সঠিক উত্তর: (ক) 2 : 3

এখানে, সস্তা চাল ($C$) = 15, দামি চাল ($D$) = 20, গড় মূল্য ($M$) = 18।
অ্যালিগেশনের সূত্রানুযায়ী অনুপাত = $(20 – 18) : (18 – 15)$
$= 2 : 3$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 3

প্রথম দ্রবণ = 25%, দ্বিতীয় দ্রবণ = 50%, মিশ্রণ = 40%।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ করে পাই:
$(50 – 40) : (40 – 25) = 10 : 15 = 2 : 3$।

সঠিক উত্তর: (গ) 36 টাকা

ধরি, মিশ্রণের গড় মূল্য = $M$ টাকা।
শর্তমতে, $\frac{40 – M}{M – 30} = \frac{2}{3} \implies 3(40 – M) = 2(M – 30)$
$\implies 120 – 3M = 2M – 60 \implies 5M = 180 \implies M = 36$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 7 : 2

যেকোনো একটি উপাদান (ধরি দুধ) এর ভগ্নাংশ নিয়ে অ্যালিগেশন করি:
১ম পাত্রে দুধ = $\frac{5}{7}$, ২য় পাত্রে দুধ = $\frac{8}{13}$, মিশ্রণে দুধ = $\frac{9}{13}$।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ করে পাই:
$\left(\frac{9}{13} – \frac{8}{13}\right) : \left(\frac{5}{7} – \frac{9}{13}\right) = \frac{1}{13} : \left(\frac{65 – 63}{91}\right)$
$= \frac{1}{13} : \frac{2}{91} = 1 : \frac{2}{7} = 7 : 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1

প্রথমে মিশ্রণের ক্রয়মূল্য বের করতে হবে কারণ উপাদান দুটির ক্রয়মূল্য দেওয়া আছে।
বিক্রয়মূল্য = 84 টাকা, লাভ = 20% $\implies$ ক্রয়মূল্য = $84 \times \frac{100}{120} = 70$ টাকা।
এবার অ্যালিগেশন করি: সস্তা = 60, দামি = 88, গড় ক্রয়মূল্য = 70।
অনুপাত = $(88 – 70) : (70 – 60) = 18 : 10 = 9 : 5$ (টাইপিং ডেটার পার্থক্যে সঠিক সমীকরণ অনুপাত হবে 9 : 5, অপশনে নিকটবর্তী বা সংশোধিত সংখ্যা 2 : 1 হতে পারে যদি দামি চা 90 টাকা হতো। বর্তমান নিয়মে 9 : 5 সঠিক।)

সঠিক উত্তর: (খ) 5 লিটার

অ্যালিগেশন পদ্ধতি (জলের ওপর ভিত্তি করে):
বর্তমান মিশ্রণে জল = 10%, খাঁটি জল যা যোগ করা হবে = 100%, নতুন মিশ্রণে জল = 20%।
অনুপাত = $(100 – 20) : (20 – 10) = 80 : 10 = 8 : 1$।
শর্তমতে, 8 অংশ = 40 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 5 লিটার।
অতএব অতিরিক্ত 5 লিটার জল মেশাতে হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1

সস্তা = 24, দামি = 36, গড় = 28।
cross-বিয়োগ: $(36 – 28) : (28 – 24) = 8 : 4 = 2 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 64%

সূত্র: $\text{অবশিষ্ট উপাদান} = \text{প্রাথমিক পরিমাণ} \times \left(1 – \frac{x}{V}\right)^n$
এখানে প্রাথমিক পরিমাণ = 100%, তুলে নেওয়া অংশ $\frac{x}{V} = 20\% = \frac{1}{5}$ এবং বার সংখ্যা $n = 2$।
অবশিষ্ট দুধ = $100 \times \left(1 – \frac{1}{5}\right)^2 = 100 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 100 \times \frac{16}{25} = 64\%$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 কেজি

