সঠিক উত্তর: (খ) নির্দেশতন্ত্র (Frame of reference)

মহাবিশ্বে পরম স্থির বলে কিছু নেই, সবকিছুই আপেক্ষিক। তাই কোনো বস্তুর গতি বোঝানোর জন্য একটি নির্দিষ্ট বস্তুকে স্থির ধরে নিতে হয়, তাকেই নির্দেশতন্ত্র বলে।

সঠিক উত্তর: (গ) জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্রে (Inertial frame)

যে নির্দেশতন্ত্র স্থির থাকে বা সমবেগে সরলরেখায় চলতে থাকে (ত্বরণ শূন্য হয়), তাকে জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্র বলে। নিউটনের গতিসূত্রগুলো কেবল এই নির্দেশতন্ত্রেই সরাসরি প্রয়োগ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 1-এর সমান বা তার চেয়ে বেশি (≥ 1)

সরণ হলো প্রাথমিক ও অন্তিম বিন্দুর মাঝের ন্যূনতম সরলরৈখিক দূরত্ব। বস্তু যদি সোজা পথে যায় তবে দূরত্ব ও সরণ সমান হয় (অনুপাত 1)। আর বস্তু যদি বেঁকে যায় তবে দূরত্ব সরণের চেয়ে বেশি হয়। তাই অনুপাতটি ≥ 1 হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) সরণ ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হতে পারে

সরণ একটি ভেক্টর রাশি। এটি নির্দিষ্ট দিকের ওপর নির্ভর করে। বস্তু যেখান থেকে যাত্রা শুরু করেছিল, সেখানে ফিরে এলে সরণ শূন্য হয়, আর বিপরীত দিকে গেলে ঋণাত্মক হয়। কিন্তু দূরত্ব সর্বদা ধনাত্মক হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) বেগ (Velocity)

লেখচিত্রের নতি বা ঢাল (Slope) = y-অক্ষের পরিবর্তন / x-অক্ষের পরিবর্তন = Δx / Δt, যা বেগের সংজ্ঞাকে প্রকাশ করে। ঢাল বেশি হলে বেগ বেশি হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) ত্বরণ (Acceleration)

বেগ-সময় লেখচিত্রের ঢাল = বেগের পরিবর্তন / সময়ের পরিবর্তন = Δv / Δt, যা ত্বরণকে প্রকাশ করে।

সঠিক উত্তর: (খ) সরণ (Displacement)

v-t গ্রাফের ক্ষেত্রফল সমাকলনের (Integration) নিয়মানুযায়ী বেগ ও সময়ের গুণফল নির্দেশ করে। বেগ × সময় = সরণ।

সঠিক উত্তর: (খ) সরণ = 2r, দূরত্ব = πr

বৃত্তের অর্ধেক ঘুরলে কণাটি ব্যাসের দুই প্রান্তে অবস্থান করে। তাই ন্যূনতম সরলরৈখিক দূরত্ব বা সরণ হবে ব্যাসের সমান (2r)। আর বৃত্তের পরিধির অর্ধেক পথ ঘুরেছে, তাই দূরত্ব হবে 2πr / 2 = πr।

সঠিক উত্তর: (গ) 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

যদি দুটি সমান দূরত্ব আলাদা আলাদা বেগে অতিক্রম করা হয়, তবে গড় দ্রুতি হলো হারমোনিক গড়। গড় দ্রুতি = মোট দূরত্ব / মোট সময় = 2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)। (বি.দ্র: গাড়িটির সরণ শূন্য হওয়ায় গড় বেগ হবে 0)।

সঠিক উত্তর: (খ) তাৎক্ষণিক দ্রুতি (Instantaneous speed)

স্পিডোমিটার একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তের দ্রুতি বা স্পিড নির্দেশ করে। এটি দিক নির্দেশ করে না, তাই এটি তাৎক্ষণিক বেগ নয়, তাৎক্ষণিক দ্রুতি।

সঠিক উত্তর: (খ) অভিকর্ষজ ত্বরণের (g) সমান

সর্বোচ্চ বিন্দুতে বস্তুর বেগ মুহূর্তের জন্য শূন্য হয়ে যায়, কিন্তু পৃথিবীর মাধ্যাকর্ষণ বল অবিরত নিচের দিকে কাজ করতে থাকে। তাই সেখানে ত্বরণ ধ্রুবক থাকে এবং তা হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (প্রায় 9.8 m/s²)।

সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 4 : 9

অবাধে পতনশীল বস্তুর সমীকরণ, s = ½ gt²। যেহেতু g ধ্রুবক, তাই s ∝ t²। সুতরাং, 1, 2 এবং 3 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত হবে 1² : 2² : 3² = 1 : 4 : 9।

সঠিক উত্তর: (খ) (u + v) / 2

যখন কোনো বস্তু সমত্বরণে (uniform acceleration) সরলরেখা বরাবর চলে, তখন সময়ের সাথে বেগ সমান হারে বাড়ে। এই বিশেষ ক্ষেত্রে গড় বেগ হয় প্রাথমিক ও অন্তিম বেগের গাণিতিক গড়ের সমান।

সঠিক উত্তর: (খ) সমত্বরণে (Uniform acceleration)

আমরা জানি, s = ut + ½ at²। বস্তুটি স্থির অবস্থা (u = 0) থেকে যাত্রা শুরু করলে, s = ½ at² হয়। এখানে a যদি সমত্বরণ (ধ্রুবক) হয়, তবেই s ∝ t² সম্পর্কটি সত্য হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 90 km/h

দুটি বস্তু বিপরীত দিকে গতিশীল হলে তাদের আপেক্ষিক বেগ তাদের বেগের মানের যোগফলের সমান হয়। আপেক্ষিক বেগ = v₁ – (-v₂) = v₁ + v₂ = 50 + 40 = 90 km/h। তাই একটি ট্রেন থেকে অপরটিকে অনেক বেশি বেগে ছুটতে দেখা যাবে।

সঠিক উত্তর: (ক) সরণ = 0, দূরত্ব = 2πr

একবার পূর্ণ আবর্তন করলে কণাটি তার প্রাথমিক অবস্থানেই ফিরে আসে, তাই তার সরণ শূন্য হয়। কিন্তু কণাটি বৃত্তের পরিধি বরাবর পথ অতিক্রম করে, তাই অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে বৃত্তের পরিধি বা 2πr।

সঠিক উত্তর: (গ) বেগের পরিবর্তন

সমাকলনের নিয়ম অনুযায়ী, ত্বরণ (a) এবং সময় (t)-এর গুণফল বেগের পরিবর্তনকে (dv = a dt) বোঝায়। তাই a-t গ্রাফের ক্ষেত্রফল বেগের পরিবর্তন নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (গ) 14

