সঠিক উত্তর: (গ) $5\frac{7}{10}$ ঘণ্টা

10, 12 এবং 15-এর ল.সা.গু = 60 (মোট ক্ষমতা)। A = $+6$, B = $+5$, C = $+4$।
১ম ঘণ্টায় (A + B) কাজ করে = $6 + 5 = 11$ একক।
২য় ঘণ্টায় (A + C) কাজ করে = $6 + 4 = 10$ একক।
2 ঘণ্টার একটি চক্রে মোট পূর্ণ হয় = $11 + 10 = 21$ একক।
2টি চক্রে (4 ঘণ্টায়) পূর্ণ হয় = $21 \times 2 = 42$ একক।
5ম ঘণ্টায় (A + B) কাজ করবে = 11 একক। মোট কাজ হলো = $42 + 11 = 53$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $60 – 53 = 7$ একক।
6ষ্ঠ ঘণ্টায় (A + C) এর পালা, যাদের ক্ষমতা 10 একক/ঘণ্টা। এই 7 একক পূর্ণ করতে সময় লাগবে = $\frac{7}{10}$ ঘণ্টা।
মোট সময় = $5 + \frac{7}{10} = 5\frac{7}{10}$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 10 মিনিট

20, 30 এবং 40-এর ল.সা.গু = 120 (মোট ক্ষমতা)। A = $+6$, B = $+4$, C = $-3$।
ধরি, C নলটি $t$ মিনিট খোলা ছিল। অর্থাৎ প্রথম $t$ মিনিট তিনটি নলই একসাথেই চলছিল।
প্রথম $t$ মিনিটে কাজ হয়েছে = $t \times (6 + 4 – 3) = 7t$ একক।
C বন্ধ হওয়ার পর A ও B একত্রে বাকি কাজ 5 মিনিটে শেষ করে = $5 \times (6 + 4) = 50$ একক।
মোট কাজের সমীকরণ: $7t + 50 = 120 \implies 7t = 70 \implies t = 10$ মিনিট।
সুতরাং, C নলটি 10 মিনিট খোলা ছিল।

সঠিক উত্তর: (গ) 18000 লিটার

20 এবং 30-এর ল.সা.গু = 60 (মোট ক্ষমতা)।
ছিদ্রের নিজস্ব ক্ষমতা = $\frac{60}{20} = -3$
ছিদ্র ও নলের সম্মিলিত ক্ষমতা = $\frac{60}{30} = -2$
প্রবেশ নলের নিজস্ব ক্ষমতা = $-2 – (-3) = -2 + 3 = +1$ একক/ঘণ্টা।
প্রবেশ নলটি একা চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে সময় নেবে = $\frac{60}{1} = 60$ ঘণ্টা।
যেহেতু নলটি প্রতি মিনিটে 5 লিটার জল প্রবেশ করায়, চৌবাচ্চার ধারণক্ষমতা = $60 \text{ ঘণ্টা} \times 60 \text{ মিনিট} \times 5 \text{ লিটার} = 18000$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) $10\frac{10}{11}$ ঘণ্টা

15 এবং 20-এর ল.সা.গু = 60 (মোট ক্ষমতা)। A = $+4$, B = $+3$।
ধরি, চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগে $t$ ঘণ্টা।
A নল চলেছে $t$ ঘণ্টা এবং B নল চলেছে $\frac{t}{2}$ ঘণ্টা।
কাজের সমীকরণ: $4 \times t + 3 \times \left(\frac{t}{2}\right) = 60$
$\implies 4t + 1.5t = 60 \implies 5.5t = 60$
$\implies t = \frac{60}{5.5} = \frac{600}{55} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11}$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 2880 লিটার

6 এবং 8-এর ল.সা.গু = 24।
ছিদ্রের ক্ষমতা = $\frac{24}{6} = -4$
ছিদ্র ও নলের একত্রে ক্ষমতা = $\frac{24}{8} = -3$
প্রবেশ নলের নিজস্ব ক্ষমতা = $-3 – (-4) = -3 + 4 = +1$ একক/ঘণ্টা।
প্রবেশ নলের একা পূর্ণ করতে সময় লাগবে = $\frac{24}{1} = 24$ ঘণ্টা।
মোট ধারণক্ষমতা = $24 \text{ ঘণ্টা} \times 60 \text{ মিনিট} \times 2 \text{ লিটার} = 2880$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 3 মিনিট

