকে সাধারণ শ্রেণি-সীমানা ও পরিসংখ্যা বের করব।

এখানে $n = 120$, $\therefore \frac{n}{2} = 60$

৬০-এর সমান বা ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো ৬০, যা (৩০ – ৪০) শ্রেণিতে অবস্থিত।

$\therefore$ মধ্যমা শ্রেণিটি হলো ৩০ – ৪০।

এখানে,

• $l$ (মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা) = 30
• $f$ (মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা) = 20
• $cf$ (মধ্যমা শ্রেণির আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা) = 40
• $h$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য) = 10

$$ \therefore \text{মধ্যমা} = 30 + \left( \frac{60 – 40}{20} \right) \times 10 $$

$$ = 30 + \frac{20}{20} \times 10 $$

$$ = 30 + 1 \times 10 $$

$$ = 30 + 10 $$

$$ = 40 $$

উত্তর: ৪০

15. নিচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি যখন পরিসংখ্যা সমষ্টি 100;

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, মোট পরিসংখ্যা ($n$) = 100

$$ \therefore 75 + x + y = 100 $$

বা, $$ x + y = 100 – 75 $$

বা, $$ x + y = 25 \quad … (i) $$

আবার, প্রদত্ত মধ্যমা = 32।

যেহেতু মধ্যমা 32, তাই মধ্যমা শ্রেণিটি হবে (৩০ – ৪০), কারণ 32 এই শ্রেণির মধ্যে অবস্থিত।

এখানে,

• $l$ (নিম্নসীমা) = 30
• $n/2$ = 100/2 = 50
• $f$ (মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা) = 30
• $cf$ (আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা) = $35 + x$
• $h$ (শ্রেণি দৈর্ঘ্য) = 10

আমরা জানি,

$$ \text{মধ্যমা} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf}{f} \right) \times h $$

$$ \therefore 32 = 30 + \left( \frac{50 – (35 + x)}{30} \right) \times 10 $$

বা, $$ 32 – 30 = \frac{50 – 35 – x}{3} $$

বা, $$ 2 = \frac{15 – x}{3} $$

বা, $$ 6 = 15 – x $$

বা, $$ x = 15 – 6 $$

$$ \therefore x = 9 $$

(i) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,

$$ 9 + y = 25 $$

বা, $$ y = 25 – 9 $$

$$ \therefore y = 16 $$

উত্তর: x = 9 এবং y = 16