বেগ v = dx/dt। সমীকরণটিকে সময়ের সাপেক্ষে অবকলন (Differentiation) করলে পাই, v = d/dt (3t² + 2t + 1) = 6t + 2। এখন t = 2 বসালে, v = (6 × 2) + 2 = 14।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

ত্বরণ a = dv/dt। বেগের সমীকরণটিকে অবকলন করলে পাই, a = d/dt (2t² + 5) = 4t। এখন t = 1 বসালে, ত্বরণ a = 4 × 1 = 4।

সঠিক উত্তর: (গ) u²/2a

গতির সমীকরণ v² = u² – 2as ব্যবহার করে পাই। গাড়িটি থেমে যাওয়ায় অন্তিম বেগ v = 0। সুতরাং, 0 = u² – 2as বা, 2as = u²। অর্থাৎ, অতিক্রান্ত দূরত্ব s = u²/2a।

সঠিক উত্তর: (ঘ) v = √(2gh)

অবাধে পতনের ক্ষেত্রে প্রাথমিক বেগ u = 0 এবং ত্বরণ a = g। গতির সমীকরণ v² = u² + 2as থেকে পাই, v² = 0 + 2gh। অতএব, v = √(2gh)।

সঠিক উত্তর: (গ) সরণ

সরণের একটি নির্দিষ্ট দিক আছে, তাই এটি ভেক্টর রাশি। অন্যদিকে কার্য, সময় এবং দূরত্বের কেবল মান আছে, কোনো দিক নেই, তাই এরা স্কেলার রাশি।

সঠিক উত্তর: (খ) A cosθ

ভেক্টর বিভাজনের নিয়ম অনুযায়ী, যে অক্ষের সাথে ভেক্টরটি θ কোণ করে থাকে, সেই অক্ষ বরাবর উপাংশটি হয় মূল ভেক্টরের cos উপাংশ (A cosθ)। লম্ব অক্ষ বরাবর উপাংশটি হয় A sinθ।

সঠিক উত্তর: (খ) ভেক্টরগুলির লব্ধি (Resultant)

এটি ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্র (Polygon law of vectors)। বহুভুজটি বন্ধ করতে যে শেষ বাহুটি বিপরীত ক্রমে আঁকা হয়, সেটিই সবকটি ভেক্টরের যোগফল বা লব্ধিকে নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (খ) 0

ডট গুণফলের সূত্র হলো A·B = AB cosθ। ভেক্টর দুটি পরস্পরের লম্ব হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ = 90° হয়। যেহেতু cos 90° = 0, তাই তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) AB sinθ

ক্রস গুণফল একটি ভেক্টর রাশি। এর মান হয় |A × B| = AB sinθ এবং দিক হয় ডানহাতের স্ক্রু নিয়ম অনুযায়ী ভেক্টর দুটির তলের সাথে লম্বদিকে।

সঠিক উত্তর: (খ) কেন্দ্রের দিকে (অভিকেন্দ্র ত্বরণ)

সমদ্রুতিতে ঘুরলেও কণাটির গতির দিক প্রতি মুহূর্তে বদলাতে থাকে, তাই তার বেগ পরিবর্তন হয় এবং ত্বরণ সৃষ্টি হয়। এই ত্বরণ সব সময় বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে কাজ করে, তাই একে অভিকেন্দ্র ত্বরণ বলে।

সঠিক উত্তর: (গ) অধিবৃত্তাকার (Parabolic)

বায়ুর বাধাকে উপেক্ষা করলে, অভিকর্ষের প্রভাবে অনুভূমিকের সাথে কোনো কোণ করে ছোঁড়া বস্তুর গতিপথ একটি অধিবৃত্ত (Parabola) হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 45°

অনুভূমিক পাল্লা R = (u² sin 2θ) / g। R এর মান সর্বাধিক হবে যখন sin 2θ = 1 হবে। অর্থাৎ 2θ = 90° বা θ = 45°।

সঠিক উত্তর: (খ) সামনের দিকে

এটি আপেক্ষিক বেগের (Relative velocity) একটি চমৎকার উদাহরণ। সাইকেল আরোহীর সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের দিক সামনের দিকে হেলে থাকে, তাই আরোহীকে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে সামনের দিকে ছাতা ধরতে হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) tan^-1(4)

শর্তানুযায়ী, R = H। অর্থাৎ, (u² sin 2θ) / g = (u² sin²θ) / 2g।
বা, 2 sinθ cosθ = sin²θ / 2
বা, tanθ = 4। অতএব, θ = tan^-1(4)।

সঠিক উত্তর: (খ) 2u sinθ / g

সর্বোচ্চ বিন্দুতে পৌঁছাতে সময় লাগে (u sinθ / g)। বস্তুটি ঠিক একই সময় নিয়ে আবার নিচে নেমে আসে। তাই মোট উড্ডয়নকাল T = 2u sinθ / g।

সঠিক উত্তর: (গ) 90° – θ

প্রাসের অনুভূমিক পাল্লা R = (u² sin 2θ) / g। θ এর পরিবর্তে (90° – θ) বসালে, sin 2(90° – θ) = sin (180° – 2θ) = sin 2θ হয়। তাই θ এবং (90° – θ) (অর্থাৎ পূরক কোণ) কোণে ছুঁড়লে পাল্লা সমান হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

সর্বোচ্চ বিন্দুতে উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়ে যায়, তাই বেগ সম্পূর্ণভাবে অনুভূমিক (x-অক্ষ বরাবর) থাকে। কিন্তু অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) খাড়া নিচের দিকে (y-অক্ষ বরাবর) কাজ করে। তাই এদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

একক ভেক্টরগুলির মান 1। i এবং i এর মধ্যবর্তী কোণ 0°। ডট গুণফলের সূত্র অনুযায়ী: i · i = |i||i| cos 0° = 1 × 1 × 1 = 1।

সঠিক উত্তর: (ক) 0 (শূন্য ভেক্টর)

ক্রস গুণফলের ক্ষেত্রে, i × i = |i||i| sin 0° n̂। যেহেতু sin 0° = 0, তাই সমজাতীয় ভেক্টরের ক্রস গুণফল সর্বদা 0 হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) A × B = -(B × A)

ভেক্টরের ক্রস গুণফল বিনিময় নিয়ম (Commutative law) মেনে চলে না, এটি অ্যান্টি-কমিউটেটিভ। গুণফলের ক্রম উল্টে দিলে ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুযায়ী ভেক্টরের দিক সম্পূর্ণ বিপরীত হয়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (ক) সময়ের সমানুপাতিক হবে (a ∝ t)

বেগ v = dS/dt = d/dt(t³) = 3t²।
ত্বরণ a = dv/dt = d/dt(3t²) = 6t।
যেহেতু 6 একটি ধ্রুবক, তাই বলা যায় ত্বরণ সময়ের সমানুপাতিক (a ∝ t)।