18 এবং 24-এর ল.সা.গু = 72 (মোট ক্ষমতা)। A = $+4$, B = $+3$।
যেহেতু সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি 12 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং B নলটি পুরো সময় খোলা ছিল।
B নল 12 মিনিটে পূর্ণ করে = $12 \times 3 = 36$ একক।
অবশিষ্ট ক্ষমতা = $72 – 36 = 36$ একক, যা A নল পূর্ণ করেছিল।
A নলটি চালু ছিল = $\frac{36}{4} = 9$ মিনিট।
অর্থাৎ, A নলটি 12 মিনিটের মধ্যে 9 মিনিট খোলা ছিল। সুতরাং, কাজ শেষ হওয়ার $12 – 9 = 3$ মিনিট আগে A নলটি বন্ধ করা হয়েছিল।

সঠিক উত্তর: (খ) 150 গ্যালন

15, 20 এবং 12-এর ল.সা.গু = 60 (মোট ক্ষমতা)।
A নলের ক্ষমতা = $+4$
B নলের ক্ষমতা = $+3$
A + B + C এর সম্মিলিত ক্ষমতা = $\frac{60}{12} = +5$ একক।
C নলের নিজস্ব ক্ষমতা = $5 – (4 + 3) = 5 – 7 = -2$ একক/মিনিট।
C নল একা সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা খালি করতে সময় নেবে = $\frac{60}{2} = 30$ মিনিট।
যেহেতু এটি প্রতি মিনিটে 5 গ্যালন জল বের করে, মোট ধারণক্ষমতা = $30 \times 5 = 150$ গ্যালন।

সঠিক উত্তর: (গ) 30 ঘণ্টায়

10 এবং 15-এর ল.সা.গু = 30। A = 3, B = 2।
নল দুটির স্বাভাবিক একত্রে পূর্ণ করার সময় = $\frac{30}{3+2} = \frac{30}{5} = 6$ ঘণ্টা।
ছিদ্রের কারণে অতিরিক্ত 1.5 ঘণ্টা লেগেছে $\implies$ নল ও ছিদ্রের একত্রে সময় লেগেছে = $6 + 1.5 = 7.5$ ঘণ্টা।
নল ও ছিদ্রের সম্মিলিত ক্ষমতা = $\frac{30}{7.5} = 4$ একক/ঘণ্টা।
ছিদ্রের নিজস্ব ক্ষমতা = $4 – 5 = -1$ একক/ঘণ্টা।
ছিদ্র দিয়ে খালি হতে সময় লাগবে = $\frac{30}{1} = 30$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 24 মিনিট

30, 45, 36-এর ল.সা.গু = 180 (মোট ক্ষমতা)।
A = $+6$, B = $+4$, C = $-5$।
প্রথম 12 মিনিটে A ও B পূর্ণ করেছে = $12 \times (6 + 4) = 12 \times 10 = 120$ একক।
অবশিষ্ট খালি অংশ = $180 – 120 = 60$ একক।
C নল চালু হওয়ার পর তিনটির সম্মিলিত ক্ষমতা = $6 + 4 – 5 = +5$ একক/মিনিট।
অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে = $\frac{60}{5} = 12$ মিনিট।
চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে মোট সময় = $12 + 12 = 24$ মিনিট।

সঠিক উত্তর: (খ) 24 মিনিটে

12 এবং 16-এর ল.সা.গু = 48 (মোট ক্ষমতা)।
A + B এর ক্ষমতা = $\frac{48}{12} = 4$
B + C এর ক্ষমতা = $\frac{48}{16} = 3$
সমীকরণ: $5A + 7B + 13C = 48$
একে ভেঙে লিখলে: $5(A + B) + 2(B + C) + 11C = 48$
$\implies 5(4) + 2(3) + 11C = 48 \implies 20 + 6 + 11C = 48$
$\implies 11C = 48 – 26 = 22 \implies C = 2$ একক/মিনিট।
C একা সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে = $\frac{48}{2} = 24$ মিনিটে।

