Mixture and Alligation Level 3 (Advanced) – মিশ্রণের Advanced MCQ ও Tricky Concepts | SSC CGL, WBCS, Banking
অধ্যায় 11 | মিশ্রণ (Mixture & Alligation)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল 3 – পর্ব 1
উচ্চতর গাণিতিক সমীকরণ ও ক্যাট (CAT)-স্তরের লজিক বিশ্লেষণ
🔥 বিশেষত্ব
মিশ্রণ ও অ্যালিগেশন অধ্যায়ের এই সর্বোচ্চ এবং চূড়ান্ত স্তরে (Level 3) আপনাকে স্বাগত। এই পর্বে আমরা ব্যাংকিং মেইনস (SBI PO), CGL Tier-II এবং অ্যাডভান্সড ডিস্ট্রিবিউশন মডেলের এমন কিছু জটিল প্রশ্ন সমাধান করব, যেখানে একাধিক চলক (Variables), জটিল শতকরা হার এবং ক্রমাগত চক্রাকার প্রতিস্থাপনের উন্নত সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- জটিল প্রতিস্থাপন ও অনুপাত (Advanced Replacement): একটি পাত্রে দুটি তরল $A$ ও $B$ এর অনুপাত $x:y$। $V$ লিটার মিশ্রণ তুলে সমপরিমাণ তরল $B$ ঢাললে নতুন অনুপাত $a:b$ হয়। এই ক্ষেত্রে শর্টকাট লজিক হলো: তরল $A$-এর প্রারম্ভিক পরিমাণ থেকে সমীকরণ তৈরি করা, কারণ তরল $A$ বাইরে থেকে নতুন করে যোগ করা হয়নি।
- অ্যালিগেশন ও গড় গতিবেগ: অল্টারনেটিভ মেথড হিসেবে অ্যালিগেশন রুল গতিবেগ, সময় ও দূরত্বের অংকেও খাটানো যায়। যদি দুটি আলাদা গতিবেগের গড় গতিবেগ জানা থাকে, তবে অ্যালিগেশন করলে যে অনুপাতটি পাওয়া যায়, তা সর্বদা সময়ের অনুপাত (Ratio of Time) নির্দেশ করে, দূরত্বের নয়।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (1-15):
1. একটি জারে দুধ ও জলের অনুপাত 7 : 5। এই জার থেকে 9 লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢালা হলো। এখন দুধ ও জলের অনুপাত 7 : 9 হলে, জারে শুরুতে মোট কত লিটার লিকুইড ছিল?
- (ক) 36 লিটার
- (খ) 40 লিটার
- (গ) 48 লিটার
- (ঘ) 60 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 36 লিটার
দুধের পরিমাণ ধ্রুবক রেখে জলের অনুপাত 5 থেকে বেড়ে 9 হয়েছে (বৃদ্ধি = 4 অংশ)।
এই 4 অংশ বৃদ্ধি পেয়েছে 9 লিটার জল যোগ করার জন্য $\implies$ 1 অংশ = $\frac{9}{4}$ লিটার।
চূড়ান্ত মিশ্রণের মোট অংশ = $7 + 9 = 16$ অংশ।
যেহেতু তুলে নেওয়া মিশ্রণ ও যোগ করা জলের পরিমাণ সমান, তাই চূড়ান্ত মিশ্রণের মোট আয়তনই প্রাথমিক আয়তনের সমান।
মোট আয়তন = $16 \times \frac{9}{4} = 4 \times 9 = 36$ লিটার।
2. এক ব্যক্তি 80 কিমি দূরত্ব 7 ঘণ্টায় অতিক্রম করলেন। তিনি কিছুটা পথ 8 কিমি/ঘণ্টা বেগে হেঁটে এবং বাকি পথ 16 কিমি/ঘণ্টা বেগে সাইকেলে গেলেন। তিনি হেঁটে কত দূরত্ব অতিক্রম করেছিলেন?
- (ক) 32 কিমি
- (খ) 36 কিমি
- (গ) 40 কিমি
- (ঘ) 48 কিমি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 32 কিমি
সমগ্র যাত্রাপথের গড় গতিবেগ = $\frac{80}{7}$ কিমি/ঘণ্টা।
হেঁটে গতিবেগ = 8, সাইকেলে গতিবেগ = 16, গড় = $\frac{80}{7}$।
হর কাটাতে সবকটিকে 7 দিয়ে গুণ করি: হেঁটে = 56, সাইকেলে = 112, গড় = 80।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ (সময়ের অনুপাত): $(112 – 80) : (80 – 56) = 32 : 24 = 4 : 3$।
মোট সময় = $4 + 3 = 7$ ঘণ্টা। অর্থাৎ তিনি হেঁটেছিলেন 4 ঘণ্টা।
হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব = $\text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = 8 \times 4 = 32$ কিমি।
3. একটি পাত্রে তরল A ও B এর অনুপাত 4 : 1। পাত্রটি থেকে 10 লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ তরল B ঢালা হলে নতুন অনুপাত 2 : 3 হয়। শুরুতে পাত্রে তরল A কত লিটার ছিল?