সঠিক উত্তর: (গ) 2v

অর্ধবৃত্ত অতিক্রম করার পর কণাটির গতির দিক সম্পূর্ণ বিপরীত হয়ে যায় (180° কোণে ঘুরে যায়)। যদি প্রাথমিক বেগ ভেক্টর v হয়, তবে অন্তিম বেগ হবে -v। বেগের পরিবর্তন = |v – (-v)| = 2v।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

যেকোনো ভেক্টর R = xi + yj এর মান হয় |R| = √(x² + y²)।
এখানে মান = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

সঠিক উত্তর: (গ) শূন্য (0)

সময় অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা মানে বস্তুর বেগ সময়ের সাথে সাথে বৃদ্ধি বা হ্রাস পাচ্ছে না (সমবেগে চলছে)। বেগের পরিবর্তন না হওয়ায় ত্বরণ শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) ঠিক বিপরীত দিকে হবে

কোনো ভেক্টরকে ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে তার মান গুণিতক হারে বাড়ে (এখানে দ্বিগুণ হবে) এবং তার দিক ঠিক 180° বা সম্পূর্ণ বিপরীত দিকে ঘুরে যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) ধ্রুবক থাকে (Constant)

অভিকর্ষ বল (g) কেবল খাড়া নিচের দিকে (y-অক্ষ বরাবর) কাজ করে। অনুভূমিক দিকে (x-অক্ষ বরাবর) কোনো বল বা ত্বরণ কাজ করে না বলে অনুভূমিক বেগ (u cosθ) গতির শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত একই বা ধ্রুবক থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

ডট গুণফলের সূত্র অনুযায়ী A · B = AB cosθ। যেহেতু A এবং B অশূন্য, তাই এই গুণফল 0 হতে হলে cosθ = 0 হতে হবে। আমরা জানি cos 90° = 0, তাই ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) তৃতীয় সূত্র

বন্দুক বুলেটের ওপর সামনের দিকে যে বল প্রয়োগ করে (ক্রিয়া), বুলেটও ঠিক একই মানের এবং বিপরীতমুখী বল বন্দুকের ওপর প্রয়োগ করে (প্রতিক্রিয়া)। এটি নিউটনের তৃতীয় সূত্র বা রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রের একটি চমৎকার উদাহরণ।

সঠিক উত্তর: (খ) মূলবিন্দুগামী সরলরেখা (যদি u = 0 হয়)

v = u + at সমীকরণটি y = mx + c আকারের একটি সরলরেখার সমীকরণ। যদি প্রাথমিক বেগ u = 0 হয়, তবে এটি y = mx রূপ নেয়, যা একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা নির্দেশ করে, যার নতি বা ঢাল হলো ত্বরণ (a)।

সঠিক উত্তর: (ক) t = 1 সেকেন্ডে

বেগ v = dx/dt। সমীকরণটিকে অবকলন (differentiation) করলে পাই, v = d/dt(2t² – 4t) = 4t – 4। বেগ শূন্য হলে, 4t – 4 = 0। অর্থাৎ, 4t = 4 বা t = 1 সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) (u² sin²θ) / 2g

সর্বোচ্চ বিন্দুতে উল্লম্ব বেগ (v_y) শূন্য হয়ে যায়। গতির সমীকরণ v² = u² – 2gH প্রয়োগ করলে, 0 = (u sinθ)² – 2gH। এখান থেকেই H = (u² sin²θ) / 2g পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) R_max / 4

অনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক হয় যখন প্রক্ষেপ কোণ θ = 45° হয়। তখন R_max = u²/g। এই কোণে সর্বোচ্চ উচ্চতা H = (u² sin² 45°) / 2g = (u² × 1/2) / 2g = u² / 4g। অর্থাৎ H = R_max / 4।

সঠিক উত্তর: (গ) যখন তাদের মধ্যবর্তী কোণ 0° হয়

লব্ধি R = √(P² + Q² + 2PQ cosθ)। cosθ এর সর্বোচ্চ মান 1, যা θ = 0° হলে পাওয়া যায়। তখন লব্ধি R = P + Q হয়, যা সর্বোচ্চ।

সঠিক উত্তর: (খ) 0 (শূন্য ভেক্টর)

ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ = 0° বা 180° হয়। যেহেতু sin 0° = 0 এবং sin 180° = 0, তাই ক্রস গুণফল |A × B| = AB sinθ = 0 হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 5 N

x-অক্ষের সাথে 30° কোণ করলে x-উপাংশ হয় F cos 30° এবং লম্ব বা y-উপাংশ হয় F sin 30°।
অতএব, y-উপাংশ = 10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 N।

সঠিক উত্তর: (গ) E cos²θ

প্রাথমিক গতিশক্তি E = ½ mu²। সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ হলো u cosθ (কারণ উল্লম্ব বেগ শূন্য)। তাই সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিশক্তি = ½ m (u cosθ)² = ½ mu² cos²θ = E cos²θ।

সঠিক উত্তর: (খ) r√2

বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ অতিক্রম করলে প্রাথমিক ও অন্তিম বিন্দুর মধ্যে কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন হয়। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সরণ = √(r² + r²) = √(2r²) = r√2।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 গুণ

থামার দূরত্বের সূত্র s = u² / 2a। এখানে s সমানুপাতিক u²। তাই বেগ (u) দ্বিগুণ (2 গুণ) করা হলে, থামার দূরত্ব (2)² বা 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে। দুর্ঘটনা এড়াতে ট্রাফিক নিয়মে এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ।

সঠিক উত্তর: (গ) অধিবৃত্তাকার (Parabolic)

পাথরটি ফেলার মুহূর্তে তার মধ্যে ট্রেনের অনুভূমিক বেগ থাকে। তাই পাথরটি অনুভূমিক বেগ নিয়ে মাধ্যাকর্ষণের প্রভাবে নিচে পড়তে থাকে, যা একটি প্রাসের গতির সমতুল্য। ফলে বাইরের দর্শকের কাছে তা অধিবৃত্তাকার মনে হবে। (ট্রেনের ভেতরের যাত্রীর কাছে তা সরলরেখায় নিচে পড়ছে বলে মনে হবে)।

সঠিক উত্তর: (গ) tan²θ : 1

প্রথমটির উচ্চতা H₁ = u² sin²θ / 2g।
দ্বিতীয়টির উচ্চতা H₂ = u² sin²(90° – θ) / 2g = u² cos²θ / 2g।
অনুপাত H₁ / H₂ = sin²θ / cos²θ = tan²θ।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 N

ভেক্টর যোগের সূত্র অনুযায়ী লম্ব বলের লব্ধি R = √(P² + Q²)।
মান বসালে, R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 N।

সঠিক উত্তর: (গ) 45°

শর্তানুযায়ী, AB sinθ = AB cosθ।
তাহলে sinθ / cosθ = 1, বা tanθ = 1।
আমরা জানি tan 45° = 1, তাই θ = 45°।

