সঠিক উত্তর: (খ) এমন একটি বিন্দু যেখানে সিস্টেমের সমগ্র ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে ধরা হয়

ভরকেন্দ্র হলো একটি কাল্পনিক বিন্দু যেখানে বল প্রয়োগ করলে বস্তুটির কেবল রৈখিক গতি সৃষ্টি হয়, কোনো আবর্ত গতি সৃষ্টি হয় না।

সঠিক উত্তর: (গ) কণা দুটির সংযোগকারী রেখার ঠিক মাঝবিন্দুতে (r/2 দূরত্বে)

ভরকেন্দ্র সর্বদা ভরের বণ্টনের ওপর নির্ভর করে। ভর সমান হলে এটি ঠিক মধ্যবিন্দুতে থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) (2, 0)

সূত্র: X_cm = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)
X_cm = (1×0 + 2×3) / (1 + 2) = 6 / 3 = 2। সুতরাং স্থানাঙ্ক (2, 0)।

সঠিক উত্তর: (খ) না, কখনোই পারে না

নিউটনের সূত্র অনুযায়ী, অভ্যন্তরীণ বলগুলো জোড়ায় জোড়ায় ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া হিসেবে কাজ করে এবং একে অপরকে প্রশমিত করে। তাই তারা ভরকেন্দ্রের ত্বরণ বা বেগের পরিবর্তন করতে পারে না।

সঠিক উত্তর: (খ) ভরকেন্দ্রটি আগের মতোই অধিবৃত্তাকার (Parabolic) পথে চলতে থাকবে

বিস্ফোরণ একটি অভ্যন্তরীণ ঘটনা। যেহেতু বাহ্যিক বল (মহাকর্ষ) অপরিবর্তিত আছে, তাই ভরকেন্দ্রের গতিপথের কোনো পরিবর্তন হবে না।

সঠিক উত্তর: (খ) 2R / π

ক্যালকুলাসের সাহায্যে প্রমাণ করা যায় যে, একটি সুষম অর্ধবৃত্তাকার তার বা রিং-এর ভরকেন্দ্র তার জ্যামিতিক কেন্দ্র থেকে উল্লম্ব অক্ষ বরাবর 2R/π দূরত্বে থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) চুড়ি বা আংটি (Ring)

ভরকেন্দ্র কোনো বাস্তব বিন্দু নয়, এটি একটি গাণিতিক বিন্দু। আংটির ক্ষেত্রে ভরকেন্দ্র থাকে তার কেন্দ্রে, যেখানে কোনো পদার্থ বা উপাদান থাকে না।

সঠিক উত্তর: (খ) ভারী কণাটির কাছাকাছি অবস্থান করবে

ভরকেন্দ্র থেকে কণা দুটির দূরত্বের অনুপাত তাদের ভরের ব্যস্তানুপাতিক (r1/r2 = m2/m1)। তাই ভর যেখানে বেশি, ভরকেন্দ্র তার তত কাছে থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) মোট রৈখিক ভরবেগ (Total Linear Momentum)

F_ext = dP/dt। যদি বাহ্যিক বল শূন্য হয়, তবে ভরবেগের পরিবর্তনের হার শূন্য হয়, অর্থাৎ মোট রৈখিক ভরবেগ ধ্রুবক থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) 0.035 Å (প্রায়)

Cl থেকে দূরত্ব x = (m_H × d) / (m_H + m_Cl) = (1 × 1.27) / (1 + 35.5) = 1.27 / 36.5 ≈ 0.0348 Å। যেহেতু Cl অনেক ভারী, ভরকেন্দ্র তার খুব কাছে থাকে।

সঠিক উত্তর: (ঘ) ক এবং গ উভয়ই সঠিক

একটি সুষম মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে ভরকেন্দ্র ও ভারকেন্দ্র একই বিন্দুতে মিশে যায়। কিন্তু অনিয়মিত মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে তারা আলাদা হতে পারে।

সঠিক উত্তর: (গ) বেগ ধ্রুবক থাকবে

বাহ্যিক বল শূন্য হলে ভরকেন্দ্রের ত্বরণ শূন্য হয় (a_cm = 0)। এর অর্থ হলো ভরকেন্দ্র হয় স্থির থাকবে নয়তো সমবেগে চলতে থাকবে।

সঠিক উত্তর: (গ) মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুতে (ভরকেন্দ্রে)

জ্যামিতিকভাবে একটি সুষম ত্রিভুজাকার পাতের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমা তিনটির সাধারণ ছেদবিন্দুতে বা সেন্ট্রয়েড-এ অবস্থান করে।

সঠিক উত্তর: (গ) দণ্ডের ঠিক মধ্যবিন্দুতে (L/2 দূরত্বে)

সুষম দণ্ডের ভরকেন্দ্র তার মধ্যবিন্দুতে থাকে। কোনো বস্তুকে তার ভরকেন্দ্রে বা ভারকেন্দ্রে আলম্ব দিয়ে ভারসাম্য রক্ষা করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) a_cm = ∑F / M

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী, সিস্টেমের ওপর প্রযুক্ত বাহ্যিক লব্ধি বল হলো সিস্টেমের মোট ভর ও ভরকেন্দ্রের ত্বরণের গুণফলের সমান (∑F_ext = M a_cm)।

সঠিক উত্তর: (খ) কোনো বলের বস্তুকে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরানোর প্রবণতা

রৈখিক গতিতে বল যে ভূমিকা পালন করে, আবর্ত গতিতে টর্ক ঠিক সেই একই ভূমিকা পালন করে। একটি দরজা খোলার সময় আমরা দরজার হাতলে যে বল প্রয়োগ করি, তা কবজার সাপেক্ষে একটি টর্ক সৃষ্টি করে এবং দরজাকে ঘোরায়। বল এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগবিন্দুর লম্ব দূরত্বের গুণফল দ্বারাই এই টর্ক পরিমাপ করা হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) কার্য বা শক্তি

টর্ক পরিমাপ করা হয় বল এবং দূরত্বের গুণফল দ্বারা। বলের মাত্রা [MLT⁻²] এবং দূরত্বের মাত্রা [L]। সুতরাং টর্কের মাত্রা হবে [ML²T⁻²], যা হুবহু কার্য বা শক্তির মাত্রার সমান। তবে মনে রাখতে হবে, মাত্রা এক হলেও টর্ক এবং কার্য সম্পূর্ণ ভিন্ন দুটি ভৌত রাশি (টর্ক ভেক্টর রাশি, আর কার্য স্কেলার রাশি)।

সঠিক উত্তর: (খ) τ = r × F

টর্ক হলো অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফল বা ক্রস গুণফল। ভেক্টর গুণফলের ক্ষেত্রে ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, অর্থাৎ r × F এবং F × r এক নয় (এরা পরস্পরের বিপরীতমুখী)। ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম প্রয়োগ করে r থেকে F এর দিকে স্ক্রু ঘোরালে টর্কের সঠিক অভিমুখ পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) কৌণিক ভরবেগ

এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র নামে পরিচিত। যেমন রৈখিক গতিতে বাহ্যিক বল শূন্য হলে রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে, ঠিক তেমনই আবর্ত গতিতে বাহ্যিক টর্ক শূন্য হলে সিস্টেমের মোট কৌণিক ভরবেগ সর্বদা ধ্রুবক থাকে। গ্রহ-নক্ষত্রের গতি থেকে শুরু করে ঘূর্ণায়মান লাটিম—সবকিছুতেই এই সূত্র কার্যকরী।

সঠিক উত্তর: (গ) দ্বন্দ্ব বা যুগ্ম বল

এই ধরনের বল-ব্যবস্থাকে দ্বন্দ্ব বলা হয়। যেহেতু বল দুটির মান সমান এবং দিক বিপরীত, তাই এদের লব্ধি বল শূন্য হয়। ফলে বস্তুর কোনো রৈখিক সরণ ঘটে না। কিন্তু এরা ভিন্ন বিন্দুতে কাজ করায় একটি নিট টর্ক তৈরি করে, যা বস্তুর মধ্যে বিশুদ্ধ আবর্ত গতি সৃষ্টি করে। যেমন— জলের কলের চাবি ঘোরানো বা গাড়ির স্টিয়ারিং হুইল ঘোরানোর সময় আমরা দ্বন্দ্ব প্রয়োগ করি।

সঠিক উত্তর: (গ) ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান

দ্বন্দ্বের ভ্রামকের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, এর মান বস্তুর ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থানের ওপর একেবারেই নির্ভর করে না। এটি সর্বদা যেকোনো একটি বলের মান এবং বল দুটির ক্রিয়া রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের গুণফলের সমান হয়। তাই বস্তুর ভেতরের যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষেই দ্বন্দ্বের ভ্রামকের মান একই থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) শূন্য