- (ক) 16 লিটার
- (খ) 20 লিটার
- (গ) 24 লিটার
- (ঘ) 32 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 16 লিটার
১ম অনুপাত = 4 : 1 (মোট 5), ২য় অনুপাত = 2 : 3 (মোট 5)। মোট পরিমাণ সমান আছে।
তরল B যোগ করায় তরল A-এর অংশ অপরিবর্তিত থাকার কথা। ২য় অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: 4 : 6।
এখন A স্থির (4 অংশ), এবং B বৃদ্ধি পেয়েছে 1 থেকে 6 (বৃদ্ধি = 5 অংশ)।
شর্তমতে, 5 অংশ = 10 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 2 লিটার।
মোট প্রাথমিক ধারণক্ষমতা ($4 + 6 = 10$ অংশ) = $10 \times 2 = 20$ লিটার।
শুরুতে তরল A এর পরিমাণ ছিল = $20 \times \frac{4}{5} = 16$ লিটার।
4. একটি পরীক্ষাগারে দুই প্রকার রসে অ্যাসিডের তীব্রতা যথাক্রমে 20% এবং 50%। 12 লিটার তীব্র অ্যাসিড প্রস্তুত করতে রস দুটি কী অনুপাতে মেশাতে হবে যাতে নতুন মিশ্রণে তীব্রতা 30% হয়?
- (ক) 1 : 2
- (খ) 2 : 1
- (গ) 3 : 1
- (ঘ) 1 : 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1
১ম রস = 20%, ২য় রস = 50%, মিশ্রণ লক্ষ্য = 30%।
ক্রস-বিয়োগ: $(50 – 30) : (30 – 20) = 20 : 10 = 2 : 1$।
5. বার্ষিক 54 টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে বার্ষিক 72 টাকা কেজি দরের চা কী অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি 70.40 টাকা দরে বিক্রি করলে 10% লাভ হবে?
- (ক) 3 : 4
- (খ) 4 : 5
- (গ) 2 : 3
- (ঘ) 1 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4 : 5
বিক্রয়মূল্য = 70.40 টাকা, লাভ = 10% $\implies$ গড় ক্রয়মূল্য = $70.40 \times \frac{100}{110} = 64$ টাকা।
এবার অ্যালিগেশন: সস্তা = 54, দামি = 72, গড় = 64।
অনুপাত = $(72 – 64) : (64 – 54) = 8 : 10 = 4 : 5$।
6. একটি বড় পাত্রে আমলকী ও জলের মিশ্রণে 60% জল আছে। ওই মিশ্রণ থেকে কত শতাংশ জল বাষ্পীভূত করলে নতুন মিশ্রণে আমলকীর পাল্পের পরিমাণ 50% হবে?
- (ক) 15%
- (খ) 20%
- (গ) 25%
- (ঘ) 33.33%
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 25%
প্রাথমিক মিশ্রণে পাল্প = $100\% – 60\% = 40\%$। চূড়ান্ত মিশ্রণে পাল্প = 50%।
পাল্পের পরিমাণ ধ্রুবক থাকে। ধরি প্রাথমিক মিশ্রণ 100 একক $\implies$ পাল্প = 40 একক।
নতুন মিশ্রণ $V$ হলে, $V \times 50\% = 40 \implies V = 80$ একক।
বাষ্পীভূত জল = $100 – 80 = 20$ একক। প্রাথমিক জলের (60 একক) সাপেক্ষে বাষ্পীভূত জলের শতকরা হিসাব করার পরিবর্তনশীল সমীকরণটি সঠিক লজিক প্রকাশ করে। সামগ্রিক মিশ্রণের নিরিখে হ্রাস = 20%। (বিকল্প সমীকরণে উত্তর 20% নির্দেশক, অপশন খ সঠিক।)
7. প্রতি কেজি 45 টাকা মূল্যের ডালের সাথে প্রতি কেজি 65 টাকা মূল্যের ডাল কী অনুপাতে মেশালে মিশ্র ডালের ক্রয়মূল্য প্রতি কেজি 50 টাকা হবে?
- (ক) 3 : 1
- (খ) 1 : 3
- (গ) 2 : 1
- (ঘ) 1 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 3 : 1
সস্তা = 45, দামি = 65, গড় = 50।
cross-বিয়োগ: $(65 – 50) : (50 – 45) = 15 : 5 = 3 : 1$।
8. একটি পাত্রে খাঁটি ওয়াইন আছে। পাত্রটি থেকে 20% ওয়াইন তুলে নিয়ে সমপরিমাণ সোডা ঢালা হলো। এই প্রক্রিয়াটি মোট ৩ বার করার পর পাত্রে ওয়াইন ও সোডার অনুপাত কত হবে?
- (ক) 64 : 61
- (খ) 61 : 64
- (গ) 16 : 9
- (ঘ) 9 : 16
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 64 : 61
20% তুলে নেওয়া মানে $\frac{1}{5}$ অংশ তুলে নেওয়া, অবশিষ্ট থাকে $\frac{4}{5}$ অংশ।
৩ বার প্রক্রিয়ার পর অবশিষ্ট ওয়াইন = $\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$ অংশ।
মোট মিশ্রণ 125 একক হলে ওয়াইন = 64 এবং সোডার পরিমাণ = $125 – 64 = 61$ একক। অনুপাত = 64 : 61।
9. তামা ও দস্তার একটি মিশ্র ধাতুতে তামা ও দস্তার অনুপাত 5 : 3। এই রূপ 32 কেজি মিশ্র ধাতুতে আর কত কেজি দস্তা মেশালে নতুন অনুপাত 5 : 4 হবে?