সঠিক উত্তর: (ক) সোজা রেললাইনে ট্রেনের গতি

যখন কোনো বস্তুর গতি কেবল একটি সরলরেখা বরাবর সীমাবদ্ধ থাকে এবং তা বোঝাতে মাত্র একটি স্থানাঙ্ক (যেমন x) যথেষ্ট হয়, তখন তাকে একমাত্রিক গতি বলে। প্রাসের গতি বা গ্রহের গতি হলো দ্বিমাত্রিক গতি।

সঠিক উত্তর: (খ) tan^-1(a)

প্রাসের গতিপথের আদর্শ সমীকরণ হলো: y = x tanθ – (gx²) / (2u² cos²θ)। প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করলে দেখা যায়, x-এর সহগ a = tanθ। অতএব, θ = tan^-1(a)।

সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 3 : 5

গ্যালিলিওর বিজোড় সংখ্যার সূত্র (Law of odd numbers) অনুযায়ী, স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরণে চলা কোনো বস্তুর সমান সময়ের ব্যবধানে অতিক্রান্ত দূরত্বগুলি 1 : 3 : 5 : 7… ইত্যাদি বিজোড় সংখ্যার অনুপাতে থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফলের ফলে সৃষ্ট নতুন ভেক্টরটি (C) সর্বদা মূল ভেক্টর দুটির (A এবং B) তলের সাথে লম্বভাবে অবস্থান করে। তাই A এবং C-এর মধ্যবর্তী কোণ 90° হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) v = ω × r

রৈখিক বেগ সর্বদা কৌণিক বেগ এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ক্রস গুণফলের সমান হয়। ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুযায়ী ভেক্টরের ক্রমটি ω × r হতে হবে, r × ω হলে দিক উল্টো হয়ে যাবে।

সঠিক উত্তর: (গ) R = 4√(H₁ H₂)

একই পাল্লা পেতে প্রক্ষেপ কোণ দুটি হতে হয় θ এবং (90° – θ)।
H₁ = u² sin²θ / 2g এবং H₂ = u² cos²θ / 2g।
এদের গুণ করলে H₁H₂ = (u⁴ sin²θ cos²θ) / 4g² = R² / 16। অর্থাৎ R = 4√(H₁H₂)।

সঠিক উত্তর: (খ) বৃত্তাকার

উভয় সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করলে পাই: x² + y² = a² sin²(ωt) + a² cos²(ωt) = a²(sin²ωt + cos²ωt) = a²। এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার ব্যাসার্ধ a।

সঠিক উত্তর: (ক) (v₁ + v₂) / 2

অর্ধেক দূরত্বের ক্ষেত্রে গড় বেগ হয় (2v₁v₂)/(v₁+v₂)। কিন্তু সমান সময়ের জন্য গড় বেগ হবে গাণিতিক গড়ের সমান। মোট দূরত্ব = v₁t + v₂t। মোট সময় = 2t। গড় বেগ = t(v₁ + v₂) / 2t = (v₁ + v₂) / 2।

সঠিক উত্তর: (খ) u / √2

সর্বোচ্চ উচ্চতার সূত্র u² = 2gH বা gH = u²/2।
অর্ধেক উচ্চতায় বেগ v হলে, v² = u² – 2g(H/2) = u² – gH = u² – u²/2 = u²/2। অতএব, v = u / √2।

সঠিক উত্তর: (খ) 4

ভেক্টরের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, লব্ধি R যদি P-এর লম্ব হয়, তবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয় যার অতিভুজ হলো Q। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: R² + P² = Q²।
R² + 3² = 5² ⇒ R² = 25 – 9 = 16 ⇒ R = 4।

সঠিক উত্তর: (গ) ধ্রুবক (Constant) হবে

ত্বরণ a = v (dv/dx)।
এখানে v = α x^1/2। একে x এর সাপেক্ষে অবকলন করলে dv/dx = α (1/2) x^-1/2।
তাহলে a = (α x^1/2) × (α / 2x^1/2) = α²/2। যেহেতু α ধ্রুবক, তাই ত্বরণও ধ্রুবক হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) π / 30 rad/s

কৌণিক বেগ ω = 2π / T। সেকেন্ডের কাঁটা 60 সেকেন্ডে একবার পূর্ণ আবর্তন করে, তাই পর্যায়কাল T = 60 s।
ω = 2π / 60 = π / 30 rad/s।

সঠিক উত্তর: (গ) ঠিক যাত্রীর হাতেই ফিরে আসবে

জড়তার (Inertia) কারণে কয়েনটির মধ্যেও ট্রেনের অনুভূমিক সমবেগ বজায় থাকে। তাই কয়েনটি শূন্যে থাকা অবস্থায় ট্রেন যতটা পথ এগোবে, কয়েনটিও অনুভূমিকভাবে ঠিক ততটাই এগোবে এবং সোজা যাত্রীর হাতেই পড়বে। (ট্রেন যদি ত্বরণে চলত, তবে পেছনে পড়ত)।

সঠিক উত্তর: (খ) 2v² / πr

গড় ত্বরণ = বেগের পরিবর্তন / মোট সময়।
অর্ধবৃত্তে বেগের পরিবর্তন = |v – (-v)| = 2v।
অর্ধেক পথ যেতে সময় লাগে t = দূরত্ব/দ্রুতি = πr/v।
অতএব, গড় ত্বরণ = 2v / (πr/v) = 2v² / πr।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 j

অবস্থান ভেক্টরকে অবকলন (derivative) করলে বেগ পাওয়া যায়: v = dr/dt = 3 i + 4t j।
বেগকে আবার অবকলন করলে ত্বরণ পাওয়া যায়: a = dv/dt = 4 j।

সঠিক উত্তর: (গ) S_n = u + ½ a(2n – 1)

n সেকেন্ডে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং (n-1) সেকেন্ডে মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের বিয়োগফল করেই এই বিশেষ n-তম সেকেন্ডের দূরত্বের সমীকরণটি পাওয়া যায়, যা গাণিতিক সমস্যা সমাধানে অত্যন্ত কার্যকর।

সঠিক উত্তর: (গ) স্রোতের সাথে লম্বভাবে (90° কোণে)

নদী পার হওয়ার সময় t = d / (v sinθ)। সময় সবচেয়ে কম হবে যখন হরের (denominator) মান সর্বোচ্চ হবে, অর্থাৎ sinθ = 1 হবে। সুতরাং θ = 90°। স্রোত সাঁতারুকে কিছুটা ভাটিতে ভাসিয়ে নিয়ে গেলেও, সোজা পাড় বরাবর সাঁতার কাটলেই সবচেয়ে দ্রুত নদী পার হওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (গ) স্থূলকোণে (Obtuse angle)

সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে সাঁতারুর বেগের একটি উপাংশকে স্রোতের বেগকে প্রশমিত করতে হবে। তাই তাকে স্রোতের প্রতিকূলের দিকে কিছুটা হেলিয়ে অর্থাৎ স্রোতের সাথে 90° এর চেয়ে বেশি (স্থূলকোণ) কোণে সাঁতার শুরু করতে হয়।

সঠিক উত্তর: (ক) A · (B × C) = 0

(B × C) ভেক্টরটি B এবং C উভয়ের তলের ওপর লম্ব। এখন A যদি B এবং C এর একই তলে থাকে, তবে A ভেক্টরটিও (B × C) এর ওপর লম্ব হবে। দুটি লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল 0 হয়। একে স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট বলে।

সঠিক উত্তর: (খ) √(2h/g)

অনুভূমিকভাবে ছোঁড়া হলে পাথরটির প্রাথমিক উল্লম্ব বেগ (u_y) শূন্য হয়। তাই y-অক্ষ বরাবর গতির সমীকরণ h = u_yt + ½gt² থেকে পাই, h = 0 + ½gt²। অতএব, t = √(2h/g)।

সঠিক উত্তর: (গ) u √(2h/g)

অনুভূমিক পাল্লা = অনুভূমিক বেগ × মাটিতে পৌঁছানোর সময়। অনুভূমিক বেগ সর্বদা u (ধ্রুবক) থাকে। তাই পাল্লা R = u × t = u √(2h/g)।

সঠিক উত্তর: (ক) A / |A|

কোনো ভেক্টরকে তার নিজের মান (Magnitude) দিয়ে ভাগ করলে সেই ভেক্টরের দিকের একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়, যার মান 1 এবং দিক মূল ভেক্টরের দিকেই থাকে।

সঠিক উত্তর: (খ) 50 km/h উত্তর দিকে

ট্রেনের বেগ v_T = 60 (উত্তর দিকে)। ট্রেনের সাপেক্ষে বানরের বেগ v_MT = -10 (কারণ দক্ষিণ দিক)। স্থির দর্শকের সাপেক্ষে বানরের বেগ v_M = v_T + v_MT = 60 – 10 = 50 km/h। অর্থাৎ বানরটি 50 km/h বেগে উত্তর দিকেই এগোচ্ছে বলে মনে হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 4 : 9

অবাধে পতনের সূত্র s = ½gt²। অর্থাৎ মোট দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক (s ∝ t²)। তাই t = 1, 2, 3 সেকেন্ডে দূরত্বের অনুপাত হবে 1² : 2² : 3² = 1 : 4 : 9। (বি.দ্র: নির্দিষ্ট 1ম, 2য় ও 3য় সেকেন্ডের দূরত্বের অনুপাত 1:3:5 হয়)।

সঠিক উত্তর: (খ) 6.25

সরণ সর্বোচ্চ হয় যখন বেগ v = 0 হয়। v = dx/dt = 5 – 2t। 5 – 2t = 0 হলে t = 2.5 সেকেন্ড। এই সময়ে সরণ x = 5(2.5) – (2.5)² = 12.5 – 6.25 = 6.25।

সঠিক উত্তর: (খ) A² – B²

গুণ করলে পাই: A·A – A·B + B·A – B·B। যেহেতু A·B = B·A, তাই মাঝের পদ দুটি কেটে যায়। A·A = A² এবং B·B = B²। অতএব, উত্তর হবে A² – B²।

সঠিক উত্তর: (ঘ) কেন্দ্রমুখী এবং স্পর্শকীয় ত্বরণের লব্ধি বরাবর (কেন্দ্রের দিকে কিছুটা হেলানো)

অসম বৃত্তীয় গতিতে কণাটির গতির দিক বদলানোর জন্য একটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ (a_c) থাকে এবং বেগের মান বদলানোর জন্য একটি স্পর্শকীয় ত্বরণ (a_t) থাকে। মোট ত্বরণ এই দুটির লব্ধি (Resultant) বরাবর কাজ করে।

সঠিক উত্তর: (গ) mu cosθ

সর্বোচ্চ বিন্দুতে উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়, কেবল অনুভূমিক বেগ (u cosθ) বজায় থাকে। তাই সর্বোচ্চ বিন্দুতে কণাটির ভরবেগ হবে ভর × বেগ = m × (u cosθ) = mu cosθ।

সঠিক উত্তর: (খ) K’ = K / 2

প্রাথমিক গতিশক্তি K = ½ mu²। সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিশক্তি K’ = ½ m(u cos 45°)² = ½ mu² (1/√2)² = (½ mu²) × ½ = K / 2।

সঠিক উত্তর: (খ) 1

দিক-কোসাইনগুলি হলো x, y এবং z অক্ষের সাথে ভেক্টরটির কোণের কোসাইন মান। গাণিতিকভাবে, l = A_x/A, m = A_y/A, n = A_z/A। এগুলোর বর্গের যোগফল সর্বদা 1 হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) v t_R + (v² / 2a)

বিপদ দেখা এবং ব্রেক চাপার মধ্যবর্তী সময়ে (প্রতিক্রিয়া সময় t_R) গাড়িটি সমবেগে v t_R দূরত্ব অতিক্রম করে। এরপর ব্রেক কষলে গাড়িটি থামতে v²/2a দূরত্ব নেয়। তাই মোট দূরত্ব হলো এই দুটির যোগফল।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

উভয়দিকে বর্গ করলে পাই, A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² – 2AB cosθ। এখান থেকে 4AB cosθ = 0 পাওয়া যায়। যেহেতু A এবং B অশূন্য, তাই cosθ = 0 হতে হবে। সুতরাং θ = 90°।

সঠিক উত্তর: (গ) 120°

লব্ধির সূত্র R² = A² + B² + 2AB cosθ। শর্তানুযায়ী R=A এবং B=A বসালে পাই: A² = A² + A² + 2A² cosθ। সমাধান করলে cosθ = -1/2 পাওয়া যায়। অর্থাৎ θ = 120°।

সঠিক উত্তর: (গ) 60°

প্রাসের সাধারণ সমীকরণ y = x tanθ – (gx²) / (2u² cos²θ) এর সাথে তুলনা করলে দেখা যায়, tanθ = √3। আমরা জানি tan 60° = √3, তাই প্রক্ষেপ কোণ 60°।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 m/s²

n-তম সেকেন্ডের দূরত্বের সূত্র: S_n = u + (a/2)(2n – 1)।
3য় সেকেন্ডের জন্য: 10 = u + (a/2)(5)… (i)
5ম সেকেন্ডের জন্য: 14 = u + (a/2)(9)… (ii)
(ii) থেকে (i) বিয়োগ করলে: 4 = (a/2)(4) ⇒ a = 2 m/s²।

সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 3

সর্বাধিক উচ্চতা H = u²sin²θ / 2g। যেহেতু u এবং g ধ্রুবক, তাই H ∝ sin²θ।
H₁ : H₂ = sin²(30°) : sin²(60°) = (1/2)² : (√3/2)² = 1/4 : 3/4 = 1 : 3।