প্রাথমিক অনুপাত = 5 : 2 $\implies$ মোট অংশ = $5 + 2 = 7$ অংশ।
7 অংশ = 14 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 2 কেজি।
নতুন অনুপাত = 5 : 3। তামার অংশ (5) অপরিবর্তিত আছে, শুধু দস্তার অংশ 2 থেকে বেড়ে 3 হয়েছে (বৃদ্ধি = 1 অংশ)।
সুতরাং অতিরিক্ত দস্তা মেশাতে হবে = $1 \times 2 = 2$ কেজি।

সঠিক উত্তর: (ক) 3 : 1

খাঁটি দুধ = 40, জল = 0, মিশ্রণ = 30।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ: $(\text{দুধ}) : (\text{জল}) = (30 – 0) : (40 – 30) = 30 : 10 = 3 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 7 : 5

দুধের ভগ্নাংশ নিয়ে পাই: ১ম পাত্র = $\frac{4}{7}$, ২য় পাত্র = $\frac{2}{5}$, মিশ্রণ = $\frac{1}{2}$।
cross-বিয়োগ: $\left(\frac{1}{2} – \frac{2}{5}\right) : \left(\frac{4}{7} – \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{10} : \frac{1}{14} = 14 : 10 = 7 : 5$ (দুঃখিত, ভগ্নাংশের সাধারণ অনুপাতে $\frac{1}{10} : \frac{1}{14} = 14 : 10 = 7 : 5$ হয়। অপশন ক সঠিক)।

সঠিক অপশন: (ক) 7 : 5

সঠিক উত্তর: (গ) 20 লিটার

জল বাষ্পীভূত হলেও লবণের নিজস্ব পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে।
শুরুতে লবণের পরিমাণ = $30 \times 5\% = 1.5$ লিটার।
ধরি নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = $V$ লিটার।
শর্তমতে, $V \times 15\% = 1.5 \implies V \times \frac{15}{100} = 1.5 \implies V = 10$ লিটার।
বাষ্পীভূত জলের পরিমাণ = $30 – 10 = 20$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 3 : 2 (অপশন ক)

লাভকে ধনাত্মক ($+15$) এবং ক্ষতিকে ঋণাত্মক ($-10$) ধরে মিশ্রণ বা গড় লাভ $= +5$।
cross-বিয়োগ: $[5 – (-10)] : (15 – 5) = 15 : 10 = 3 : 2$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ

শর্টকাট ট্রিক: $\text{তুলে নেওয়া অংশ} = \frac{\text{অনুপাতের পার্থক্য}}{2 \times \text{বৃহত্তম অনুপাত অংশ}}$ (যখন নতুন অনুপাত 1:1 হয়)।
এখানে তফাত = $3 – 1 = 2$। বৃহত্তম পদ = 3।
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{2}{2 \times 3} = \frac{1}{3}$ অংশ।

সঠিক উত্তর: (ক) 3 : 2

সস্তা = 10, দামি = 15, গড় = 12।
cross-বিয়োগ: $(15 – 12) : (12 – 10) = 3 : 2$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1

দুধের ভগ্নাংশ নিয়ে অ্যালিগেশন করি:
১ম পাত্র = $\frac{3}{4}$, ২য় পাত্র = $\frac{5}{8}$, নতুন মিশ্রণ = $\frac{2}{3}$।
হরগুলির (4, 8, 3) ল.সা.গু = 24। সবকটিকে 24 দিয়ে গুণ করলে মান হয়:
১ম পাত্র = $18$, ২য় পাত্র = $15$, নতুন মিশ্রণ = $16$।
এবার সরল অ্যালিগেশন: $(16 – 15) : (18 – 16) = 1 : 2$ (দুঃখিত, গণনা অনুযায়ী $1:2$ আসে। অপশন ক সঠিক)।

সঠিক অপশন: (ক) 1 : 2

সঠিক উত্তর: (ক) 3 : 5

দামি গম ($D$) = 32, সস্তা গম ($C$) = 24, গড় মূল্য ($M$) = 27।
অনুপাত = $(27 – 24) : (32 – 27) = 3 : 5$।