- (ক) 2 কেজি
- (খ) 4 কেজি
- (গ) 6 কেজি
- (ঘ) 8 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4 কেজি
মোট অংশ = $5 + 3 = 8$ অংশ = 32 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 4 কেজি।
নতুন অনুপাত 5 : 4 এ তামার অংশ নির্দিষ্ট আছে, দস্তা 3 থেকে বেড়ে 4 হয়েছে (বৃদ্ধি = 1 অংশ)।
সুতরাং প্রয়োজনীয় দস্তা = $1 \times 4 = 4$ কেজি।
10. বার্ষিক 50 টাকা লিটার দরের খাঁটি কেমিক্যাল-এর সাথে কী অনুপাতে জল মেশালে মিশ্রিত কেমিক্যালের মূল্য প্রতি লিটার 35 টাকা হবে? (জলের মূল্য 0 টাকা)
- (ক) 7 : 3
- (খ) 3 : 7
- (গ) 5 : 3
- (ঘ) 3 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (A) 7 : 3
কেমিক্যাল = 50, জল = 0, মিশ্রণ = 35।
cross-বিয়োগ: $(\text{কেমিক্যাল}) : (\text{জল}) = (35 – 0) : (50 – 35) = 35 : 15 = 7 : 3$।
11. দুটি পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত যথাক্রমে 7 : 2 এবং 5 : 4। এই দুটি মিশ্রণ কী অনুপাতে মেশালে নতুন পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত 2 : 1 হবে?
- (ক) 3 : 2
- (খ) 2 : 3
- (গ) 1 : 1
- (ঘ) 4 : 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 1
দুধের ভগ্নাংশ নিয়ে পাই: ১ম পাত্র = $\frac{7}{9}$, ২য় পাত্র = $\frac{5}{9}$। লক্ষ্য মিশ্রণ = $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$।
যেহেতু সবার হর সমান (9), সরাসরি লবের সাপেক্ষে অ্যালিগেশন করি:
cross-বিয়োগ: $(6 – 5) : (7 – 6) = 1 : 1$।
12. একটি 60 লিটার অ্যাসিডের মিশ্রণ যাতে 25% অ্যাসিড আছে, তা থেকে কত লিটার জল বাষ্পীভূত করলে মিশ্রণে অ্যাসিডের পরিমাণ 30% হবে?
- (ক) 8 লিটার
- (খ) 10 লিটার
- (গ) 12 লিটার
- (ঘ) 15 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10 লিটার
অ্যাসিডের নিজস্ব পরিমাণ ধ্রুবক থাকে = $60 \times 25\% = 15$ লিটার।
নতুন মিশ্রণ $V$ হলে, $V \times 30\% = 15 \implies V = 50$ লিটার।
বাষ্পীভূত জল = $60 – 50 = 10$ লিটার।
13. এক ব্যক্তি কিছু অংশ 25% লাভ এবং বাকি অংশ 5% ক্ষতিতে বিক্রি করে মোটের ওপর 10% লাভ করলেন। অংশ দুটির ক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?
- (ক) 1 : 1
- (খ) 2 : 1
- (গ) 1 : 2
- (ঘ) 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 1
লাভ = $+25$, ক্ষতি = $-5$, গড় = $+10$।
cross-বিয়োগ: $[10 – (-5)] : (25 – 10) = 15 : 15 = 1 : 1$।
14. একটি পাত্রে সিরাপ ও জলের অনুপাত 7 : 3। ওই পাত্র থেকে কত অংশ মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হবে?
- (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ
- (খ) $\frac{2}{7}$ অংশ
- (গ) $\frac{1}{5}$ অংশ
- (ঘ) $\frac{1}{2}$ অংশ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{2}{7}$ অংশ
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{\text{পার্থক্য}}{2 \times \text{বৃহত্তম অংশ}} = \frac{7 – 3}{2 \times 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ অংশ।
15. প্রতি কেজি 15 টাকা মূল্যের লবণের সাথে প্রতি কেজি 25 টাকা মূল্যের লবণ কী অনুপাতে মেশালে মিশ্র লবণের মূল্য প্রতি কেজি 18 টাকা হবে?
- (ক) 7 : 3
- (খ) 3 : 7
- (গ) 5 : 3
- (ঘ) 3 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 7 : 3
সস্তা = 15, দামি = 25, গড় = 18。
cross-বিয়োগ: $(25 – 18) : (18 – 15) = 7 : 3$।
অধ্যায় 11 | মিশ্রণ (Mixture & Alligation)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল 3 – পর্ব 2
অসম প্রতিস্থাপন ও জটিল রেশিও সমীকরণ
🔥 বিশেষত্ব
এই পর্বে আমরা মিশ্রণ অধ্যায়ের এমন কিছু উচ্চতর প্রশ্ন সমাধান করব যেখানে প্রতিবার আলাদা আলাদা পরিমাণে তরল তোলা ও ঢালা হয়। এছাড়াও অ্যালিগেশনের সাহায্যে মূলধন ও অংশীদারিত্বের অনুপাত মেলানো এবং জটিল ভগ্নাংশযুক্ত তাত্ত্বিক সমস্যাগুলো অত্যন্ত সংক্ষিপ্ত ও বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিতে সাজানো হয়েছে।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- অসম ক্রমাগত প্রতিস্থাপন (Variable Successive Replacement): পাত্রের মোট ধারণক্ষমতা $V$ হলে, ১ম বার $a$ লিটার, ২য় বার $b$ লিটার এবং ৩য় বার $c$ লিটার তরল তুলে প্রতিবার সমপরিমাণ জল ঢাললে অবশিষ্ট মূল উপাদানের অনুপাত হবে: $\text{অবশিষ্ট উপাদান} = \text{প্রাথমিক পরিমাণ} \times \left(1 – \frac{a}{V}\right)\left(1 – \frac{b}{V}\right)\left(1 – \frac{c}{V}\right)$।
- রেশিও ব্যালেন্সিং ট্রিক: দুটি পাত্রে উপাদানের অনুপাত ভিন্ন থাকলে এবং তাদের একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে মেশাতে বললে, প্রথমে পাত্র দুটির মোট আয়তনকে ল.সা.গু (LCM) পদ্ধতিতে সমান করে নিয়ে, তারপর অভীষ্ট অনুপাত দিয়ে গুণ করতে হবে।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (16-30):
16. একটি পাত্রে তরল A ও B এর অনুপাত 7 : 5। ওই পাত্র থেকে 9 লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ তরল B ঢালা হলে নতুন অনুপাত 7 : 9 হয়। শুরুতে পাত্রে তরল A কত লিটার ছিল?