সঠিক উত্তর: (গ) $12\frac{1}{3}$ ঘণ্টা

12, 15, 20-এর ল.সা.গু = 60 (মোট ক্ষমতা)।
A = $+5$, B = $+4$, C = $-3$।
শর্টকাট ট্রিক: কাজ শেষ হওয়ার আগে বন্ধ হওয়া নলগুলোর কাজ যোগ করতে হয়।
নতুন মোট কাজ = $60 + (2 \times 5) + (1 \times 4) = 60 + 10 + 4 = 74$ একক।
তিনটি নলের নিট সম্মিলিত ক্ষমতা = $5 + 4 – 3 = 6$ একক/ঘণ্টা।
সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে মোট সময় লেগেছিল = $\frac{74}{6} = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3}$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) $14\frac{4}{7}$ ঘণ্টা

20, 30 এবং 40-এর ল.সা.গু = 120 (মোট ক্ষমতা)।
A = $+6$, B = $+4$, C = $-3$।
প্রথম 6 ঘণ্টায় A ও B একত্রে পূর্ণ করেছে = $6 \times (6 + 4) = 6 \times 10 = 60$ একক।
অবশিষ্ট খালি অংশ = $120 – 60 = 60$ একক।
C নল চালু হওয়ার পর তিনটির সম্মিলিত ক্ষমতা = $6 + 4 – 3 = +7$ একক/ঘণ্টা।
অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে = $\frac{60}{7} = 8\frac{4}{7}$ ঘণ্টা।
মোট সময় = $6 + 8\frac{4}{7} = 14\frac{4}{7}$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 5 টি

12 এবং 36-এর ল.সা.গু = 36 (মোট ক্ষমতা)।
পূর্ণকারী নলের ক্ষমতা (F) = $+3$। নিকাশি নলের ক্ষমতা (E) = $-1$।
যেহেতু সবগুলো নল একত্রে 3 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ করে, তাই সবগুলোর সম্মিলিত ক্ষমতা = $\frac{36}{3} = 12$।
ধরি, পূর্ণকারী নল আছে $x$ টি। তাহলে নিকাশি নল আছে $(8 – x)$ টি।
সমীকরণ: $x(3) + (8 – x)(-1) = 12$
$\implies 3x – 8 + x = 12 \implies 4x = 20 \implies x = 5$।
অর্থাৎ, পূর্ণকারী নলের সংখ্যা 5 টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 3 মিনিট (সংশোধিত অল্টারনেটিভ লজিক অনুযায়ী)

18 এবং 24-এর ল.সা.গু = 72 (মোট ক্ষমতা)। A = $+4$, B = $+3$।
যেহেতু সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি 12 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং B নলটি পুরো সময় খোলা ছিল।
B নল 12 মিনিটে পূর্ণ করে = $12 \times 3 = 36$ একক।
অবশিষ্ট ক্ষমতা = $72 – 36 = 36$ একক, যা A নল পূর্ণ করেছিল।
A নল খোলা ছিল = $\frac{36}{4} = 9$ মিনিট।
অর্থাৎ, A নলটি 12 মিনিটের মধ্যে 9 মিনিট খোলা ছিল। সুতরাং, কাজ শেষ হওয়ার $12 – 9 = 3$ মিনিট আগে A নলটি বন্ধ করা হয়েছিল।

সঠিক উত্তর: (খ) 1200 লিটার

30, 40 এবং 60-এর ল.সা.গু = 120 (ধরি, মোট ক্ষমতা = 120 একক)।
A নলের ক্ষমতা = $\frac{120}{30} = +4$
B নলের ক্ষমতা = $\frac{120}{40} = +3$
তিনটি নলের একত্রে ক্ষমতা = $\frac{120}{60} = +2$
C নলের নিজস্ব ক্ষমতা = $2 – (4 + 3) = 2 – 7 = -5$ একক/মিনিট।
C নলটি একা সম্পূর্ণ পুল খালি করতে সময় নেবে = $\frac{120}{5} = 24$ মিনিট।
যেহেতু এটি প্রতি মিনিটে 50 লিটার জল খালি করে, পুলটির মোট ধারণক্ষমতা = $24 \times 50 = 1200$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 10 দিনে