সঠিক উত্তর: (ক) 58.32 লিটার

মোট প্রক্রিয়া সংখ্যা $n = 1 + 2 = 3$ বার।
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{8}{80} = \frac{1}{10}$।
অবশিষ্ট দুধ = $80 \times \left(1 – \frac{1}{10}\right)^3 = 80 \times \left(\frac{9}{10}\right)^3 = 80 \times \frac{729}{1000} = \frac{58320}{1000} = 58.32$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (ক) 4 : 1

4 লিটার মিশ্রণ তুলে নেওয়ার পর অবশিষ্ট থাকে = $20 – 4 = 16$ লিটার।
এই 16 লিটারে দুধ = $16 \times \frac{3}{4} = 12$ লিটার, জল = 4 লিটার।
এখন 4 লিটার খাঁটি দুধ যোগ করলে মোট দুধ হয় = $12 + 4 = 16$ লিটার। জল অপরিবর্তিত (4 লিটার) থাকে।
নতুন অনুপাত = 16 : 4 = 4 : 1।

সঠিক উত্তর: (গ) 78 টাকা

গড় মূল্য $M = \frac{(60 \times 2) + (90 \times 3)}{2 + 3} = \frac{120 + 270}{5} = \frac{390}{5} = 78$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1

প্রথম মিশ্রণ = 30%, জল = 0%, প্রদেয় গড় = 20%।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ: $(20 – 0) : (30 – 20) = 20 : 10 = 2 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 16.66%

15 লিটার মিশ্রণে অ্যালকোহল আছে = $15 \times \frac{1}{5} = 3$ লিটার।
3 লিটার জল যোগ করায় নতুন মোট মিশ্রণ হয় = $15 + 3 = 18$ লিটার।
নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা হার = $\frac{3}{18} \times 100\% = \frac{100}{6}\% = 16.66\%$।

সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 1

টিনের ভগ্নাংশ নিয়ে পাই: ১ম প্রকার = $\frac{3}{10}$, ২য় প্রকার = $\frac{2}{10}$, মিশ্রণ = $\frac{1}{4}$।
সবকটিকে হরগুলোর ল.সা.গু 20 দিয়ে গুণ করলে মান দাঁড়ায়: ১ম = 6, ২য় = 4, মিশ্রণ = 5।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ: $(5 – 4) : (6 – 5) = 1 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 800 টাকা

সমগ্র মূলধনের ওপর গড় সুদের হার = $\frac{92 \times 100}{2000} = 4.6\%$।
অ্যালিগেশন পদ্ধতি প্রয়োগ করে: $(5 – 4.6) : (4.6 – 4) = 0.4 : 0.6 = 2 : 3$।
4% হারে ধার দেওয়া অর্থের পরিমাণ = $2000 \times \frac{2}{5} = 800$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 3

১ম রস = 15%, ২য় রস = 40%, গড় মিশ্রণ = 30%।
cross-বিয়োগ: $(40 – 30) : (30 – 15) = 10 : 15 = 2 : 3$।

সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{3}{8}$ অংশ

শর্টকাট সূত্র (যখন শেষ অনুপাত 1:1 হয়): $\text{তুলে নেওয়া অংশ} = \frac{\text{পার্থক্য}}{2 \times \text{বৃহত্তম অংশ}}$
এখানে পার্থক্য = $4 – 1 = 3$, বৃহত্তম অংশ = 4।
প্রয়োজনীয় অংশ = $\frac{3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$ অংশ।

সঠিক উত্তর: (খ) 3 কেজি

মোট অংশ = $5 + 3 = 8$ অংশ। 8 অংশ = 24 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 3 কেজি।
নতুন অনুপাত 5 : 4 এ জিংকের অংশ অপরিবর্তিত আছে, কপার 3 থেকে বেড়ে 4 হয়েছে (বৃদ্ধি = 1 অংশ)।
সুতরাং প্রয়োজনীয় কপার = $1 \times 3 = 3$ কেজি।

সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 3

১ম মিশ্রণ = 20%, ২য় মিশ্রণ = 60%, গড় = 50%।
cross-বিয়োগ: $(60 – 50) : (50 – 20) = 10 : 30 = 1 : 3$।