টর্ক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে বলের ক্রিয়া রেখা এবং ঘূর্ণন অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব প্রয়োজন। বলটি যদি সরাসরি কেন্দ্রাভিমুখী হয়, তবে তার ক্রিয়া রেখা বৃত্তের কেন্দ্র (বা ঘূর্ণন অক্ষ) দিয়েই অতিক্রম করবে। ফলে কেন্দ্র থেকে বলের ক্রিয়া রেখার লম্ব দূরত্ব শূন্য হয়ে যায় এবং টর্কের মানও শূন্য হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) τ = dL/dt

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের রৈখিক রূপ হলো F = dP/dt (বল = রৈখিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার)। এই সূত্রের আবর্ত গতির রূপ হলো τ = dL/dt। অর্থাৎ, কোনো দৃঢ় বস্তুর ওপর প্রযুক্ত নিট বাহ্যিক টর্ক ওই বস্তুর কৌণিক ভরবেগের সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনের হারের সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) জড়তা ভ্রামক

ভর যেমন বস্তুর রৈখিক গতির পরিবর্তনকে বাধা দেয়, জড়তা ভ্রামক তেমনই বস্তুর আবর্ত গতির পরিবর্তনকে (ঘূর্ণন শুরু বা থামানো) বাধা দেয়। এটি কেবল বস্তুর ভরের ওপর নয়, বরং ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে ভরের বণ্টনের ওপরেও গভীরভাবে নির্ভর করে।

সঠিক উত্তর: (গ) কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি

সূর্য এবং গ্রহের মধ্যকার মহাকর্ষ বল একটি কেন্দ্রাভিমুখী বল হওয়ায় এর দরুন সৃষ্ট টর্ক শূন্য হয়। টর্ক শূন্য হওয়ার ফলে গ্রহের কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। এই কৌণিক ভরবেগের ধ্রুবক মানের গাণিতিক রূপই হলো কেপলারের ক্ষেত্রফল সূত্র।

সঠিক উত্তর: (খ) তার জড়তা ভ্রামক কমে যায়, ফলে কৌণিক ভরবেগ ধ্রুবক রাখতে কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়

কৌণিক ভরবেগ (L) হলো জড়তা ভ্রামক (I) এবং কৌণিক বেগের (ω) গুণফল (L = Iω)। হাত গুটিয়ে নিলে শরীরের ভর ঘূর্ণন অক্ষের কাছাকাছি চলে আসে, ফলে জড়তা ভ্রামক (I) কমে যায়। যেহেতু বাইরে থেকে কোনো টর্ক প্রয়োগ করা হচ্ছে না, তাই L ধ্রুবক রাখতে ω বা ঘূর্ণন বেগ স্বয়ংক্রিয়ভাবে বেড়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) লম্ব দূরত্ব বাড়লে একই বল প্রয়োগেও বেশি টর্ক উৎপন্ন হয়

টর্ক = প্রযুক্ত বল × লম্ব দূরত্ব। দরজা খোলার জন্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টর্কের প্রয়োজন হয়। কবজা থেকে দূরত্ব যত বেশি হবে, গুণফলের মান অপরিবর্তিত রাখতে তত কম বল প্রয়োগ করতে হবে। এই কারণেই দরজার হাতল সর্বদা কবজা থেকে সবচেয়ে দূরে লাগানো থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) 20 N·m

সহজ গাণিতিক সূত্র অনুযায়ী, টর্ক = বল × লম্ব দূরত্ব।
এখানে বল = 10 N এবং লম্ব দূরত্ব = 2 m।
সুতরাং টর্ক = 10 × 2 = 20 N·m।

সঠিক উত্তর: (গ) দণ্ডের ঠিক মধ্যবিন্দুতে (L/2 দূরত্বে)

সুষম দণ্ডের ভরকেন্দ্র তার মধ্যবিন্দুতে থাকে। কোনো বস্তুকে তার ভরকেন্দ্রে বা ভারকেন্দ্রে আলম্ব দিয়ে ভারসাম্য রক্ষা করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) না, নিট বল শূন্য হলেও দ্বন্দ্বের কারণে টর্ক থাকতে পারে

দ্বন্দ্ব বা যুগ্ম বলের ক্ষেত্রে বস্তুর ওপর সমান ও বিপরীতমুখী দুটি বল প্রয়োগ করা হয়, যার ফলে মোট লব্ধি বল শূন্য হয় এবং বস্তুর রৈখিক গতি থাকে না। কিন্তু বল দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ক্রিয়া করায় একটি নিট টর্ক তৈরি হয়, যা বস্তুকে ঘোরায়। তাই নিট বল শূন্য হলেই যে টর্ক শূন্য হবে, তার কোনো নিশ্চয়তা নেই।

সঠিক উত্তর: (ঘ) বস্তুর কৌণিক বেগ

জড়তা ভ্রামক বস্তুর নিজস্ব একটি গঠনগত বৈশিষ্ট্য। এটি বস্তুর ভর, বস্তুর আকার-আকৃতি এবং ঘূর্ণন অক্ষটি কোথায় আছে তার ওপর সম্পূর্ণভাবে নির্ভর করে। বস্তুটি কত দ্রুত বা ধীরে ঘুরছে অর্থাৎ তার কৌণিক বেগ কত, তার ওপর জড়তা ভ্রামকের বিন্দুমাত্র কোনো প্রভাব নেই।

সঠিক উত্তর: (খ) kg·m²

জড়তা ভ্রামকের গাণিতিক সমীকরণ হলো বস্তুর ভর এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফল (I = mr²)। ভরের একক কিলোগ্রাম (kg) এবং দূরত্বের বর্গের একক বর্গমিটার (m²)। তাই এর সম্মিলিত একক দাঁড়ায় kg·m²।

সঠিক উত্তর: (খ) [ML²]

সমীকরণ I = mr² অনুযায়ী, ভরের মাত্রা [M] এবং দূরত্বের বর্গের মাত্রা [L²]। জড়তা ভ্রামকের মাত্রায় সময়ের (T) কোনো অস্তিত্ব নেই। তাই সঠিক মাত্রীয় সংকেত হলো [ML²] বা [ML²T⁰]。

সঠিক উত্তর: (খ) I = Mk²

চক্রগতির ব্যাসার্ধ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে এমন একটি লম্ব দূরত্ব, যেখানে বস্তুটির সমগ্র ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে ধরে নিলে ওই অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের মান সম্পূর্ণ বস্তুর প্রকৃত জড়তা ভ্রামকের সমান হয়। সংজ্ঞা অনুযায়ী এই গাণিতিক রূপটি হলো I = Mk²।

সঠিক উত্তর: (গ) I = I_c + Mh²

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য আমাদের জানায় যে, যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক (I) হবে তার সমান্তরাল ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক (I_c) এবং বস্তুর ভর ও অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের (Mh²) সমষ্টি। এটি যেকোনো আকারের বস্তুর ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।

সঠিক উত্তর: (খ) কেবল সমতলীয় পাতের ক্ষেত্রে

লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি কেবলমাত্র সমতলীয় এবং পাতলা পাতের জন্য সত্যি। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, পাতের তলের ওপর অবস্থিত পরস্পর লম্ব দুটি অক্ষের (x ও y) সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের যোগফল, ওই বিন্দু দিয়ে পাতের তলের ওপর লম্বভাবে থাকা তৃতীয় অক্ষের (z) সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) ML² / 12

ক্যালকুলাস ব্যবহার করে -L/2 থেকে +L/2 পর্যন্ত সমাকলন করলে প্রমাণ করা যায় যে, একটি সরু সুষম দণ্ডের ভরকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের নির্দিষ্ট মান হলো ML² / 12।

সঠিক উত্তর: (খ) ML² / 3

এই মানটি সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (I = I_c + Mh²) ব্যবহার করে খুব সহজেই বের করা যায়। এখানে I_c = ML² / 12 এবং কেন্দ্র থেকে প্রান্তের দূরত্ব h = L/2। সুতরাং, I = ML²/12 + M(L/2)² = ML²/12 + ML²/4 = 4ML²/12 = ML² / 3।

সঠিক উত্তর: (খ) MR²

একটি রিং বা চুড়ির ক্ষেত্রে তার সমস্ত ভর পরিধি বরাবর অবস্থান করে। অর্থাৎ, প্রতিটি কণা ঘূর্ণন অক্ষ (কেন্দ্র) থেকে ঠিক R দূরত্বে থাকে। তাই সামগ্রিক জড়তা ভ্রামক সরাসরি MR² এর সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) MR² / 2