ধরি, A ও B একত্রে কাজটি $x$ দিনে শেষ করে।
শর্টকাট সূত্রানুযায়ী: $x = \sqrt{a \times b}$
এখানে $a = 5$ দিন এবং $b = 20$ দিন।
$x = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10$ দিন।

সঠিক উত্তর: (খ) 24 দিনে

A এবং B একত্রে 12 দিনে কাজ করে। তারা 5 দিন কাজ করেছে, অর্থাৎ তাদের আরও 7 দিনের কাজ বাকি ছিল।
সমীকরণ: $(A+B)$ এর 7 দিনের কাজ = B-এর 14 দিনের কাজ।
$\implies 7(A+B) = 14B \implies A+B = 2B \implies A = B$।
অর্থাৎ A এবং B-এর কর্মদক্ষতা সমান (1:1)।
উভয়ের সম্মিলিত দক্ষতা 2 হলে, মোট কাজ = $12 \times 2 = 24$ একক।
A একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = $\frac{24}{1} = 24$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 দিনে

3 দিন কাজ হয়ে গেছে, তাই 40 জন লোকের আর $15 – 3 = 12$ দিনের কাজ বাকি।
বর্তমানে মোট লোকসংখ্যা = $40 + 20 = 60$ জন।
MDH সূত্র: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$
$\implies 40 \times 12 = 60 \times D_2 \implies 480 = 60 \times D_2 \implies D_2 = 8$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 7 দিনে

10, 12, 15-এর ল.সা.গু = 60 (মোট কাজ)। A = 6, B = 5, C = 4।
A কাজ শেষ হওয়ার 5 দিন আগে চলে গেছে। B, A-এর 2 দিন পর চলে গেছে, অর্থাৎ B কাজ শেষ হওয়ার $5 – 2 = 3$ দিন আগে চলে গেছে।
শর্টকাট: চলে যাওয়া ব্যক্তিদের কাজ যোগ করি।
নতুন মোট কাজ = $60 + (5 \times 6) + (3 \times 5) = 60 + 30 + 15 = 105$ একক।
তিনজনের সম্মিলিত দক্ষতা = $6 + 5 + 4 = 15$ একক।
মোট সময় = $\frac{105}{15} = 7$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 12.5 দিনে

$10 \times (2M + 3B) = 8 \times (3M + 2B)$
$\implies 20M + 30B = 24M + 16B \implies 14B = 4M \implies 2M = 7B$।
মোট কাজ (বালক এককে) = $10 \times (7B + 3B) = 10 \times 10B = 100B$।
যাদের কাজ করতে হবে: 2M + 1B = $7B + 1B = 8B$।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{100B}{8B} = 12.5$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 1200 টাকা

15 এবং 20-এর ল.সা.গু = 60 (মোট কাজ)। A-এর দক্ষতা = 4, B-এর = 3।
A ও B একত্রে প্রথম 6 দিন করেছে = $6 \times (4 + 3) = 42$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $60 – 42 = 18$ একক। এই 18 একক কাজ C দুই দিনে করেছে, সুতরাং C-এর মোট কাজই হলো 18 একক।
মজুরি কাজের অনুপাতের সমানুপাতিক হয়। C 60 এককের মধ্যে 18 একক কাজ করেছে।
C-এর মজুরি = $\frac{18}{60} \times 4000 = 1200$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 24 দিনে

A : B = 150 : 100 = 3 : 2।
B : C = 80 : 100 = 4 : 5।
অনুপাত সমান করতে প্রথম অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করি: A : B : C = 6 : 4 : 5।
A এবং B এর একত্রে দক্ষতা = $6 + 4 = 10$ একক।
তারা 12 দিনে কাজ শেষ করে, সুতরাং মোট কাজ = $10 \times 12 = 120$ একক।
C একা কাজটি শেষ করবে = $\frac{120}{5} = 24$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 24 দিনে

18, 24, 36-এর ল.সা.গু = 72 (মোট কাজ)। A = 4, B = 3, C = 2।
3 দিনের একটি পূর্ণ চক্রে কাজ সম্পন্ন হয় = $4 + 3 + 2 = 9$ একক।
72 একক কাজ শেষ করতে চক্র লাগবে = $\frac{72}{9} = 8$ টি।
মোট সময় লাগবে = $8 \times 3 = 24$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 5 দিন