- (ক) 15 লিটার
- (খ) 21 লিটার
- (গ) 24 লিটার
- (ঘ) 27 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 21 লিটার
১ম অনুপাত = 7 : 5, ২য় অনুপাত = 7 : 9। এখানে তরল A-এর অংশ নির্দিষ্ট আছে।
তরল B বৃদ্ধি পেয়েছে = $9 – 5 = 4$ অংশ।
شর্তমতে, 4 অংশ = 9 লিটার $\implies$ 1 অংশ = $\frac{9}{4}$ লিটার।
চূড়ান্ত মোট মিশ্রণ ($7 + 9 = 16$ অংশ) = $16 \times \frac{9}{4} = 36$ লিটার।
যেহেতু সমপরিমাণ তরল যোগ-বিয়োগ হয়েছে, প্রাথমিক মোট মিশ্রণও ছিল 36 লিটার।
শুরুতে তরল A ছিল = $36 \times \frac{7}{12} = 3 \times 7 = 21$ লিটার।
17. একটি জারে 40 লিটার খাঁটি দুধ আছে। জার থেকে 4 লিটার দুধ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢালা হলো। ২য় বার ওই জার থেকে 5 লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ जल ঢালা হলো। জারে আর কত লিটার খাঁটি দুধ অবশিষ্ট থাকবে?
- (ক) 31.50 লিটার
- (খ) 32.40 লিটার
- (গ) 33.75 লিটার
- (ঘ) 34.20 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 31.50 লিটার
অসম প্রতিস্থাপনের সূত্রানুযায়ী:
$\text{অবশিষ্ট দুধ} = 40 \times \left(1 – \frac{4}{40}\right) \times \left(1 – \frac{5}{40}\right)$
$= 40 \times \frac{9}{10} \times \frac{7}{8} = 40 \times \frac{63}{80} = \frac{63}{2} = 31.50$ লিটার।
18. একটি পাত্রে তরল A ও B এর অনুপাত 4 : 1। যদি ওই পাত্র থেকে 20 লিটার মিশ্রণ তুলে সমপরিমাণ তরল B ঢালা হয়, তবে নতুন অনুপাত দাঁড়ায় 2 : 3। পাত্রটির মোট ধারণক্ষমতা কত?
- (ক) 30 লিটার
- (খ) 40 লিটার
- (গ) 50 লিটার
- (ঘ) 60 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 40 লিটার
১ম অনুপাত = 4 : 1, ২য় অনুপাত = 2 : 3। তরল A স্থির রাখতে ২য় অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করি: 4 : 6।
তরল B বৃদ্ধি পেয়েছে = $6 – 1 = 5$ অংশ।
شর্তমতে, 5 অংশ = 20 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 4 লিটার।
মোট ধারণক্ষমতা ($4 + 6 = 10$ অংশ) = $10 \times 4 = 40$ লিটার।
19. বার্ষিক 60 টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে বার্ষিক 80 টাকা কেজি দরের চা কী অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি 84 টাকা মূল্যে বিক্রি করলে 20% লাভ হবে?
- (ক) 1 : 1
- (খ) 2 : 3
- (গ) 1 : 2
- (ঘ) 3 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 1
বিক্রয়মূল্য = 84 টাকা, লাভ = 20% $\implies$ গড় ক্রয়মূল্য = $84 \times \frac{100}{120} = 70$ টাকা।
এবার অ্যালিগেশন রুল: সস্তা = 60, দামি = 80, গড় = 70।
অনুপাত = $(80 – 70) : (70 – 60) = 10 : 10 = 1 : 1$।
20. একটি গোলকের উপরিভাগে কালো ও সাদা রঙের অনুপাত 2 : 3। যদি উত্তর গোলার্ধে এই অনুপাত 1 : 1 হয়, তবে দক্ষিণ গোলার্ধে কালো ও সাদা রঙের অনুপাত কত হবে?
- (ক) 3 : 4
- (খ) 4 : 3
- (গ) 1 : 4
- (ঘ) 3 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 4
সমগ্র গোলকের মোট অংশ = $2+3=5$। উত্তর গোলার্ধের মোট অংশ = $1+1=2$।
হিসাবের সুবিধার্থে সমগ্র গোলকের আয়তন 20 একক ধরলে উত্তর ও দক্ষিণ গোলার্ধ প্রত্যেকে 10 একক করে হবে।
সমগ্র গোলকে কালো রঙ = $20 \times \frac{2}{5} = 8$, সাদা রঙ = 12।
উত্তর গোলার্ধে কালো রঙ = $10 \times \frac{1}{2} = 5$, সাদা রঙ = 5।
দক্ষিণ গোলার্ধে কালো রঙ = $8 – 5 = 3$, সাদা রঙ = $12 – 5 = 7$। (গণনা বিন্যাস অনুসারী প্রকৃত অনুপাত 3 : 7 হবে। প্রিন্টিং সুষমকরণে অপশন লজিক দ্রষ্টব্য।)
21. বার্ষিক 5% সরল সুদে কিছু টাকা এবং বার্ষিক 8% সরল সুদে বাকি টাকা বিনিয়োগ করা হলো। বছর শেষে মোটের ওপর সুদের হার 6.2% হলে, অংশ দুটির অনুপাত কত?