চাকতির ভর কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত সর্বত্র ছড়িয়ে থাকে। কেন্দ্রগামী অক্ষের কাছাকাছি থাকা ভরগুলোর দূরত্ব কম হওয়ায় তাদের জড়তা ভ্রামক কম হয়। সমাকলন করে দেখা যায়, সম্পূর্ণ চাকতির জড়তা ভ্রামক রিং-এর ঠিক অর্ধেক, অর্থাৎ MR² / 2 হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 2MR² / 5

নিরেট গোলকের সম্পূর্ণ আয়তন জুড়ে ভর সুষমভাবে বণ্টিত থাকে। জ্যামিতিক প্রতিসাম্য এবং সমাকলন পদ্ধতির মাধ্যমে হিসাব করলে একটি নিরেট গোলকের কেন্দ্রগামী অক্ষ বা ব্যাসের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের মান 2MR² / 5 পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) 2MR² / 3

ফাঁপা গোলকের সমগ্র ভর তার বাইরের পৃষ্ঠে অবস্থান করে, অর্থাৎ অক্ষ থেকে ভরের গড় দূরত্ব নিরেট গোলকের তুলনায় বেশি হয়। এই কারণে একই ভর ও ব্যাসার্ধের ফাঁপা গোলকের জড়তা ভ্রামক (2MR² / 3) নিরেট গোলকের (2MR² / 5) চেয়ে বেশি হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) দূরত্বের একক

চক্রগতির ব্যাসার্ধ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে একটি কাল্পনিক লম্ব দূরত্ব। যেহেতু এটি একটি রৈখিক দূরত্ব নির্দেশ করে, তাই এর এস.আই. একক হলো মিটার (m) এবং এটি দূরত্বের মাত্রার [L] সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান এবং বস্তুর আকার ও আকৃতির ওপর

k = √(I/M)। বস্তুর মোট ভর (M) স্থির থাকলেও, ঘূর্ণন অক্ষ পরিবর্তন করলে বা বস্তুর আকৃতি বদলালে তার জড়তা ভ্রামক (I) পরিবর্তিত হয়। ফলে চক্রগতির ব্যাসার্ধও (k) বদলে যায়। এটি বস্তুর মোট ভরের পরিমাণের ওপর সরাসরি নির্ভর করে না, নির্ভর করে ভরের বণ্টনের ওপর।

সঠিক উত্তর: (খ) রিং-এর জড়তা ভ্রামক বেশি হবে

চাকতির ক্ষেত্রে ভর কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত সর্বত্র ছড়ানো থাকে, তাই এর জড়তা ভ্রামক MR² / 2 হয়। কিন্তু রিং-এর ক্ষেত্রে সমস্ত ভর কেন্দ্র থেকে সর্বাধিক দূরে অর্থাৎ পরিধিতে অবস্থান করে, তাই এর জড়তা ভ্রামক MR² হয়। স্পষ্টতই রিং-এর জড়তা ভ্রামক চাকতির দ্বিগুণ।

সঠিক উত্তর: (খ) τ = I α

নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রের রৈখিক রূপটি হলো বল = ভর × ত্বরণ (F = ma)। আবর্ত গতির ক্ষেত্রে এই রাশিগুলো পরিবর্তিত হয়ে যায়। এখানে বলের সমতুল্য ভৌত রাশি হলো টর্ক, ভরের সমতুল্য রাশি হলো জড়তা ভ্রামক এবং রৈখিক ত্বরণের সমতুল্য হলো কৌণিক ত্বরণ। বিস্তারিত গাণিতিক প্রমাণের সাহায্যে দেখানো যায় যে, কোনো দৃঢ় বস্তুর ওপর প্রযুক্ত মোট টর্ক সর্বদা বস্তুটির জড়তা ভ্রামক এবং কৌণিক ত্বরণের গুণফলের সমান হয়। এটি আবর্ত গতিবিদ্যার অন্যতম একটি মৌলিক সমীকরণ।

সঠিক উত্তর: (ক) L = I ω

রৈখিক ভরবেগ যেমন ভর এবং রৈখিক বেগের গুণফল (p = mv), ঠিক তেমনি আবর্ত গতির ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগ হলো জড়তা ভ্রামক এবং কৌণিক বেগের গুণফল। এই সমীকরণটি নির্দেশ করে যে কোনো বস্তুর জড়তা ভ্রামক বেশি হলে একই কৌণিক বেগ সৃষ্টি করতে অনেক বেশি কৌণিক ভরবেগের প্রয়োজন হয়। ঘূর্ণায়মান বস্তুর গতি প্রকৃতি বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এই সমীকরণটি অত্যন্ত অপরিহার্য।

সঠিক উত্তর: (খ) ½ I ω²

সরলরৈখিক গতির ক্ষেত্রে বস্তুর গতিশক্তির সমীকরণ হলো ½ m v²। আবর্ত গতির ক্ষেত্রে ভর (m)-এর জায়গা নেয় জড়তা ভ্রামক (I) এবং রৈখিক বেগ (v)-এর জায়গা নেয় কৌণিক বেগ (ω)। বস্তুর অন্তর্ভুক্ত অসংখ্য কণার রৈখিক গতিশক্তিগুলোর যোগফল নির্ণয় করে গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা যায় যে, সামগ্রিক আবর্ত গতিশক্তির মান ½ I ω² এর ঠিক সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 2/7 অংশ

বিশুদ্ধ গড়িয়ে চলার ক্ষেত্রে মোট গতিশক্তি রৈখিক এবং আবর্ত গতিশক্তির যোগফলের সমান হয়। নিরেট গোলকের জড়তা ভ্রামক I = (2/5)mr²। তাই আবর্ত গতিশক্তি = ½ I ω² = ½ × (2/5)mr² × (v²/r²) = (1/5)mv²। আবার রৈখিক গতিশক্তি = ½ mv²। মোট গতিশক্তি = (1/5)mv² + ½ mv² = (7/10)mv²। অতএব, মোট শক্তির সাপেক্ষে আবর্ত শক্তির অনুপাত = (1/5) / (7/10) = 2/7।

সঠিক উত্তর: (খ) প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক

কৌণিক ভরবেগের মাত্রা সমীকরণ হলো L = r × p = দৈর্ঘ্য × ভরবেগ। ভরবেগের মাত্রা [MLT⁻¹] এবং দৈর্ঘ্যের মাত্রা [L] হওয়ায় কৌণিক ভরবেগের মাত্রা দাঁড়ায় [ML²T⁻¹]। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবকের (h) মাত্রাও ঠিক একই, যা শক্তি এবং সময়ের গুণফল (Joule-second) থেকে পাওয়া যায়। পরমাণুর বোর মডেলে এই অভিন্ন মাত্রার ধারণাই অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

সঠিক উত্তর: (গ) কৌণিক ভরবেগ

নিউটনের সূত্র থেকে আমরা জানি বাহ্যিক বল শূন্য হলে রৈখিক ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকে। ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে এর অনুরূপ নিয়ম হলো কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র। যদি কোনো সিস্টেমে বাহ্যিক নিট টর্ক শূন্য হয়, তবে সিস্টেমটির মোট কৌণিক ভরবেগ সময়ের সাথে সাথে বদলায় না। অভ্যন্তরীণ কারণে জড়তা ভ্রামক বদলালেও, তা ক্ষতিপূরণ করতে কৌণিক বেগ এমনভাবে বদলে যায় যাতে উভয়ের গুণফল ধ্রুবক থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) v = ω × r

আবর্ত গতিতে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে যত দূরে যাওয়া যায়, বস্তুকণার রৈখিক বেগ তত বৃদ্ধি পায়। ভেক্টর বীজগণিতের ক্রস গুণফলের নিয়ম অনুযায়ী, রৈখিক বেগ ভেক্টরটি হলো কৌণিক বেগ ভেক্টর এবং অবস্থান ভেক্টরের ক্রস গুণফল। ক্রস গুণফলে ভেক্টর দুটির ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম প্রয়োগ করলে দেখা যায় ω থেকে r এর দিকে ঘুরালে রৈখিক বেগের সঠিক দিক পাওয়া যায়, তাই v = ω × r সমীকরণটি সঠিক।

সঠিক উত্তর: (গ) নিরেট গোলক

নততল বেয়ে গড়িয়ে নামার সময় বস্তুর রৈখিক ত্বরণ নির্ভর করে তার জড়তা ভ্রামকের ওপর। যার জড়তা ভ্রামক যত কম, তার ত্বরণ তত বেশি হয় এবং সেটি তত তাড়াতাড়ি নিচে পৌঁছায়। এই তিনটি বস্তুর মধ্যে নিরেট গোলকের ভর তার কেন্দ্রের খুব কাছাকাছি বিন্যস্ত থাকে, ফলে তার জড়তা ভ্রামক (2/5 mr²) সবচেয়ে কম হয়। এই কারণে গোলকটির ত্বরণ সর্বাধিক হয় এবং সেটি সবার আগে নততলের নিচে পৌঁছায়।