সঠিক উত্তর: (গ) 4 m/s

বেগ v = ds/dt = d/dt(2t³ – 3t² + 4t) = 6t² – 6t + 4।
t = 1 বসালে, v = 6(1)² – 6(1) + 4 = 6 – 6 + 4 = 4 m/s।

সঠিক উত্তর: (ঘ) কণাটির ত্বরণের মান ধ্রুবক থাকে কিন্তু দিক পরিবর্তিত হয়

সমদ্রুতিতে ঘুরা কণার বেগ প্রতি মুহূর্তে দিক পরিবর্তন করে, তাই বেগ ধ্রুবক নয়। এর ফলে একটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ (v²/r) সৃষ্টি হয় যার মান ধ্রুবক কিন্তু দিক সর্বদা কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করে, যা কণার অবস্থানের সাথে সাথে ঘুরতে থাকে। তাই ভেক্টর হিসেবে ত্বরণ ধ্রুবক নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) উভয় বস্তুই একই সময়ে মাটিতে পৌঁছাবে

মাটিতে পৌঁছানোর সময় t = √(2H/g)। এই সময় বস্তুর অনুভূমিক বেগের ওপর নির্ভর করে না। উভয় বস্তুর জন্যই প্রাথমিক উল্লম্ব বেগ শূন্য এবং উচ্চতা সমান হওয়ায় তারা একই সাথে মাটিতে পড়বে (যদিও অনুভূমিক পাল্লা আলাদা হবে)।

সঠিক উত্তর: (গ) √(v_r² + v_m²)

বৃষ্টি খাড়া নিচে (y-অক্ষ) এবং মানুষ অনুভূমিকভাবে (x-অক্ষ) চলায় এদের বেগের ভেক্টর দুটি পরস্পর 90° কোণে কাজ করে। তাই আপেক্ষিক বেগের মান পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী √(v_r² + v_m²) হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 60°

একক ভেক্টরগুলির মান 1। ডট গুণফলের সূত্র অনুযায়ী n̂₁ · n̂₂ = |n̂₁||n̂₂| cosθ = 1 × 1 × cosθ।
শর্তানুযায়ী cosθ = 0.5 = 1/2। আমরা জানি cos 60° = 1/2। তাই কোণটি 60°।

সঠিক উত্তর: (গ) সমত্বরণে (Constant acceleration)

সমত্বরণে গতির সমীকরণ হলো x = ut + ½at²। এটি সময়ের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation), যা লেখচিত্রে একটি অধিবৃত্ত বা প্যারাবোলা গঠন করে।

সঠিক উত্তর: (খ) মান √2, কোণ 45°

ভেক্টরের মান = √(1² + 1²) = √2। কোণের জন্য, tanθ = (y-উপাংশ / x-উপাংশ) = 1 / 1 = 1। যেহেতু tan 45° = 1, তাই কোণটি 45°।

সঠিক উত্তর: (গ) h = v² / 2g

প্রাথমিক বেগ u = 0। গতির সমীকরণ v² = u² + 2gh থেকে পাই, v² = 2gh। অর্থাৎ, h = v² / 2g।

সঠিক উত্তর: (গ) উভয়ই একই সাথে মাটিতে পড়বে

গ্যালিলিওর অবাধে পতনশীল বস্তুর সূত্র অনুযায়ী, বায়ুর বাধা না থাকলে (শূন্য মাধ্যমে) সব বস্তু সমান দ্রুততায় নিচে পড়ে। বস্তুর ভর বা আকৃতির ওপর পতনকাল নির্ভর করে না।

সঠিক উত্তর: (গ) সময়-অক্ষের ওপর সমাপতিত (Coinciding) একটি সরলরেখা

কণাটি সমবেগে চলায় তার বেগের কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না। তাই ত্বরণ সর্বদা শূন্য (a=0)। ত্বরণ শূন্য হওয়ায় লেখচিত্রটি ঠিক সময়-অক্ষ (x-অক্ষ) বরাবর অবস্থান করবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 10 m/s²

গতির সমীকরণ v² = u² + 2as ব্যবহার করে পাই:
(20)² = (10)² + 2 × a × 15
400 = 100 + 30a ⇒ 30a = 300 ⇒ a = 10 m/s²।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

ভেক্টর দুটির ডট গুণফল A · B = (1 × 1) + (1 × -1) = 1 – 1 = 0। দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব বা 90° কোণে অবস্থান করে।

সঠিক উত্তর: (ঘ) গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দুতে (Highest point)

সর্বোচ্চ বিন্দুতে প্রাসের উল্লম্ব বেগ (Vertical velocity) শূন্য হয়ে যায়, কেবল অনুভূমিক বেগ (u cosθ) অবশিষ্ট থাকে। তাই এই বিন্দুতেই কণাটির বেগ সবচেয়ে কম হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 60°

শর্তানুযায়ী, AB sinθ = √3 AB cosθ
⇒ sinθ / cosθ = √3
⇒ tanθ = √3। আমরা জানি, tan 60° = √3, তাই কোণটি 60°।

সঠিক উত্তর: (গ) 3H / 4

T সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব H = ½ g T²।
T/2 সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব h = ½ g (T/2)² = ¼ (½ g T²) = H/4।
অর্থাৎ পাথরটি ওপর থেকে H/4 দূরত্ব নেমেছে। সুতরাং মাটি থেকে এর উচ্চতা হবে H – H/4 = 3H/4।

সঠিক উত্তর: (গ) 0

গড় বেগ = মোট সরণ / মোট সময়। একবার পূর্ণ আবর্তন করলে বস্তুটি তার প্রাথমিক অবস্থানেই ফিরে আসে, ফলে মোট সরণ শূন্য হয়। তাই গড় বেগও শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 9d

থামার দূরত্বের সূত্র d = u² / 2a। এখানে d সমানুপাতিক u²। বেগ 3 গুণ করা হলে, থামার দূরত্ব (3)² বা 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে, অর্থাৎ 9d হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) ত্বরণের পরিবর্তনের হার বা জার্ক (Jerk)

যেকোনো লেখচিত্রের ঢাল হলো y-অক্ষ এবং x-অক্ষের রাশির ভাগফল। ত্বরণ-সময় গ্রাফের ঢাল = Δa / Δt। সময়ের সাপেক্ষে ত্বরণ পরিবর্তনের এই হারকে পদার্থবিদ্যায় ‘Jerk’ বা ‘Jolt’ বলা হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) k

ডানহাতি নিয়ম (Right-hand rule) অনুযায়ী, i (x-অক্ষ) থেকে j (y-অক্ষ) এর দিকে আঙুল ঘোরালে বৃদ্ধাঙ্গুলি k (z-অক্ষ) নির্দেশ করে। তাই i × j = k। (বি.দ্র: j × i = –k)।