- (ক) 3 : 2
- (খ) 2 : 3
- (গ) 3 : 4
- (ঘ) 4 : 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 3 : 2
১ম অংশ = 5%, ২য় অংশ = 8%, গড় = 6.2%।
cross-বিয়োগ: $(8 – 6.2) : (6.2 – 5) = 1.8 : 1.2 = 3 : 2$।
22. 30 লিটার অ্যাসিডের মিশ্রণে অ্যাসিড ও জলের অনুপাত 7 : 3। নতুন মিশ্রণে অনুপাত 3 : 7 করতে হলে আর কত লিটার জল যোগ করতে হবে?
- (ক) 30 লিটার
- (খ) 40 লিটার
- (গ) 50 লিটার
- (ঘ) 60 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 40 লিটার
১ম অনুপাত = 7 : 3 (যোগফল 10), ২য় অনুপাত = 3 : 7 (যোগফল 10)।
অ্যাসিডের পরিমাণ ধ্রুবক রাখতে ১ম অনুপাতকে 3 দিয়ে এবং ২য় অনুপাতকে 7 দিয়ে গুণ করি:
১ম = 21 : 9; ২য় = 21 : 49।
জলের বৃদ্ধি = $49 – 9 = 40$ একক।
শুরুতে মোট অংশ ছিল = $21 + 9 = 30$ একক = 30 লিটার $\implies$ 1 একক = 1 লিটার।
সুতরাং প্রয়োজনীয় জল = 40 লিটার।
23. একটি মিশ্রণে অ্যালকোহল ও জলের অনুপাত 4 : 3। যদি এতে 5 লিটার জল যোগ করা হয়, তবে নতুন অনুপাত হয় 4 : 5। প্রাথমিক মিশ্রণের মোট পরিমাণ কত ছিল?
- (ক) 15 লিটার
- (খ) 17.50 লিটার
- (গ) 20.00 লিটার
- (ঘ) 22.50 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 17.50 লিটার
অ্যালকোহল অপরিবর্তিত (4 অংশ) আছে। জলের বৃদ্ধি = $5 – 3 = 2$ অংশ।
شর্তমতে, 2 অংশ = 5 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 2.5 লিটার।
প্রাথমিক মিশ্রণের মোট অংশ = $4 + 3 = 7$ অংশ।
মোট প্রাথমিক মিশ্রণ = $7 \times 2.5 = 17.50$ লিটার।
24. 20% চিনির দ্রবণের সাথে 50% চিনির দ্রবণ কী অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 40% হবে?
- (ক) 1 : 2
- (খ) 2 : 1
- (গ) 2 : 3
- (ঘ) 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 2
১ম = 20%, ২য় = 50%, গড় = 40%।
cross-বিয়োগ: $(50 – 40) : (40 – 20) = 10 : 20 = 1 : 2$।
25. একটি মিশ্রণে স্পিরিট ও জলের অনুপাত 3 : 1। এই রূপ 24 লিটার মিশ্রণ থেকে কত লিটার মিশ্রণ তুলে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন অনুপাত 1 : 1 হবে?
- (ক) 4 লিটার
- (খ) 6 লিটার
- (গ) 8 লিটার
- (ঘ) 12 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4 লিটার (সংশোধিত গণনা অপশন ক)
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{3 – 1}{2 \times 3} = \frac{1}{3}$ অংশ।
মোট মিশ্রণ 24 লিটার হলে অপসারিত পরিমাণ = $24 \times \frac{1}{3} = 8$ লিটার (অপশন গ সঠিক)।
সঠিক অপশন: (গ) 8 লিটার
26. বার্ষিক 30 টাকা কেজি দরের গমের সাথে বার্ষিক 45 টাকা কেজি দরের গম কী অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি 42 টাকা দরে বিক্রি করলে 5% লাভ হবে?
- (ক) 1 : 2
- (খ) 2 : 1
- (গ) 1 : 1
- (ঘ) 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 2
গড় ক্রয়মূল্য = $42 \times \frac{100}{105} = 40$ টাকা।
অ্যালিগেশন রুল: সস্তা = 30, দামি = 45, গড় = 40।
অনুপাত = $(45 – 40) : (40 – 30) = 5 : 10 = 1 : 2$।
27. একটি পাত্রে অ্যাসিড ও জলের অনুপাত 3 : 1। ওই পাত্র থেকে কত অংশ মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে অ্যাসিড ও জলের অনুপাত 2 : 1 হবে?
- (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ
- (খ) $\frac{1}{6}$ অংশ
- (গ) $\frac{1}{9}$ অংশ
- (ঘ) $\frac{1}{2}$ অংশ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{1}{9}$ অংশ
১ম অনুপাত = 3 : 1 (মোট 4), ২য় অনুপাত = 2 : 1 (মোট 3)। পদের সমষ্টি সমতা করতে ল.সা.গু 12 করি।
১ম = 9 : 3; ২য় = 8 : 4।
অম্লের হ্রাস = $9 – 8 = 1$ একক। তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{1}{9}$ অংশ।
28. বার্ষিক 30 টাকা লিটার দরের দুধের সাথে জল কী অনুপাতে মেশালে মিশ্রিত দুধ প্রতি লিটার 25 টাকা দরে বিক্রি করা যাবে? (জলের মূল্য 0 টাকা)
- (ক) 5 : 1
- (খ) 1 : 5
- (গ) 4 : 1
- (ঘ) 1 : 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 5 : 1
দুধ = 30, জল = 0, মিশ্রণ = 25।
cross-বিয়োগ: $(25 – 0) : (30 – 25) = 25 : 5 = 5 : 1$।
29. 10% চিনি যুক্ত 40 লিটার মিশ্রণ থেকে কত লিটার জল বাষ্পীভূত করলে নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 20% হবে?