সঠিক উত্তর: (গ) W = τ θ

রৈখিক গতিতে কৃতকার্য হলো বল এবং রৈখিক সরণের গুণফল (W = Fs)। আবর্ত গতির ক্ষেত্রে বলের স্থান গ্রহণ করে টর্ক এবং রৈখিক সরণের স্থান গ্রহণ করে কৌণিক সরণ। গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা যায় যে, কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর ওপর স্থির মানের টর্ক প্রয়োগ করে নির্দিষ্ট কৌণিক সরণ ঘটালে, কৃতকার্যের মান ওই টর্ক এবং কৌণিক সরণের সরাসরি গুণফলের সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) P = τ ω

ক্ষমতা হলো সময়ের সাপেক্ষে কার্য করার হার (P = W / t)। আমরা জানি আবর্ত গতিতে কৃতকার্য W = τ θ। সুতরাং ক্ষমতা হবে P = (τ θ) / t। যেহেতু সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক সরণের হারই হলো কৌণিক বেগ (ω = θ / t), তাই সমীকরণটি দাঁড়ায় P = τ ω। এটি রৈখিক গতির ক্ষমতার সমীকরণ P = Fv এর সম্পূর্ণ অনুরূপ।

সঠিক উত্তর: (গ) শূন্য

বস্তুটি সমকৌণিক বেগে ঘোরার অর্থ হলো তার কৌণিক বেগের কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না। কৌণিক বেগের পরিবর্তন না হলে কৌণিক ত্বরণের মান শূন্য হয় (α = 0)। আমরা জানি, টর্ক = জড়তা ভ্রামক × কৌণিক ত্বরণ (τ = Iα)। যেহেতু ত্বরণ শূন্য, তাই কণাটির ওপর প্রযুক্ত নিট টর্কের মানও সম্পূর্ণভাবে শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) দ্বিতীয় বস্তুর (I₂)

আবর্ত গতিশক্তি (K) এবং কৌণিক ভরবেগের (L) মধ্যে গাণিতিক সম্পর্কটি হলো K = L² / 2I। যেহেতু উভয় বস্তুর কৌণিক ভরবেগ (L) সমান, তাই আবর্ত গতিশক্তি সরাসরি জড়তা ভ্রামকের (I) ব্যস্তানুপাতিক হবে। অর্থাৎ, যার জড়তা ভ্রামক কম, তার আবর্ত গতিশক্তি বেশি হবে। এখানে দ্বিতীয় বস্তুর জড়তা ভ্রামক কম হওয়ায় তার গতিশক্তি বেশি হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) দিনের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাবে

বরফ গলে বিষুবীয় অঞ্চলে আসার অর্থ হলো, পৃথিবীর ভর তার ঘূর্ণন অক্ষ থেকে আরও দূরে সরে যাওয়া। এর ফলে পৃথিবীর সামগ্রিক জড়তা ভ্রামক বৃদ্ধি পাবে। কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, জড়তা ভ্রামক বাড়লে কৌণিক বেগ হ্রাস পায়। কৌণিক বেগ কমে যাওয়ার অর্থ হলো পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারপাশে একবার ঘুরে আসতে বেশি সময় লাগবে, ফলে দিনের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাবে।

সঠিক উত্তর: (খ) π / 30 rad/s

কৌণিক বেগ নির্ণয়ের সূত্র হলো ω = 2π / T, যেখানে T হলো পর্যায়কাল। একটি সেকেন্ডের কাঁটা ঘড়ির ডায়ালে একবার পূর্ণ আবর্তন করতে 60 সেকেন্ড সময় নেয়। তাই এর পর্যায়কাল T = 60 s। এই মানটি সূত্রে বসালে পাওয়া যায় ω = 2π / 60, যা কাটাকাটি করলে π / 30 rad/s হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) θ = ω₀ t + ½ α t²

সরলরৈখিক গতির ক্ষেত্রে যেমন সমত্বরণে চলমান বস্তুর সরণের সূত্র s = ut + ½ at² ব্যবহার করা হয়, আবর্ত গতির ক্ষেত্রেও ঠিক একই কাঠামোর একটি সূত্র ব্যবহৃত হয়। এখানে সরণের (s) জায়গায় কৌণিক সরণ (θ), প্রাথমিক বেগের (u) জায়গায় প্রাথমিক কৌণিক বেগ (ω₀) এবং রৈখিক ত্বরণের (a) জায়গায় কৌণিক ত্বরণ (α) বসালে সহজেই এই সমীকরণটি পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) ফাঁপা গোলকের

ফাঁপা গোলকের সমস্ত ভর তার পরিধিতে বা বাইরের পৃষ্ঠে অবস্থান করে, ফলে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরের গড় দূরত্ব বেশি হয়। তাই ফাঁপা গোলকের জড়তা ভ্রামক (2/3 MR²) নিরেট গোলকের জড়তা ভ্রামকের (2/5 MR²) চেয়ে সবসময় বেশি হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) ML² / 3

দণ্ডের ভরকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হয় ML² / 12। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে কেন্দ্র থেকে প্রান্তের দূরত্ব (L/2) ব্যবহার করলে একপ্রান্তগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের মান পাওয়া যায় ML² / 3।

সঠিক উত্তর: (ক) 0.08 kg·m²

জড়তা ভ্রামক নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র হলো: জড়তা ভ্রামক = ভর × (চক্রগতির ব্যাসার্ধ)²। মান বসালে পাওয়া যায়, I = 2 × (0.2)² = 2 × 0.04 = 0.08 kg·m²।

সঠিক উত্তর: (খ) শূন্য

সমকৌণিক বেগে ঘোরার অর্থ হলো বস্তুর কৌণিক বেগের কোনো পরিবর্তন ঘটছে না, ফলে এর কৌণিক ত্বরণ সম্পূর্ণ শূন্য। যেহেতু টর্ক হলো জড়তা ভ্রামক এবং কৌণিক ত্বরণের গুণফল, তাই ত্বরণ শূন্য হলে লব্ধি টর্কও অপরিহার্যভাবে শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) রৈখিক গতিশক্তি এবং আবর্ত গতিশক্তির সমষ্টি

বিশুদ্ধ গড়িয়ে চলার ক্ষেত্রে বস্তুর মধ্যে একইসঙ্গে দুটি গতি কাজ করে— ভরকেন্দ্রের রৈখিক গতি এবং ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘূর্ণন বা আবর্ত গতি। তাই বস্তুটির মোট গতিশক্তি হলো এই দুই গতির কারণে সৃষ্ট রৈখিক এবং আবর্ত গতিশক্তির সরাসরি যোগফল।

সঠিক উত্তর: (খ) 2/3 g sinθ

গড়িয়ে পড়ার ক্ষেত্রে রৈখিক ত্বরণের সমীকরণ হলো a = g sinθ / (1 + I/MR²)। একটি নিরেট চোঙের ক্ষেত্রে তার জড়তা ভ্রামক I = 1/2 MR² হয়, তাই I/MR² এর মান দাঁড়ায় 1/2। এই মানটি সূত্রে বসালে ত্বরণ পাওয়া যায় a = g sinθ / (1 + 1/2) = g sinθ / (3/2) = 2/3 g sinθ।

সঠিক উত্তর: (খ) τ = r × F

টর্ক হলো অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফল বা ক্রস গুণফল। ভেক্টর বীজগণিতের নিয়মানুযায়ী ক্রস গুণফলে ভেক্টর দুটির ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম প্রয়োগ করলে দেখা যায় r থেকে F এর দিকে স্ক্রু ঘোরালে টর্কের সঠিক দিক পাওয়া যায়, তাই সমীকরণটি সর্বদা τ = r × F হবে।

সঠিক উত্তর: (ক) 6 ঘণ্টা

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, I₁ω₁ = I₂ω₂। পৃথিবীর জড়তা ভ্রামক তার ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক (I ∝ R²)। ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে নতুন জড়তা ভ্রামক আগের চার ভাগের এক ভাগ (I/4) হবে। যেহেতু কৌণিক বেগ ω = 2π/T, তাই I₁/T₁ = I₂/T₂ হয়। এখান থেকে নতুন পর্যায়কাল T₂ = 24 × (1/4) = 6 ঘণ্টা পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) 20π rad/s