সঠিক উত্তর: (খ) 45°

প্রাসের গতিপথের সাধারণ সমীকরণ y = x tanθ – ½gx²/(u²cos²θ)। প্রদত্ত সমীকরণে x এর সহগ হলো 1। অর্থাৎ tanθ = 1। সুতরাং θ = 45°।

সঠিক উত্তর: (খ) হ্যাঁ, যদি কণাটির গতির দিক পরিবর্তিত হয়

বেগ একটি ভেক্টর রাশি (মান + দিক)। দ্রুতি (মান) স্থির থাকলেও যদি গতির দিক বদলায় (যেমন সমবৃত্তীয় গতিতে ঘটে), তবে বেগের পরিবর্তন হয় এবং কণাটির একটি ত্বরণ (অভিকেন্দ্র ত্বরণ) থাকে।

সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 1

15° এবং 75° হলো পূরক কোণ (যাদের যোগফল 90°)। আমরা জানি, θ এবং (90° – θ) কোণে ছুঁড়লে প্রাসের অনুভূমিক পাল্লা সর্বদা সমান হয়। তাই অনুপাত 1:1 হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 20√2 m/s উত্তর-পশ্চিম দিকে

ট্রেনের সাপেক্ষে পাখির বেগ V_BT = V_B – V_T। এখানে V_B উত্তর দিকে এবং –V_T পশ্চিম দিকে কাজ করছে। দুটি লম্ব ভেক্টরের লব্ধির মান √(20² + 20²) = 20√2 m/s। দিকটি হবে উত্তর এবং পশ্চিমের মাঝামাঝি অর্থাৎ উত্তর-পশ্চিম দিকে।

সঠিক উত্তর: (খ) 6 m/s

আমরা জানি a = dv/dt। তাই v = ∫a dt = ∫3t dt = &frac32; t² + c। স্থির অবস্থা থেকে শুরু হওয়ায় c = 0। তাহলে v = 1.5 t²।
t = 2 বসালে, v = 1.5 × (2)² = 1.5 × 4 = 6 m/s।

সঠিক উত্তর: (ঘ) ধ্রুবক (Constant) হবে

v ∝ √s অর্থাৎ v = k√s (যেখানে k ধ্রুবক)। উভয়দিকে বর্গ করলে v² = k²s।
আমরা গতির সমীকরণ v² = u² + 2as এর সাথে তুলনা করলে দেখতে পাই 2a = k²। যেহেতু k ধ্রুবক, তাই ত্বরণ (a) ও একটি ধ্রুবক রাশি হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 সেকেন্ড

কণাটি গতির দিক পরিবর্তন করবে যখন তার বেগ মুহূর্তের জন্য শূন্য হবে। বেগ v = dx/dt = 2t – 4। যখন v = 0, তখন 2t – 4 = 0, অর্থাৎ t = 2 সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) a = α × r

রৈখিক বেগ v = ω × r সমীকরণটিকে সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করলে স্পর্শকীয় রৈখিক ত্বরণ a = α × r পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (ঘ) u / g

সর্বোচ্চ বিন্দুতে বস্তুর অন্তিম বেগ v = 0। গতির সমীকরণ v = u – gt অনুযায়ী 0 = u – gt। অতএব, t = u/g। ঠিক একই পরিমাণ সময় (u/g) বস্তুটি নিচে নামতেও নেবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 90°

লব্ধির সূত্র R² = P² + Q² + 2PQ cosθ। শর্তানুযায়ী R² = P² + Q² হওয়ায়, 2PQ cosθ = 0 হবে। অর্থাৎ cosθ = 0, সুতরাং θ = 90°।

সঠিক উত্তর: (খ) 45°

R = 4H
⇒ (u² sin 2θ) / g = 4 × (u² sin²θ) / 2g
⇒ 2 sinθ cosθ = 2 sin²θ
⇒ cosθ = sinθ
⇒ tanθ = 1। সুতরাং θ = 45°।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : π

অর্ধেক পথ ঘোরার পর সরণ হয় ব্যাস বরাবর অর্থাৎ 2r। অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো অর্ধবৃত্তের পরিধি অর্থাৎ πr। তাই সরণ ও দূরত্বের অনুপাত = 2r / πr = 2 : π।

সঠিক উত্তর: (গ) 0 (শূন্য)

ত্বরণ-সময় লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল বেগের পরিবর্তন নির্দেশ করে। বস্তুটি যেহেতু সমবেগে চলছে, তাই এর বেগের কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না (ত্বরণ = 0)। ফলে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 5

ডট গুণফলের ক্ষেত্রে সমজাতীয় উপাংশগুলি গুণ করে যোগ করতে হয়।
A · B = (2 × 4) + (3 × -1) = 8 – 3 = 5।

সঠিক উত্তর: (ঘ) খাড়া নিচের দিকে

প্রাসের ওপর কেবল মাধ্যাকর্ষণ বল কাজ করে। তাই এর একমাত্র ত্বরণ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (g), যা সম্পূর্ণ গতিপথে সর্বদা খাড়া নিচের দিকেই কাজ করে।

সঠিক উত্তর: (গ) 2πr / v

একবার পূর্ণ আবর্তনে বস্তুটি বৃত্তের পরিধি (2πr) পরিমাণ পথ অতিক্রম করে। সমদ্রুতিতে চললে, সময় = দূরত্ব / দ্রুতি = 2πr / v।

সঠিক উত্তর: (খ) π / 1800 rad/s

মিনিটের কাঁটা একবার পূর্ণ আবর্তন (2π রেডিয়ান) করতে 60 মিনিট বা 3600 সেকেন্ড সময় নেয়। তাই এর কৌণিক বেগ ω = 2π / 3600 = π / 1800 rad/s।

সঠিক উত্তর: (গ) সমবেগে (Uniform velocity)

সরণ-সময় লেখচিত্রের ঢাল বা নতি বস্তুর বেগকে নির্দেশ করে। সরলরেখার ঢাল সর্বত্র ধ্রুবক থাকে, যার অর্থ বস্তুটির বেগও সময়ের সাথে ধ্রুবক আছে, অর্থাৎ সেটি সমবেগে চলছে।

সঠিক উত্তর: (খ) ঋণাত্মক নতিযুক্ত সরলরেখা

ওপরের দিকে ওঠার সময় মাধ্যাকর্ষণ বল গতির বিপরীতে কাজ করে (মন্দন)। সমীকরণটি হলো v = u – gt। এটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল ঋণাত্মক (-g)। বেগ ধনাত্মক দিক থেকে শুরু হয়ে ধীরে ধীরে শূন্য হয় এবং নিচে নামার সময় ঋণাত্মক হয়।