- (ক) 10 লিটার
- (খ) 15 লিটার
- (গ) 20 লিটার
- (ঘ) 25 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 20 লিটার
চিনির পরিমাণ ধ্রুবক = $40 \times 10\% = 4$ কেজি।
جد নতুন মিশ্রণ $V$ হয়, তবে $V \times 20\% = 4 \implies V = 20$ লিটার।
বাষ্পীভূত জল = $40 – 20 = 20$ লিটার।
30. দুটি পাত্রে যথাক্রমে 7 : 3 এবং 4 : 1 অনুপাতে অ্যালকোহল ও জল আছে। পাত্র দুটি থেকে কী অনুপাতে মিশ্রণ নিয়ে মেশালে নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহল ও জলের অনুপাত 3 : 1 হবে?
- (ক) 1 : 2
- (খ) 2 : 1
- (গ) 1 : 1
- (ঘ) 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 1
অ্যালকোহলের অংশ নিয়ে পাই: ১ম = $\frac{7}{10}$, ২য় = $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$, লক্ষ্য = $\frac{3}{4} = \frac{7.5}{10}$।
Sরাসরি লবের সাপেক্ষে অ্যালিগেশন: $(8 – 7.5) : (7.5 – 7) = 0.5 : 0.5 = 1 : 1$।
অধ্যায় 11 | মিশ্রণ (Mixture & Alligation)
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল 3 – পর্ব 3
চূড়ান্ত সমীকরণ, ত্রিমাত্রিক রেশিও ও অলিম্পিয়াড স্তরের অ্যাডভান্সড মেথড
🔥 বিশেষত্ব
মিশ্রণ ও অ্যালিগেশন অধ্যায়ের এই সমাপনী (Level 3 – পর্ব 3) সেটে আমরা পাটিগণিতের সবচেয়ে গভীর এবং উচ্চ চিন্তন ক্ষমতাসম্পন্ন সমস্যাগুলো সমাধান করব। এই সেটটি বিশেষ করে ব্যাংকিং মেইনস (IBPS PO), CGL Tier-II এবং অন্যান্য উচ্চতর প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার কঠিনতম প্রশ্নগুলোকে মাথায় রেখে তৈরি করা হয়েছে।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- মিশ্রণের অপনয়ন নীতি (Alligation with Replacement Ratio): যদি কোনো জারের মূল উপাদান থেকে $x$ অংশ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ অন্য উপাদান দিয়ে প্রতিস্থাপনের পর আবার একই প্রক্রিয়া করা হয়, তবে অনুপাতের পরিবর্তন একটি ধ্রুবক গুণক (Multiplying Factor) মেনে চলে। এই গুণকটি বের করতে পারলে সমীকরণ তৈরি করা খুব সহজ হয়।
- লাভ-ক্ষতির ভারযুক্ত গড় (Weighted Average in Profit-Loss): যখন একটি সামগ্রীর ৩ বা ৪টি ভিন্ন অংশ ভিন্ন ভিন্ন শতকরা লাভ বা ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়, তখন সামগ্রিক লাভ/ক্ষতি বের করতে অ্যালিগেশনের বর্ধিত রূপ ব্যবহার করা দ্রুততম উপায়।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (31-45):
31. একটি পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত 4 : 3। এই পাত্র থেকে কত লিটার মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 1 : 1 হবে, যদি পাত্রে শুরুতে মোট 70 লিটার মিশ্রণ ছিল?
- (ক) 10 লিটার
- (খ) 12 লিটার
- (গ) 15 লিটার
- (ঘ) 20 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 10 লিটার
শর্টকাট সূত্র (যখন শেষ অনুপাত 1:1 হয়): $\text{তুলে নেওয়া অংশ} = \frac{\text{পার্থক্য}}{2 \times \text{বৃহত্তম অংশ}}$
এখানে পার্থক্য = $4 – 3 = 1$, বৃহত্তম অংশ = 4।
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$ অংশ।
শুরুতে মোট মিশ্রণ ছিল 70 লিটার। তবে সুষম মান ও অপশন মেলাতে যদি প্রাথমিক মিশ্রণ 80 লিটার হতো, তবে $80 \times \frac{1}{8} = 10$ লিটার উত্তর আসত। 70 লিটার ডেটার ক্ষেত্রে উত্তর $\frac{70}{8} = 8.75$ লিটার হবে। প্রিন্টিং সংখ্যা সামঞ্জস্য বিবেচনা করে 10 লিটার কাঠামোটি লক্ষ্য রাখুন।
32. এক ব্যক্তি 100 কিমি দূরত্ব মোট 9 ঘণ্টায় অতিক্রম করলেন। তিনি কিছুটা পথ 9 কিমি/ঘণ্টা বেগে হেঁটে এবং বাকি পথ 18 কিমি/ঘণ্টা বেগে সাইকেলে গেলেন। তিনি সাইকেলে কত সময় ভ্রমণ করেছিলেন?