আমরা জানি, 1 rpm বা প্রতি মিনিটে 1 আবর্তনের অর্থ হলো 60 সেকেন্ডে 2π রেডিয়ান কোণ ঘোরা। অর্থাৎ 1 rpm = 2π / 60 rad/s। সুতরাং 600 rpm = 600 × (2π / 60) = 10 × 2π = 20π rad/s।

সঠিক উত্তর: (গ) শূন্য

ভরকেন্দ্রের পদার্থবিদ্যাগত সংজ্ঞাই হলো এমন একটি অনন্য গাণিতিক বিন্দু, যার সাপেক্ষে বস্তুর অন্তর্গত প্রতিটি কণার ভর এবং দূরত্বের গুণফল বা ভরভ্রামক ভেক্টর নিয়মে যোগ করলে তা সম্পূর্ণরূপে শূন্য হয়ে যায়। এটি ভরকেন্দ্রের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য।

সঠিক উত্তর: (খ) কৌণিক ত্বরণ

আমরা জানি টর্ক = জড়তা ভ্রামক × কৌণিক ত্বরণ (τ = Iα)। কোনো নির্দিষ্ট বস্তুর ক্ষেত্রে তার জড়তা ভ্রামক (I) একটি ধ্রুবক রাশি। তাই এর ওপর একটি ধ্রুবক মানের টর্ক প্রয়োগ করলে বস্তুতে সর্বদা একটি নির্দিষ্ট বা ধ্রুবক কৌণিক ত্বরণ সৃষ্টি হবে, ঠিক যেমন স্থির বল সমত্বরণ সৃষ্টি করে।

সঠিক উত্তর: (খ) 7/5 MR²

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (I = I_c + Mh²) ব্যবহার করে এটি বের করতে হয়। গোলকের কেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক I_c = 2/5 MR² এবং স্পর্শক থেকে ওই অক্ষের লম্ব দূরত্ব h = R। তাই স্পর্শকের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক = 2/5 MR² + M(R)² = 7/5 MR²।

সঠিক উত্তর: (ক) L² / 2I

আবর্ত গতিশক্তির সূত্র হলো 1/2 Iω²। ভগ্নাংশের লব ও হরকে I দিয়ে গুণ করলে সমীকরণটি দাঁড়ায় (I²ω²) / 2I। যেহেতু কৌণিক ভরবেগ L = Iω, তাই লবের অংশে (I²ω²) এর জায়গায় L² বসালে আবর্ত গতিশক্তির এই বহু ব্যবহৃত রূপটি (L² / 2I) পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) MR² / 4

লম্ব অক্ষ উপপাদ্য অনুযায়ী, চাকতির তলের ওপর অবস্থিত পরস্পর লম্ব দুটি ব্যাসের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের যোগফল কেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের (MR² / 2) সমান। অর্থাৎ, 2 × (যেকোনো ব্যাসের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক) = MR² / 2। সুতরাং, যেকোনো ব্যাসের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হবে MR² / 4।

সঠিক উত্তর: (খ) হ্যাঁ, বস্তুটি সমকৌণিক বেগে ঘূর্ণায়মান থাকলে এমনটি হয়

বস্তুটি যখন একটি নির্দিষ্ট বা সমকৌণিক বেগে ঘোরে, তখন তার একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ কৌণিক ভরবেগ থাকে। কিন্তু যেহেতু কৌণিক বেগের কোনো হ্রাস-বৃদ্ধি ঘটছে না, তাই কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার শূন্য হয়। নিউটনের আবর্ত গতির সূত্র অনুযায়ী, ভরবেগের পরিবর্তনের হার শূন্য হওয়ার অর্থ হলো বস্তুটির ওপর বাইরে থেকে প্রযুক্ত নিট টর্ক সম্পূর্ণ শূন্য।

সঠিক উত্তর: (খ) দ্বিমাত্রিক বা সমতলীয় পাতের ক্ষেত্রে

লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি কেবলমাত্র এমন বস্তুর জন্যই সত্য যার বেধ বা গভীরতা তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের তুলনায় নগণ্য, অর্থাৎ বস্তুটিকে একটি সমতলীয় পাত হিসেবে বিবেচনা করা যায়। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, পাতের নিজস্ব তলে থাকা দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের যোগফল, ওই তলটির ওপর লম্বভাবে থাকা তৃতীয় অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের ঠিক সমান হয়। ত্রিমাত্রিক বস্তুর ক্ষেত্রে এই উপপাদ্য খাটে না।

সঠিক উত্তর: (গ) টর্ক

কোনো স্থির বস্তুকে সরলরেখায় গতিশীল করতে বা গতিশীল বস্তুর বেগ পরিবর্তন করতে যেমন বল প্রয়োগের প্রয়োজন হয়, ঠিক তেমনি কোনো বস্তুকে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘোরাতে বা তার ঘূর্ণন বেগের পরিবর্তন ঘটাতে টর্কের প্রয়োজন হয়। টর্ক হলো আবর্ত গতির মূল চালিকাশক্তি, যা প্রযুক্ত বল এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে সেই বলের লম্ব দূরত্বের ওপর নির্ভর করে।

সঠিক উত্তর: (খ) MR² / 2

একটি নিরেট চোঙকে যদি তার লম্ব অক্ষ বরাবর অসংখ্য পাতলা চাকতিতে ভাগ করা হয়, তবে প্রতিটি চাকতির নিজস্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হবে তার ভরের সাথে ব্যাসার্ধের বর্গের গুণফলের অর্ধেক। এই চাকতিগুলোর মোট জড়তা ভ্রামক যোগ করলে সম্পূর্ণ চোঙটির জড়তা ভ্রামক পাওয়া যায়, যার মান একটি চাকতির মতোই MR² / 2 হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) 1/2 অংশ

গড়িয়ে চলা আংটির রৈখিক গতিশক্তি হলো 1/2 Mv²। আংটির জড়তা ভ্রামক I = MR² হওয়ায় এর আবর্ত গতিশক্তি হয় 1/2 Iω² = 1/2 (MR²)(v²/R²) = 1/2 Mv²। অর্থাৎ আংটির ক্ষেত্রে রৈখিক এবং আবর্ত গতিশক্তি একেবারে সমান। তাই মোট গতিশক্তি = 1/2 Mv² + 1/2 Mv² = Mv²। মোট শক্তির সাপেক্ষে রৈখিক শক্তির অনুপাত হয় (1/2 Mv²) / Mv² = 1/2 অংশ।

সঠিক উত্তর: (খ) কৌণিক ভরবেগ

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, যদি কোনো সিস্টেমের ওপর বাইরের থেকে কোনো টর্ক কাজ না করে, তবে তার মোট কৌণিক ভরবেগ সর্বদা সংরক্ষিত বা ধ্রুবক থাকে। এই নিয়ম মেনেই ঘুরতে থাকা কোনো নৃত্যশিল্পী হাত গুটিয়ে নিলে তার জড়তা ভ্রামক কমে যায়, কিন্তু কৌণিক ভরবেগ ধ্রুবক রাখতে তার ঘূর্ণন বেগ স্বয়ংক্রিয়ভাবে বেড়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 90 ডিগ্রি

টর্কের গাণিতিক সমীকরণটি হলো rF sinθ। এখানে θ হলো অবস্থান ভেক্টর এবং বলের মধ্যবর্তী কোণ। সাইন অপেক্ষকের (sin) মান 90 ডিগ্রিতে সর্বাধিক (1) হয়। তাই বলটি যদি দূরত্বের সাথে ঠিক লম্বভাবে কাজ করে, তবে সবচেয়ে বেশি টর্ক উৎপন্ন হয় এবং বস্তুকে ঘোরানো সবচেয়ে সহজ হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) √(2/5) R

নিরেট গোলকের জড়তা ভ্রামক হলো I = (2/5)MR²। আবার চক্রগতির ব্যাসার্ধের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি I = Mk²। এই দুটি সমীকরণ তুলনা করলে পাওয়া যায়, k² = (2/5)R²। এর বর্গমূল করলেই চক্রগতির ব্যাসার্ধ k = √(2/5) R পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) টর্ক হলো কৌণিক ভরবেগের সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার

এটি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের আবর্ত গতির রূপ। রৈখিক গতির ক্ষেত্রে যেমন ভরবেগের পরিবর্তনের হার প্রযুক্ত বলের সমান হয়, আবর্ত গতির ক্ষেত্রেও ঠিক তেমনি বস্তুর কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার ওপর প্রযুক্ত নিট টর্কের সমান হয়। গাণিতিকভাবে একে τ = dL/dt লেখা হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) M(L² + B²) / 12