প্রথম 35 দিনে 100 জন লোক কাজ করেছে।
বাকি $40 – 35 = 5$ দিনে $100 + 100 = 200$ জন লোক কাজ করেছে।
মোট সম্পন্ন কাজ (ম্যান-ডে) = $(35 \times 100) + (5 \times 200) = 3500 + 1000 = 4500$ ম্যান-ডে।
যদি অতিরিক্ত লোক নিয়োগ না হতো, তবে 100 জন লোকই এই 4500 ম্যান-ডে কাজ করত।
সময় লাগত = $\frac{4500}{100} = 45$ দিন।
নির্ধারিত সময় ছিল 40 দিন, সুতরাং কাজ শেষ হতে দেরি হতো = $45 – 40 = 5$ দিন।

সঠিক উত্তর: (খ) 30 দিনে

দক্ষতা (Efficiency) = $\frac{\text{কাজ}}{\text{সময়}}$।
A-এর কাজ = $\frac{1}{2}$ এবং সময় = $\frac{3}{4}$।
A ও B-এর দক্ষতার অনুপাত = $\frac{1/2}{3/4} : \frac{1}{1} = \frac{4}{6} : 1 = \frac{2}{3} : 1 = 2 : 3$।
উভয়ের সম্মিলিত দক্ষতা = $2 + 3 = 5$ একক।
মোট কাজ = $18 \times 5 = 90$ একক।
B একা কাজটি করবে = $\frac{90}{3} = 30$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) $18\frac{3}{5}$ দিনে

15 এবং 25-এর ল.সা.গু = 75 (মোট কাজ)। A-এর দক্ষতা = 5, B-এর = 3।
2 দিনের একটি চক্রে কাজ হয় = $5 + 3 = 8$ একক।
9টি চক্রে ($9 \times 2 = 18$ দিনে) কাজ সম্পন্ন হবে = $9 \times 8 = 72$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $75 – 72 = 3$ একক।
19-তম দিনে A-এর পালা এবং সে তার ক্ষমতার 5 একক কাজ করতে পারে। 3 একক করতে সময় লাগবে = $\frac{3}{5}$ দিন।
মোট সময় = $18 + \frac{3}{5} = 18\frac{3}{5}$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 দিনে

সম্মিলিত দক্ষতা = $3 + 7 = 10$।
মোট কাজ = $10 \times 10.5 = 105$ একক।
8 দিনে তারা কাজ করেছে = $8 \times 10 = 80$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $105 – 80 = 25$ একক।
অবশিষ্ট কাজের 60% = $25 \times \frac{60}{100} = 15$ একক।
A এই 15 একক কাজ শেষ করবে = $\frac{15}{3} = 5$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 18 দিনে

সমীকরণ: $12(A + B) = 8A + 20B$
$\implies 12A + 12B = 8A + 20B \implies 4A = 8B \implies A = 2B$।
দক্ষতার অনুপাত (A : B) = 2 : 1।
মোট কাজ = $12 \times (2 + 1) = 36$ একক।
A একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = $\frac{36}{2} = 18$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 12 জন

$12 \text{ M} \times 8 = 16 \text{ W} \times 12 \implies 96 \text{ M} = 192 \text{ W} \implies 1 \text{ M} = 2 \text{ W}$।
মোট কাজ = $96 \text{ M}$।
8 জন পুরুষ এবং 8 জন মহিলা = $8\text{M} + 4\text{M} = 12\text{M}$।
তারা 6 দিনে কাজ করেছে = $12\text{M} \times 6 = 72\text{M}$।
অবশিষ্ট কাজ = $96\text{M} – 72\text{M} = 24\text{M}$।
এই কাজ 1 দিনে শেষ করতে 24 জন পুরুষের প্রয়োজন।
ইতিমধ্যে দলে 12M (পুরুষের সমতুল্য) আছে। অতিরিক্ত পুরুষ প্রয়োজন = $24 – 12 = 12$ জন।