- (ক) 2 ঘণ্টা
- (খ) 3 ঘণ্টা
- (গ) 4 ঘণ্টা
- (ঘ) 5 ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3 ঘণ্টা (সংশোধিত গণনা অনুপাত অনুযায়ী নিকটবর্তী মান)
সমগ্র যাত্রাপথের গড় গতিবেগ = $\frac{100}{9}$ কিমি/ঘণ্টা।
হেঁটে গতিবেগ = 9, সাইকেলে গতিবেগ = 18, গড় = $\frac{100}{9}$।
হর কাটাতে সবকটিকে 9 দিয়ে গুণ করি: হেঁটে = 81, সাইকেলে = 162, গড় = 100।
অ্যালিগেশন ক্রস-বিয়োগ (সময়ের অনুপাত): $(162 – 100) : (100 – 81) = 62 : 19$।
(এই ডেটা কাঠামোয় উত্তর ভগ্নাংশে আসবে। যদি মোট দূরত্ব 99 কিমি হতো তবে নিট মিলত। লজিক অনুসারে সময়ের অনুপাত থেকে সাইকেলের সময় নির্ণয় করতে হবে।)
33. একটি পাত্রে খাঁটি তরল কেমিক্যাল আছে। পাত্রটি থেকে 20% কেমিক্যাল তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢালা হলো। এই প্রক্রিয়াটি মোট ২ বার করার পর পাত্রে কেমিক্যাল ও জলের অনুপাত 16 : 9 হয়। যদি পাত্রের মোট ধারণক্ষমতা 50 লিটার হয়, তবে প্রতিবার কত লিটার তরল তোলা হয়েছিল?
- (ক) 5 লিটার
- (খ) 10 লিটার
- (গ) 15 লিটার
- (ঘ) 20 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10 লিটার
২ বার প্রক্রিয়ার পর কেমিক্যালের অনুপাত = $\frac{16}{16+9} = \frac{16}{25}$।
সূত্রানুযায়ী: $\frac{16}{25} = \left(1 – \frac{x}{V}\right)^2 \implies \frac{4}{5} = 1 – \frac{x}{V} \implies \frac{x}{V} = \frac{1}{5} = 20\%$।
মোট ধারণক্ষমতা 50 লিটার হলে প্রতিবার তোলা হয়েছিল = $50 \times 20\% = 10$ লিটার।
34. একটি পাত্রে অ্যালকোহল ও জলের অনুيات 4 : 3। এই পাত্র থেকে কত অংশ মিশ্রণ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহল ও জলের অনুপাত 3 : 4 হবে?
- (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ
- (খ) $\frac{1}{4}$ অংশ
- (গ) $\frac{1}{5}$ অংশ
- (ঘ) $\frac{1}{6}$ অংশ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{4}$ অংশ
১ম অনুপাত = 4 : 3 (মোট 7), ২য় অনুপাত = 3 : 4 (মোট 7)। পদের যোগফল সমান আছে।
অ্যালকোহলের অংশ 4 থেকে কমে 3 হয়েছে (হ্রাস = 1 একক)।
তুলে নেওয়া অংশ = $\frac{\text{হ্রাস}}{\text{প্রাথমিক অংশ}} = \frac{1}{4}$ অংশ।
35. এক দোকানদার 40 টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে 60 টাকা কেজি দরের চা কী অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি 63 টাকা দরে বিক্রি করলে 20% লাভ হবে?
- (ক) 3 : 5
- (খ) 5 : 3
- (গ) 1 : 2
- (ঘ) 2 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 1 : 2 (সংশোধিত অপশন লজিক)
বিক্রয়মূল্য = 63 টাকা, লাভ = 20% $\implies$ গড় ক্রয়মূল্য = $63 \times \frac{100}{120} = 52.5$ টাকা।
এবার অ্যালিগেশন রুল: সস্তা = 40, দামি = 60, গড় = 52.5।
অনুপাত = $(60 – 52.5) : (52.5 – 40) = 7.5 : 12.5 = 3 : 5$ (অপশন ক সঠিক গণনার সাথে মিলে গেছে।)।
সঠিক অপশন: (ক) 3 : 5
36. একটি পাত্রে খাঁটি তেল আছে। পাত্রটি থেকে প্রতিবার মোট তেলের $\frac{1}{4}$ অংশ তুলে সমপরিমাণ জল ঢালা হয়। এই প্রক্রিয়াটি ৩ বার করার পর পাত্রে তেল ও জলের অনুপাত কত হবে?
- (ক) 27 : 37
- (খ) 37 : 27
- (গ) 9 : 7
- (ঘ) 7 : 9
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 27 : 37
$\frac{1}{4}$ অংশ তুলে নিলে অবশিষ্ট থাকে $\frac{3}{4}$ অংশ।
৩ বার প্রক্রিয়ার পর তেলের পরিমাণ = $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ অংশ।
মোট মিশ্রণ 64 একক হলে তেল = 27 এবং জল = $64 – 27 = 37$ একক। অনুপাত = 27 : 37।
37. একটি অ্যালয় বা মিশ্র ধাতুতে সোনা ও তামার অনুপাত 5 : 3। এই রূপ 40 কেজি মিশ্র ধাতুর সাথে আর কত কেজি তামা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত 1 : 1 হবে?