সঠিক উত্তর: (গ) 30 লিটার

অ্যালিগেশন ট্রিক: বর্তমান অ্যাসিড = 20%, খাঁটি অ্যাসিড = 100%, লক্ষ্য = 50%।
অনুপাত = $(100 – 50) : (50 – 20) = 50 : 30 = 5 : 3$।
শর্তমতে, 5 অংশ = 50 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 10 লিটার।
যোগ করতে হবে (3 অংশ) = $3 \times 10 = 30$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 7 : 9 (সংশোধিত গণনা অনুপাত অনুযায়ী অপশন ক)

স্পিরিটের ভগ্নাংশ নিয়ে পাই: ১ম = $\frac{5}{7}$, ২য় = $\frac{7}{13}$, মিশ্রণ = $\frac{8}{13}$।
হরগুলির ল.সা.গু 91 দিয়ে গুণ করলে: ১ম = 65, ২য় = 49, মিশ্রণ = 56।
cross-বিয়োগ: $(56 – 49) : (65 – 56) = 7 : 9$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 কেজি

ক্রয়মূল্যে বিক্রি করে লাভের অর্থ হলো— যতটুকু লাভ হচ্ছে, তা সম্পূর্ণই যোগ করা জলের পরিমাণের সমান।
দুধ : জল = 100 : 10 = 10 : 1।
শর্তমতে, 10 অংশ = 50 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 5 কেজি।
অতএব, জল মেশাতে হবে 5 কেজি।

সঠিক উত্তর: (গ) 600 কেজি

অ্যালিগেশন রুল প্রয়োগ করে:
(8% লাভের অংশ) : (18% লাভের অংশ) = $(18 – 14) : (14 – 8) = 4 : 6 = 2 : 3$।
মোট অনুপাত = $2 + 3 = 5$ অংশ।
5 অংশ = 1000 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 200 কেজি।
18% লাভে বিক্রি করা চিনির পরিমাণ (3 অংশ) = $3 \times 200 = 600$ কেজি।

সঠিক উত্তর: (ক) 5 : 1

তরল = 24, জল = 0, মিশ্রণের মূল্য = 20।
অ্যালিগেশন বিয়োগ করে পাই: $(\text{তরল}) : (\text{জল}) = (20 – 0) : (24 – 20) = 20 : 4 = 5 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) 29 : 41

১ম পাত্রের মোট অংশ = $2 + 3 = 5$, ২য় পাত্রের মোট অংশ = $3 + 4 = 7$।
যেহেতু সমপরিমাণ মিশ্রণ বলা হয়েছে, তাই 5 এবং 7-এর ল.সা.গু = 35 একক ধরে নিই।
১ম পাত্রে অম্ল = $35 \times \frac{2}{5} = 14$, জল = 21।
২য় পাত্রে অম্ল = $35 \times \frac{3}{7} = 15$, জল = 20।
মোট অম্ল = $14 + 15 = 29$, মোট জল = $21 + 20 = 41$।
নতুন অনুপাত = 29 : 41।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 লিটার

60 লিটার মিশ্রণে সিরাপ = $60 \times \frac{2}{3} = 40$ লিটার, জল = 20 লিটার।
নতুন অনুপাতে সিরাপ ও জলের অনুপাত = 1 : 2। যেহেতু সিরাপের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে (40 লিটার),
তাই নতুন অনুপাতে 1 অংশ = 40 লিটার হলে, জলের পরিমাণ (2 অংশ) হতে হবে = $40 \times 2 = 80$ লিটার।
অতিরিক্ত জল যোগ করতে হবে = $80 – 20 = 60$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 5

মিশ্রণের বিক্রয়মূল্য = 324 টাকা, লাভ = 20%।
গড় ক্রয়মূল্য = $324 \times \frac{100}{120} = 270$ টাকা।
এবার অ্যালিগেশন রুল প্রয়োগ করি: দার্জিলিং = 320, আসাম = 250, গড় = 270।
অনুপাত = $(270 – 250) : (320 – 270) = 20 : 50 = 2 : 5$।

সঠিক উত্তর: (খ) 30 কেজি

মোট অনুপাত পদগুলির সমষ্টি = $5 + 3 + 2 = 10$।
দস্তার পরিমাণ = $100 \times \frac{3}{10} = 30$ কেজি।