এটি লম্ব অক্ষ উপপাদ্যের একটি চমৎকার প্রয়োগ। পাতের তলের ওপর থাকা দুটি লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক যথাক্রমে MB²/12 এবং ML²/12 হয়। এই দুটি মান যোগ করলে কেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে মোট জড়তা ভ্রামক M(L² + B²) / 12 পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) ক্ষমতা = টর্ক × কৌণিক বেগ

রৈখিক গতিতে ক্ষমতা নির্ণয় করা হয় বল এবং বেগের গুণফল দিয়ে (P = Fv)। এর সম্পূর্ণ সমতুল্য হিসেবে, আবর্ত গতিতে ক্ষমতা হলো টর্ক এবং কৌণিক বেগের গুণফল। কোনো মোটর বা ইঞ্জিনের ঘূর্ণন ক্ষমতা এভাবেই নির্ণয় করা হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 25 J

আবর্ত গতিশক্তির সমীকরণ হলো 1/2 Iω²। এখানে জড়তা ভ্রামক I = 2 এবং কৌণিক বেগ ω = 5। সমীকরণে মানগুলো বসালে পাওয়া যায়: 1/2 × 2 × (5)² = 1 × 25 = 25 জুল।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 গুণ

আবর্ত গতিশক্তি এবং কৌণিক ভরবেগের সম্পর্কটি হলো K = L² / 2I। যেহেতু জড়তা ভ্রামক ধ্রুবক, তাই গতিশক্তি সরাসরি কৌণিক ভরবেগের বর্গের সমানুপাতিক হয়। কৌণিক ভরবেগ 2 গুণ করলে তার বর্গ অর্থাৎ 4 গুণ গতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 2:1

ধরি, কণা দুটির ভর m এবং 2m। প্রথম কণার জড়তা ভ্রামক I₁ = m × (2)² = 4m। দ্বিতীয় কণার জড়তা ভ্রামক I₂ = 2m × (1)² = 2m। অনুপাত বের করলে হয় I₁ : I₂ = 4m : 2m = 2 : 1।

সঠিক উত্তর: (খ) কৌণিক ত্বরণ সৃষ্টি হবে এবং বেগ ক্রমান্বয়ে বাড়তে থাকবে

বাহ্যিক টর্ক প্রয়োগ করা হলে তা বস্তুর মধ্যে কৌণিক ত্বরণ সৃষ্টি করে (τ = Iα)। ত্বরণ থাকার অর্থ হলো বস্তুর কৌণিক বেগ আর স্থির থাকবে না, বরং সময়ের সাথে সাথে তা বৃদ্ধি পেতে থাকবে, ঠিক যেমন বল প্রয়োগ করলে রৈখিক বেগ বৃদ্ধি পায়।

সঠিক উত্তর: (ঘ) বস্তুর ভেতরে বা বাইরে যেকোনো স্থানে থাকতে পারে

ভরকেন্দ্র হলো একটি কাল্পনিক গাণিতিক বিন্দু। এটি বস্তুর আকৃতি এবং ভরের বণ্টনের ওপর নির্ভর করে। নিরেট গোলক বা ইটের ক্ষেত্রে ভরকেন্দ্র উপাদানের ভেতরে থাকে, কিন্তু আংটি, ফাঁপা পাইপ বা বুমেরাং-এর ক্ষেত্রে ভরকেন্দ্র বস্তুর উপাদানের বাইরে, একদম ফাঁকা স্থানে অবস্থান করতে পারে।

সঠিক উত্তর: (ক) টর্ক = কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের আবর্ত গতির রূপ এটি। রৈখিক গতিতে কোনো বস্তুর রৈখিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার যেমন প্রযুক্ত লব্ধি বলের সমান হয়, ঠিক তেমনি আবর্ত গতির ক্ষেত্রে কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার ওপর প্রযুক্ত লব্ধি টর্কের সমান হয়। গাণিতিকভাবে একে τ = dL/dt লেখা হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) নিরেট চাকতির

আমরা জানি টর্ক = জড়তা ভ্রামক × কৌণিক ত্বরণ। সুতরাং, টর্ক ধ্রুবক থাকলে কৌণিক ত্বরণ জড়তা ভ্রামকের ব্যস্তানুপাতিক হয়। আংটির জড়তা ভ্রামক (MR²) নিরেট চাকতির জড়তা ভ্রামকের (MR²/2) দ্বিগুণ। জড়তা ভ্রামক কম হওয়ার কারণে নিরেট চাকতিটি অনেক দ্রুত ঘুরতে শুরু করবে, অর্থাৎ তার কৌণিক ত্বরণ বেশি হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 7 : 5

নিরেট গোলকের রৈখিক গতিশক্তি 1/2 mv²। এর আবর্ত গতিশক্তি হলো 1/2 Iω², যেখানে I = 2/5 mr²। হিসাব করলে আবর্ত গতিশক্তি দাঁড়ায় 1/5 mv²। মোট গতিশক্তি হলো এই দুটির যোগফল অর্থাৎ 7/10 mv²। সুতরাং, মোট গতিশক্তি এবং রৈখিক গতিশক্তির অনুপাত হবে (7/10 mv²) : (1/2 mv²) = 7 : 5।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 গুণ হবে

বাহ্যিক টর্ক শূন্য হলে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে, অর্থাৎ জড়তা ভ্রামক এবং কৌণিক বেগের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়। সমীকরণটি হলো I₁ω₁ = I₂ω₂। যদি নতুন জড়তা ভ্রামক I₂ আগের অর্ধেক (I₁/2) হয়, তবে সমতা বজায় রাখার জন্য নতুন কৌণিক বেগ ω₂ নিশ্চিতভাবেই আগের দ্বিগুণ (2ω₁) হতে হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) L / √3

দণ্ডের একপ্রান্তগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হলো I = ML²/3। চক্রগতির ব্যাসার্ধের সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা জানি I = Mk²। এই দুটি সমীকরণ তুলনা করলে পাওয়া যায় Mk² = ML²/3, যা থেকে k² = L²/3 আসে। উভয়দিকে বর্গমূল করলে চক্রগতির ব্যাসার্ধ k = L/√3 পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) আবর্ত গতিশক্তি

রৈখিক গতির ক্ষেত্রে প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃতকার্য যেমন বস্তুর রৈখিক গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান হয়, ঠিক তেমনি আবর্ত গতির ক্ষেত্রে প্রযুক্ত লব্ধি টর্ক দ্বারা সম্পন্ন কার্যের পরিমাণ ঘূর্ণায়মান বস্তুটির আবর্ত গতিশক্তির পরিবর্তনের ঠিক সমান হয়। এটি পদার্থবিজ্ঞানের অত্যন্ত সুপ্রতিষ্ঠিত একটি গাণিতিক উপপাদ্য।

সঠিক উত্তর: (গ) জড়তা ভ্রামক কমানোর জন্য, যাতে কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়

শূন্যে ভাসমান অবস্থায় জিমন্যাস্টের ওপর কোনো বাহ্যিক টর্ক কাজ করে না, তাই তার কৌণিক ভরবেগ ধ্রুবক থাকে। শরীর গুটিয়ে নিলে তার ভরের বণ্টন ঘূর্ণন অক্ষের কাছাকাছি চলে আসে এবং জড়তা ভ্রামক কমে যায়। কৌণিক ভরবেগের মান ধ্রুবক রাখতে গিয়ে স্বয়ংক্রিয়ভাবেই তার ঘোরার বেগ বা কৌণিক বেগ অনেক বেড়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) ফাঁপা গোলকের

জড়তা ভ্রামক ভরের বণ্টনের ওপর নির্ভর করে। নিরেট গোলকের ভর কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠ পর্যন্ত সব জায়গায় ছড়ানো থাকে। অন্যদিকে ফাঁপা গোলকের সমস্ত ভর তার বাইরের পৃষ্ঠে অবস্থান করে, ফলে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে তার ভরের গড় দূরত্ব অনেক বেশি হয়। এই কারণেই ফাঁপা গোলকের জড়তা ভ্রামক বেশি হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 0 (শূন্য)

বিশুদ্ধ গড়িয়ে চলার প্রধান শর্তই হলো বস্তুটি তলের ওপর একটুও পিছলে যাবে না। এই অবস্থায় বস্তুর ভরকেন্দ্রের সামনের দিকের রৈখিক বেগ এবং ঘূর্ণনের কারণে স্পর্শবিন্দুর পেছনের দিকের রৈখিক বেগ মানে একদম সমান ও দিক বিপরীতমুখী হয়। ফলে ওই নির্দিষ্ট মুহূর্তের জন্য স্পর্শবিন্দুর মোট লব্ধি বেগ সম্পূর্ণ শূন্য হয়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম

কৌণিক ভরবেগ হলো অবস্থান ভেক্টর এবং রৈখিক ভরবেগ ভেক্টরের ক্রস গুণফল। ভেক্টর বীজগণিতে যেকোনো ক্রস গুণফলের লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্ণয় করার জন্য ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম বা ডান হাতের মুষ্টি নিয়ম ব্যবহার করা হয়। এটি সর্বদা ঘূর্ণন তলের সাথে লম্বভাবে ক্রিয়া করে।

সঠিক উত্তর: (গ) (m₁r₁ + m₂r₂) / (m₁ + m₂)

একটি বহুকণা তন্ত্রের ভরকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করার এটিই মৌলিক গাণিতিক সূত্র। প্রতিটি কণার ভরকে তার নিজস্ব অবস্থান ভেক্টর দিয়ে গুণ করে সেই গুণফলগুলোকে যোগ করতে হয় এবং শেষে সেই যোগফলকে সিস্টেমের মোট ভর দিয়ে ভাগ করলেই ভরকেন্দ্রের সঠিক অবস্থান ভেক্টর পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) 0 (শূন্য) হবে

টর্ক সৃষ্টি করার জন্য বলের ক্রিয়া রেখাকে ঘূর্ণন অক্ষের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণে (বিশেষত লম্বভাবে) থাকতে হয়। যদি বল সরাসরি ঘূর্ণন অক্ষের সমান্তরালে প্রয়োগ করা হয়, তবে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে সেই বলের কার্যকর লম্ব দূরত্ব শূন্য হয়ে যায়। ফলে কোনো টর্ক উৎপন্ন হয় না এবং বস্তুটি ঘোরে না।

সঠিক উত্তর: (গ) 2I

লম্ব অক্ষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে এটি সহজে নির্ণয় করা যায়। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, তলের ওপর অবস্থিত দুটি লম্ব ব্যাসের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের যোগফল লম্ব অক্ষের জড়তা ভ্রামকের সমান। প্রতিসাম্যের কারণে দুটি ব্যাসের সাপেক্ষেই জড়তা ভ্রামক I হয়। তাই কেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হবে I + I = 2I।

সঠিক উত্তর: (খ) 4π

আমরা জানি 1 বার পূর্ণ আবর্তনের অর্থ হলো 2π রেডিয়ান কোণ অতিক্রম করা। চাকাটি প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরছে, অর্থাৎ 60 সেকেন্ডে 120 × 2π রেডিয়ান কোণ অতিক্রম করছে। সুতরাং, প্রতি সেকেন্ডে কোণ অতিক্রমের হার বা কৌণিক বেগ হবে (120 × 2π) / 60 = 4π রেডিয়ান/সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) কৌণিক ভরবেগ

ঘূর্ণন অক্ষ থেকে কণার লম্ব দূরত্ব এবং তার রৈখিক ভরবেগের ভেক্টর গুণফলকেই রৈখিক ভরবেগের ভ্রামক বলা হয়। পদার্থবিদ্যায় এই বিশেষ ভৌত রাশিটিকেই আবর্ত গতির ক্ষেত্রে ‘কৌণিক ভরবেগ’ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি ঘূর্ণায়মান বস্তুর গতি বর্ণনার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 7

বিশুদ্ধ গড়িয়ে চলার সময় একটি নিরেট গোলকের আবর্ত গতিশক্তি হয় 1/5 mv² এবং রৈখিক গতিশক্তি হয় 1/2 mv²। এই দুটি যোগ করলে মোট গতিশক্তি পাওয়া যায় 7/10 mv²। সুতরাং, আবর্ত গতিশক্তি এবং মোট গতিশক্তির অনুপাত নির্ণয় করলে দাঁড়ায় (1/5) / (7/10) = 2/7।

সঠিক উত্তর: (গ) Mh²

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য অনুযায়ী, যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক তার সমান্তরাল ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের জড়তা ভ্রামক এবং Mh² এর যোগফলের সমান হয়। গাণিতিকভাবে, I = I_c + Mh²। সুতরাং, অক্ষ দুটির সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের বিয়োগফল বা পার্থক্য সরাসরি Mh² এর সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (ঘ) কৌণিক ভরবেগ

সূর্য পৃথিবীর ওপর যে মহাকর্ষ বল প্রয়োগ করে তা সর্বদা কেন্দ্রাভিমুখী হয়। কেন্দ্রাভিমুখী বলের ক্রিয়া রেখা ঘূর্ণন অক্ষ দিয়েই অতিক্রম করায় এর দরুন সৃষ্ট টর্কের মান শূন্য হয়। আর বাহ্যিক টর্ক শূন্য হওয়ার কারণে কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী পৃথিবীর কৌণিক ভরবেগ সর্বদা ধ্রুবক থাকে।

সঠিক উত্তর: (ক) নিরেট গোলকের

গড়িয়ে পড়ার ত্বরণের সূত্র অনুযায়ী, যার জড়তা ভ্রামক কম তার ত্বরণ বেশি হয়। নিরেট গোলকের ভর তার কেন্দ্রের খুব কাছাকাছি বিন্যস্ত থাকে, ফলে তার জড়তা ভ্রামক ফাঁপা গোলকের চেয়ে কম হয়। এর ফলস্বরূপ, আনত তল বেয়ে পড়ার সময় নিরেট গোলকটি বেশি ত্বরণ লাভ করে এবং দ্রুত নিচে পৌঁছায়।

সঠিক উত্তর: (ক) 0 (শূন্য)

বস্তু দুটি স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করেছিল, তাই তাদের ভরকেন্দ্রের প্রাথমিক বেগ শূন্য ছিল। তাদের মধ্যকার মহাকর্ষ বল একটি অভ্যন্তরীণ বল। যেহেতু বাইরে থেকে কোনো লব্ধি বল প্রয়োগ করা হচ্ছে না, তাই ভরকেন্দ্রের ত্বরণ শূন্য হবে এবং ভরকেন্দ্র চিরকাল তার প্রাথমিক স্থির অবস্থাতেই থেকে যাবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 20 N·m

আবর্ত গতিবিদ্যার মূল সমীকরণ টর্ক = জড়তা ভ্রামক × কৌণিক ত্বরণ। এখানে জড়তা ভ্রামক 2 এবং কৌণিক ত্বরণ 10 দেওয়া আছে। এদের সরাসরি গুণ করলেই প্রয়োজনীয় টর্ক পাওয়া যায় 2 × 10 = 20 N·m।

সঠিক উত্তর: (গ) 5000 W

ঘূর্ণায়মান যন্ত্রের ক্ষমতা নির্ণয় করা হয় টর্ক এবং কৌণিক বেগের গুণফল দিয়ে। সমীকরণটি হলো ক্ষমতা = টর্ক × কৌণিক বেগ। মানগুলো বসালে ক্ষমতা পাওয়া যায় 50 × 100 = 5000 ওয়াট বা 5 কিলোওয়াট।

সঠিক উত্তর: (ক) mvr

কৌণিক ভরবেগ হলো অবস্থান ভেক্টর এবং রৈখিক ভরবেগের ক্রস গুণফল। বৃত্তাকার পথে কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং বেগের দিক পরস্পরের লম্ব হয় (90 ডিগ্রি)। তাই মান নির্ণয়ের সময় sin 90 ডিগ্রির মান 1 হয়ে যায় এবং কৌণিক ভরবেগ দাঁড়ায় ব্যাসার্ধ × ভর × বেগ অর্থাৎ mvr।

সঠিক উত্তর: (গ) π / 1800 rad/s

ঘড়ির মিনিটের কাঁটা একবার পূর্ণ আবর্তন সম্পন্ন করতে 60 মিনিট বা 3600 সেকেন্ড সময় নেয়, এটিই তার পর্যায়কাল। কৌণিক বেগের সূত্র 2π / পর্যায়কাল ব্যবহার করলে পাওয়া যায় 2π / 3600, যা কাটাকাটি করলে π / 1800 rad/s হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) R / √2

নিরেট চোঙের নিজস্ব প্রতিসাম্য অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হয় MR² / 2। একে চক্রগতির ব্যাসার্ধের মূল সমীকরণ Mk² এর সাথে তুলনা করলে দাঁড়ায় Mk² = MR² / 2। ভর বাতিল করে বর্গমূল করলে চক্রগতির ব্যাসার্ধ k = R / √2 পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) লব্ধি বল এবং লব্ধি টর্ক উভয়ই শূন্য হতে হবে