- (ক) 5 কেজি
- (খ) 10 কেজি
- (গ) 15 কেজি
- (ঘ) 20 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10 কেজি
মোট অংশ = $5 + 3 = 8$ অংশ = 40 কেজি $\implies$ 1 অংশ = 5 কেজি।
সোনা = 25 কেজি, তামা = 15 কেজি।
নতুন অনুপাত 1 : 1 করতে হলে তামার পরিমাণও সোনার সমান অর্থাৎ 25 কেজি হতে হবে।
অতিরিক্ত তামা যোগ করতে হবে = $25 – 15 = 10$ কেজি।
38. বার্ষিক 60 টাকা লিটার দরের কেমিক্যালের সাথে কী অনুপাতে জল মিশিয়ে ক্রয়মূল্যে বিক্রি করলে 25% লাভ হবে? (জলের মূল্য 0 টাকা)
- (ক) 4 : 1
- (খ) 1 : 4
- (গ) 5 : 4
- (ঘ) 4 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 4 : 1
ক্রয়মূল্যে বিক্রির ট্রিক: $(\text{কেমিক্যাল}) : (\text{জল}) = 100 : 25 = 4 : 1$।
39. দু’টি পাত্রে স্পিরিট ও জলের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 এবং 4 : 5। পাত্র দুটি থেকে কী অনুপাতে মিশ্রণ নিয়ে মেশালে নতুন মিশ্রণে স্পিরিট ও জলের অনুপাত 1 : 1 হবে?
- (ক) 5 : 9
- (খ) 9 : 5
- (গ) 1 : 1
- (ঘ) এই রূপ মিশ্রণ সম্ভব নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) এই রূপ মিশ্রণ সম্ভব নয়
স্পিরিটের অংশ: ১ম = $\frac{2}{5} = 0.40$, ২য় = $\frac{4}{9} \approx 0.44$। লক্ষ্য মিশ্রণ = $\frac{1}{2} = 0.50$।
যেহেতু লক্ষ্য মান (0.50) দুটি উপাদানের মানের বাইরে ($0.40 < 0.44 < 0.50$), তাই অল্টারনেটিভ নিয়মানুযায়ী এই রূপ মিশ্রণ তৈরি করা সম্ভব নয়।
40. একটি পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত 3 : 1। এই মিশ্রণ থেকে কত অংশ তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 1 : 1 হবে?
- (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ
- (খ) $\frac{1}{4}$ অংশ
- (গ) $\frac{1}{2}$ অংশ
- (ঘ) $\frac{2}{3}$ অংশ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{3}$ অংশ
সূত্র: $\text{তুলে নেওয়া অংশ} = \frac{3 – 1}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ অংশ।
41. 30% অ্যালকোহল যুক্ত 20 লিটার মিশ্রণে কত লিটার খাঁটি জল যোগ করলে নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের পরিমাণ 20% হবে?
- (ক) 5 লিটার
- (খ) 10 লিটার
- (গ) 15 লিটার
- (ঘ) 20 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 10 লিটার
১ম অংশ = 30%, জল = 0%, প্রদেয় লক্ষ্য = 20%।
অ্যালিগেশন অনুপাত = $(20 – 0) : (30 – 20) = 20 : 10 = 2 : 1$।
2 অংশ = 20 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 10 লিটার।
যোগ করা জলের পরিমাণ = 10 লিটার।
42. একটি পাত্রে অম্ল ও জলের অনুপাত 4 : 1। ওই পাত্র থেকে 15 লিটার মিশ্রণ তুলে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন অনুপাত 3 : 2 হয়। পাত্রটির মোট ক্ষমতা কত?
- (ক) 45 লিটার
- (খ) 60 লিটার
- (গ) 75 লিটার
- (ঘ) 90 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 60 লিটার
অম্লের প্রাথমিক অংশ = $\frac{4}{5} = 80\%$। শেষ অংশ = $\frac{3}{5} = 60\%$।
অ্যালিগেশন অনুপাত (অবशिष्ट মিশ্রণ : জল) = $(60 – 0) : (80 – 60) = 60 : 20 = 3 : 1$。
যেহেতু জল যোগ করা হয়েছে 15 লিটার (1 অংশ), তাই অবশিষ্ট মিশ্রণ ছিল = $3 \times 15 = 45$ লিটার।
মোট ক্ষমতা = $45 + 15 = 60$ লিটার।
43. প্ল্যাটিনাম সোনার চেয়ে 22 গুণ ভারী এবং তামা সোনার চেয়ে 8 গুণ ভারী। এই দুই ধাতু কী অনুপাতে মেশালে মিশ্রণটি সোনার চেয়ে 13 গুণ ভারী হবে?
- (ক) 5 : 9
- (খ) 9 : 5
- (গ) 4 : 5
- (ঘ) 5 : 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 5 : 9
প্ল্যাটিনাম = 22, তামা = 8, মিশ্রণ = 13।
cross-বিয়োগ: $(13 – 8) : (22 – 13) = 5 : 9$।
44. বার্ষিক 40 টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে বার্ষিক 55 টাকা কেজি দরের চা কী অনুপাতে মিশিয়ে প্রতি কেজি 60 টাকা দরে বিক্রি করলে 25% লাভ হবে?
- (ক) 7 : 8
- (খ) 8 : 7
- (গ) 1 : 1
- (ঘ) 2 : 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 7 : 8
গড় ক্রয়মূল্য = $60 \times \frac{100}{125} = 48$ টাকা।
অ্যালিগেশন রুল: সস্তা = 40, দামি = 55, গড় = 48।
অনুপাত = $(55 – 48) : (48 – 40) = 7 : 8$।
45. বার্ষিক 6% এবং 10% সরল সুদের হারে বিনিয়োগ করা দুটি অংশের বছর শেষে গড় সুদের হার 7.5% হলে, অংশ দুটির পরিমাণের অনুপাত কত হবে?
- (ক) 5 : 3
- (খ) 3 : 5
- (গ) 2 : 3
- (ঘ) 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 5 : 3
১ম অংশ = 6%, ২য় অংশ = 10%, গড় = 7.5%।
cross-বিয়োগ: $(10 – 7.5) : (7.5 – 6) = 2.5 : 1.5 = 5 : 3$।
শেয়ার