সঠিক উত্তর: (ক) 729 : 271

ধরি, প্রাথমিক খাঁটি দুধ = 1 অংশ। 10% তুলে নেওয়া মানে বাকি থাকে $\frac{9}{10}$ অংশ।
৩ বার করার পর দুধের অবশিষ্ট অংশ = $\left(\frac{9}{10}\right)^3 = \frac{729}{1000}$ অংশ।
মোট মিশ্রণ যদি 1000 হয়, তবে দুধ = 729 এবং বাকি অংশ জল = $1000 – 729 = 271$।
অনুপাত = 729 : 271।

সঠিক উত্তর: (খ) 120 লিটার

ধরি, প্রাথমিক মিশ্রণ = $X$ লিটার। লবণের পরিমাণ ধ্রুবক থাকে।
$X \times 15\% = (X – 30) \times 20\% \implies 15X = 20X – 600$
$\implies 5X = 600 \implies X = 120$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 5

দুধের ভগ্নাংশ নিয়ে পাই: ১ম পাত্র = $\frac{4}{9}$, ২য় পাত্র = $\frac{5}{6}$, মিশ্রণ = $\frac{5}{9}$।
হরগুলির ল.সা.গু 18 দিয়ে গুণ করলে মান হয়: ১ম = 8, ২য় = 15, মিশ্রণ = 10।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ: $(15 – 10) : (10 – 8) = 5 : 2$ (গণনা অনুযায়ী অনুপাত $5:2$ হবে, অপশন ক সঠিক)।

সঠিক অপশন: (ক) 5 : 2

সঠিক উত্তর: (ক) 4 : 1

ক্রয়মূল্যে বিক্রির ক্ষেত্রে, $(\text{মূল উপাদান}) : (\text{জল}) = 100 : \text{লাভের হার}$
$= 100 : 25 = 4 : 1$।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{10}$ অংশ

প্রাথমিক অনুপাত = 5 : 1 (যোগফল 6), চূড়ান্ত অনুপাত = 3 : 1 (যোগফল 4)। অ্যাসিডের অংশ ধ্রুবক রাখতে অনুপাত দুটিকে সমতা করি।
6 ও 4-এর ল.সা.গু = 12। ১ম অনুপাত $\times 2 = 10 : 2$; ২য় অনুপাত $\times 3 = 9 : 3$।
অ্যাসিডের হ্রাস = $10 – 9 = 1$ অংশ। তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{\text{হ্রাস}}{\text{প্রাথমিক অংশ}} = \frac{1}{10}$ অংশ।

সঠিক উত্তর: (খ) 30 কেজি

মিশ্রণের গড় ক্রয়মূল্য = $42 \times \frac{100}{120} = 35$ টাকা।
অ্যালিগেশন রুল: $(40 – 35) : (35 – 30) = 5 : 5 = 1 : 1$।
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই সস্তা চিনির পরিমাণও দামি চিনির সমান অর্থাৎ 30 কেজি হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণ = 12%, জল = 0%, প্রদেয় লক্ষ্য = 9%।
অ্যালিগেশন অনুপাত = $(9 – 0) : (12 – 9) = 9 : 3 = 3 : 1$।
শর্তমতে, 3 অংশ = 15 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 5 লিটার।
যোগ করা জলের পরিমাণ = 5 লিটার।

সঠিক উত্তর: (ঘ) এই রূপ মিশ্রণ তৈরি করা সম্ভব নয়

দুধের ভগ্নাংশ যাচাই করি: ১ম পাত্র = $\frac{1}{3} \approx 0.33$, ২য় পাত্র = $\frac{2}{7} \approx 0.28$, কাঙ্ক্ষিত মিশ্রণ = $\frac{1}{5} = 0.20$।
যেহেতু কাঙ্ক্ষিত মান (0.20) উপাদান দুটির মানের বাইরে ($0.20 < 0.28 < 0.33$), তাই অ্যালিগেশনের মৌলিক নিয়ম অনুসারে এই রূপ কোনো মিশ্রণ তৈরি করা বাস্তবসম্মতভাবে সম্ভব নয়।