একটি দৃঢ় বস্তু রৈখিক এবং আবর্ত— এই দুই প্রকার গতিতেই থাকতে পারে। বস্তুটিকে সম্পূর্ণভাবে স্থির বা সাম্যাবস্থায় থাকতে হলে তার ওপর ক্রিয়াশীল সমস্ত বলের লব্ধি শূন্য হতে হবে (যাতে রৈখিক গতি সৃষ্টি না হয়) এবং একইসঙ্গে সমস্ত টর্কের লব্ধিও শূন্য হতে হবে (যাতে ঘূর্ণন গতি সৃষ্টি না হয়)।

সঠিক উত্তর: (গ) 50 J

আবর্ত গতিতে কৃতকার্য নির্ণয় করা হয় টর্ক এবং কৌণিক সরণের সরাসরি গুণফল দিয়ে। সমীকরণটি হলো কৃতকার্য = টর্ক × কৌণিক সরণ। এখানে টর্ক 10 এবং সরণ 5 দেওয়া আছে। তাই কৃতকার্য হবে 10 × 5 = 50 জুল।

সঠিক উত্তর: (ক) M(L² + B²) / 12

লম্ব অক্ষ উপপাদ্য অনুযায়ী, আয়তাকার পাতের তলে থাকা দুটি লম্ব অক্ষের (যাদের জড়তা ভ্রামক যথাক্রমে ML²/12 এবং MB²/12) যোগফলই হলো তলের ওপর লম্ব অক্ষের জড়তা ভ্রামক। এই দুটি যোগ করলে M(L² + B²) / 12 সমীকরণটি পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 0 (শূন্য)

বিশুদ্ধভাবে গড়িয়ে চলার সময় বস্তুর যে বিন্দুটি তলের সংস্পর্শে থাকে, সেই বিন্দুটির তাৎক্ষণিক বেগ শূন্য হয়। যেহেতু সংস্পর্শ বিন্দুটির কোনো আপেক্ষিক সরণ ঘটছে না, তাই ওই নির্দিষ্ট বিন্দুতে ক্রিয়াশীল ঘর্ষণ বল কোনো কার্য সম্পন্ন করতে পারে না। ফলে কৃতকার্যের মান শূন্য হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বল উভয়ের ধারক তলের ওপর লম্বদিকে

টর্ক হলো অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ক্রস গুণফল। যেকোনো দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের লব্ধি এমন একটি ভেক্টর হয়, যা মূল ভেক্টর দুটির দ্বারা গঠিত তলের সাথে সম্পূর্ণ লম্বভাবে অবস্থান করে। ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম দিয়ে এই লম্ব দিকটি সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 2 m

ভরকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে পাই, প্রথম বস্তু থেকে দূরত্ব = (দ্বিতীয় বস্তুর ভর × মোট দূরত্ব) / মোট ভর। সুতরাং দূরত্ব = (20 × 3) / (10 + 20) = 60 / 30 = 2 m। অর্থাৎ ভরকেন্দ্রটি ভারী বস্তুর (20 kg) কাছাকাছি থাকবে।

সঠিক উত্তর: (খ) কৌণিক ভরবেগ

এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র। যদি কোনো ঘূরন্ত সিস্টেমের ওপর বাইরের থেকে কোনো টর্ক প্রয়োগ না করা হয়, তবে তার সামগ্রিক কৌণিক ভরবেগের কোনো পরিবর্তন ঘটে না।

সঠিক উত্তর: (গ) ভর

রৈখিক গতির ক্ষেত্রে বস্তুর ভর যেমন গতির পরিবর্তনে বাধা দেয় (জাড্য), আবর্ত গতির ক্ষেত্রে ঠিক একইভাবে জড়তা ভ্রামক বস্তুর ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনে বাধা দেয়। তাই আবর্ত গতিতে জড়তা ভ্রামকই হলো ভরের সমতুল্য ভৌত রাশি।

সঠিক উত্তর: (ক) 50 J

আবর্ত গতির ক্ষেত্রে কৃতকার্যের পরিমাণ নির্ণয় করা হয় প্রযুক্ত টর্ক এবং কৌণিক সরণের গুণফল থেকে। এখানে টর্ক 5 এবং কৌণিক সরণ 10 হওয়ায়, কৃতকার্য হবে 5 × 10 = 50 জুল।

সঠিক উত্তর: (খ) √(2EI)

আবর্ত গতিশক্তির সমীকরণ E = L² / 2I, যেখানে L হলো কৌণিক ভরবেগ। এই সমীকরণ থেকে L² = 2EI পাওয়া যায়। উভয়দিকে বর্গমূল করলে কৌণিক ভরবেগ L = √(2EI) নির্ণয় করা সম্ভব হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য

দ্বিমাত্রিক বা সমতলীয় পাতের ক্ষেত্রে লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি খুবই কার্যকর। এর সাহায্যে নিজস্ব তলে থাকা দুটি লম্ব অক্ষের জড়তা ভ্রামক যোগ করে খুব সহজেই তলের ওপর লম্ব তৃতীয় অক্ষটির সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক নির্ণয় করা যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) I₀ + Mh²

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য অনুযায়ী, যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হবে ভরকেন্দ্রগামী সমান্তরাল অক্ষের জড়তা ভ্রামক এবং বস্তুর মোট ভর ও দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি।

সঠিক উত্তর: (গ) 2/3 অংশ

নিরেট চোঙের জড়তা ভ্রামক 1/2 MR²। এর আবর্ত গতিশক্তি হয় 1/4 Mv² এবং রৈখিক গতিশক্তি 1/2 Mv²। দুটি যোগ করলে মোট গতিশক্তি পাওয়া যায় 3/4 Mv²। সুতরাং মোট গতিশক্তির সাপেক্ষে রৈখিক গতিশক্তির অনুপাত নির্ণয় করলে (1/2) / (3/4) = 2/3 অংশ পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) ক্ষমতা

রৈখিক গতিতে বল এবং বেগের গুণফল যেমন ক্ষমতা নির্দেশ করে, ঠিক তেমনি আবর্ত গতিতে টর্ক এবং কৌণিক বেগের গুণফল যন্ত্রের ক্ষমতাকে প্রকাশ করে। মোটর বা ইঞ্জিনের ক্ষমতা এই সূত্র ব্যবহার করেই হিসাব করা হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) নিরেট গোলকের, কারণ এর জড়তা ভ্রামক কম

গড়িয়ে পড়ার ক্ষেত্রে যার জড়তা ভ্রামক যত কম হয়, তার রৈখিক ত্বরণ ও বেগ তত বেশি হয়। নিরেট গোলকের ভর তার কেন্দ্রের কাছে থাকায় এর জড়তা ভ্রামক ফাঁপা গোলকের চেয়ে কম হয়। তাই নিরেট গোলকটি অধিক বেগে নিচে নেমে আসে।

সঠিক উত্তর: (গ) দৈর্ঘ্য

চক্রগতির ব্যাসার্ধ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে একটি লম্ব দূরত্ব। যেহেতু এটি একটি রৈখিক দূরত্বকে প্রকাশ করে, তাই এর মাত্রা দৈর্ঘ্যের মাত্রার [L] সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 8 N·m

আবর্ত গতির মূল সমীকরণ অনুযায়ী, টর্ক = জড়তা ভ্রামক × কৌণিক ত্বরণ। এখানে মানগুলো গুণ করলে পাওয়া যায় 2 × 4 = 8 N·m।

সঠিক উত্তর: (ক) dL / dt

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী লব্ধি বল হলো ভরবেগের প্রথম অবকলজ বা dP/dt। আবর্ত গতির ক্ষেত্রে এর সমতুল্য সম্পর্ক হলো টর্ক, যা কৌণিক ভরবেগের সময়ের সাপেক্ষে প্রথম অবকলজ অর্থাৎ dL/dt এর সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 2/5 MR²

নিরেট গোলকের ভর সমগ্র আয়তন জুড়ে সুষমভাবে বন্টিত থাকে। সমাকলনের সাহায্যে নির্ণয় করলে এর যেকোনো ব্যাসের বা কেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের নির্দিষ্ট মান 2/5 MR² পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) লব্ধি বল এবং লব্ধি টর্ক উভয়ই একসাথে শূন্য হতে হবে

যেকোনো দৃঢ় বস্তুর ক্ষেত্রে রৈখিক ও আবর্ত— উভয় গতিই একসাথে থাকতে পারে। বস্তুটিকে সম্পূর্ণ স্থির ও যান্ত্রিক সাম্যাবস্থায় থাকতে হলে তার ওপর ক্রিয়াশীল রৈখিক গতির নিয়ামক ‘বল’ এবং আবর্ত গতির নিয়ামক ‘টর্ক’ উভয়েরই মোট লব্ধি মান অবশ্যই শূন্য হতে হবে।