সঠিক উত্তর: (খ) 20 km/h

একই দিকে চললে আপেক্ষিক বেগ হয় তাদের বেগের বিয়োগফল। B-এর সাপেক্ষে A-এর আপেক্ষিক বেগ V_AB = V_A – V_B = 60 – 40 = 20 km/h। অর্থাৎ B-এর যাত্রীর মনে হবে A তাকে 20 km/h বেগে ছাড়িয়ে যাচ্ছে।

সঠিক উত্তর: (খ) সমবেগে (Uniform velocity)

যদি বস্তুর বেগ সময়ের সাথে পরিবর্তিত না হয় (অর্থাৎ সমবেগে চলে), তবেই একমাত্র যেকোনো মুহূর্তের বেগ (তাৎক্ষণিক বেগ) এবং সম্পূর্ণ পথের গড় বেগ পরস্পর সমান হতে পারে।

সঠিক উত্তর: (খ) tan^-1(v_m / v_r)

মানুষের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ V_rm = V_r – V_m। ভেক্টর চিত্র অঙ্কন করলে দেখা যায়, উল্লম্ব রেখার সাথে আপেক্ষিক বেগ ভেক্টরটি যে কোণ (θ) তৈরি করে তার ট্যানজেন্ট (tan) হলো (v_m / v_r)। তাই θ = tan^-1(v_m / v_r)।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 m

আমরা জানি সরণ x = ∫ v dt।
তাহলে, x = ∫₀² (3t² – 2t) dt = [t³ – t²]₀²।
মান বসালে, (2³ – 2²) – 0 = 8 – 4 = 4 m।

সঠিক উত্তর: (গ) 40 একক

অনুভূমিক পাল্লা হলো x-অক্ষের সেই দূরত্ব যেখানে প্রাসটি আবার মাটিতে ফিরে আসে, অর্থাৎ যেখানে y = 0।
সুতরাং, x – (x² / 40) = 0
⇒ x (1 – x/40) = 0। যেহেতু পাল্লা শূন্য নয় (x ≠ 0), তাই 1 = x/40 বা x = 40 একক।

সঠিক উত্তর: (ক) 2

ডট গুণফলে কেবল সমজাতীয় একক ভেক্টরগুলির গুণফল 1 হয় (যেমন i·i = 1) এবং বাকিগুলো 0 হয়।
A · B = (2 × 1) + (3 × 0) + (0 × 1) = 2 + 0 + 0 = 2।

সঠিক উত্তর: (গ) A²B²

|A × B| = AB sinθ এবং A · B = AB cosθ।
এদের বর্গ করে যোগ করলে: (AB sinθ)² + (AB cosθ)² = A²B² (sin²θ + cos²θ)।
যেহেতু sin²θ + cos²θ = 1, তাই উত্তর হবে A²B²। (এটি ল্যাগ্রেঞ্জের অভেদ বা Lagrange’s identity নামে পরিচিত)।

সঠিক উত্তর: (খ) tanθ : 1

উড্ডয়নকাল T = 2u sinθ / g।
T₁ = 2u sinθ / g এবং T₂ = 2u sin(90° – θ) / g = 2u cosθ / g।
অনুপাত করলে T₁/T₂ = sinθ / cosθ = tanθ।

সঠিক উত্তর: (গ) একই সময়ে (t) কণার দুটি বা তার বেশি ভিন্ন অবস্থান (x) থাকা

বাস্তবে একটি বস্তু একই মুহূর্তে দুটি ভিন্ন স্থানে থাকতে পারে না। তাই অবস্থান-সময় লেখচিত্র কখনো y-অক্ষের (অবস্থান অক্ষের) সমান্তরাল হতে পারে না বা কোনো নির্দিষ্ট t মানে দুটি ভিন্ন x মান দিতে পারে না।

সঠিক উত্তর: (গ) 0 (শূন্য ভেক্টর)

প্রথমে ব্র্যাকেটের কাজ করতে হবে। আমরা জানি j × k = i।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায় i × i। আর একই ভেক্টরের নিজেদের মধ্যে ক্রস গুণফল সর্বদা শূন্য হয়।

সঠিক উত্তর: (গ) 60°

সর্বোচ্চ বিন্দুতে প্রাসের বেগ হয় u cosθ।
শর্তানুযায়ী, u cosθ = u / 2।
⇒ cosθ = 1/2। আমরা জানি cos 60° = 1/2। তাই প্রক্ষেপ কোণ 60°।

সঠিক উত্তর: (গ) স্রোতের দিকের সাথে 90° কোণে

পারাপারের সময় t = d / (v sinθ)। সময়কে ন্যূনতম করতে হলে sinθ এর মান সর্বোচ্চ (1) হতে হবে, যা θ = 90° হলে হয়। অর্থাৎ স্রোতের সাথে ঠিক লম্বভাবে নৌকা চালালে সবচেয়ে কম সময়ে নদী পার হওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

দুটি ভেক্টর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।
A · B = (3 × 2) + (-a × 3) = 6 – 3a।
শর্তানুযায়ী, 6 – 3a = 0 ⇒ 3a = 6 ⇒ a = 2।

সঠিক উত্তর: (ক) 1 cm

প্রাথমিক বেগ V। 3 cm পর বেগ V/2। গতির সমীকরণ থেকে মন্দন: (V/2)² = V² – 2a(3) ⇒ 6a = 3V²/4 ⇒ a = V²/8।
এখন বেগ V/2 থেকে 0 হতে ধরি x দূরত্ব লাগে। 0 = (V/2)² – 2ax ⇒ 2(V²/8)x = V²/4 ⇒ x = 1 cm।

সঠিক উত্তর: (গ) 2πR/T এবং 0

গড় দ্রুতি = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব / মোট সময় = বৃত্তের পরিধি / T = 2πR / T।
গড় বেগ = মোট সরণ / মোট সময়। যেহেতু কণাটি একই বিন্দুতে ফিরে এসেছে, তাই সরণ শূন্য, ফলে গড় বেগও 0 হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) বেগ 0, ত্বরণ g (নিচের দিকে)

সর্বোচ্চ বিন্দুতে বস্তুটি মুহূর্তের জন্য থামে, তাই বেগ শূন্য হয়। কিন্তু পৃথিবীর অভিকর্ষজ বল সবসময় কাজ করে, তাই সেখানে ত্বরণের মান g (9.8 m/s²) এবং তার দিক খাড়া নিচের দিকে থাকে।

সঠিক উত্তর: (গ) বস্তুটি মন্দরিত বা Retarded হবে (বেগ হ্রাস পাবে)

ত্বরণ যদি বেগের বিপরীত দিকে কাজ করে (যেমন ব্রেক কষলে বা ওপরের দিকে কিছু ছুঁড়লে ঘটে), তবে সেটি বস্তুর বেগকে ধাপে ধাপে কমিয়ে দেয়। পদার্থবিদ্যার ভাষায় একেই মন্দন বা Retardation বলা হয়।