সঠিক উত্তর: (ক) 12.4 দিনে

20, 24, 30-এর ল.সা.গু = 120 (মোট কাজ)। A = 6, B = 5, C = 4।
B কাজ শুরুর 4 দিন পর চলে গেছে $\implies$ B-এর 4 দিনের কাজ বিয়োগ করি = $120 – (4 \times 5) = 100$ একক। (B আর নেই)।
C কাজ শেষ হওয়ার 6 দিন আগে চলে গেছে $\implies$ C-এর 6 দিনের কাজ যোগ করি = $100 + (6 \times 4) = 124$ একক।
এই 124 একক কাজ A এবং C (কারণ C-এর কাজ কাল্পনিকভাবে যোগ করা হয়েছে) সম্পূর্ণ সময় $T$ ধরে করেছে।
A এবং C-এর সম্মিলিত দক্ষতা = $6 + 4 = 10$।
মোট সময় $T$ = $\frac{124}{10} = 12.4$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 12 দিনে

10, 12, 15-এর ল.সা.গু. = 60 (মোট কাজ)। A-এর কর্মদক্ষতা = 6, B-এর = 5, C-এর = 4।
A 2 দিনে করে = $6 \times 2 = 12$ একক।
B 2 দিনে করে = $5 \times 2 = 10$ একক।
C 2 দিনে করে = $4 \times 2 = 8$ একক।
1টি পূর্ণ চক্রে (অর্থাৎ $2 + 2 + 2 = 6$ দিনে) মোট কাজ সম্পন্ন হয় = $12 + 10 + 8 = 30$ একক।
60 একক কাজ সম্পন্ন করতে এই রূপ চক্র লাগবে = $\frac{60}{30} = 2$ টি।
মোট প্রয়োজনীয় সময় = $2 \times 6 = 12$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 18 দিনে

6 দিন কাজ হওয়ার পর 12 জন পুরুষের অবশিষ্ট কাজ ছিল = $18 – 6 = 12$ দিনের।
4 জন চলে যাওয়ায় বর্তমান পুরুষ সংখ্যা = $12 – 4 = 8$ জন।
জন-দিন সূত্রানুযায়ী: $12 \times 12 = 8 \times D$
$\implies 144 = 8 \times D \implies D = \frac{144}{8} = 18$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 24 দিনে

20 এবং 30-এর ল.সা.গু. = 60 (মোট কাজ)। A-এর কর্মদক্ষতা = 3, B-এর = 2।
7 দিনে A ও B একত্রে কাজ করেছে = $7 \times (3 + 2) = 7 \times 5 = 35$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $60 – 35 = 25$ একক।
C এই 25 একক কাজ 10 দিনে করেছে। C-এর কর্মদক্ষতা = $\frac{25}{10} = 2.5$ একক/দিন।
C একা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করবে = $\frac{60}{2.5} = 24$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 22.5 দিনে

কর্মদক্ষতার অনুপাত (A : B) = 3 : 1।
সময়ের অনুপাত (A : B) = 1 : 3।
সময়ের পার্থক্য = $3 – 1 = 2$ অংশ। শর্তমতে, 2 অংশ = 60 দিন $\implies$ 1 অংশ = 30 দিন।
A-এর কাজ শেষ করতে লাগে 30 দিন, B-এর লাগে 90 দিন।
মোট কাজ = 90 একক।
তারা একত্রে কাজটি শেষ করবে = $\frac{90}{3 + 1} = \frac{90}{4} = 22.5$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 দিনে

ধরি, A ও B একত্রে কাজটি $x$ দিনে শেষ করে।
শর্টকাট সূত্রানুযায়ী: $x = \sqrt{a \times b}$
এখানে $a = 4$ দিন এবং $b = 16$ দিন।
$x = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 30 জন

প্রাথমিক লোকসংখ্যা ($M_1$) = 110, দিন ($D_1$) = 48, সম্পন্ন কাজ ($W_1$) = 3 অংশ (ধরি)।
অবশিষ্ট দিন ($D_2$) = $92 – 48 = 44$ দিন। অবশিষ্ট কাজ ($W_2$) = $5 – 3 = 2$ অংশ।
জন-দিন সূত্র: $\frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2}$
$\implies \frac{110 \times 48}{3} = \frac{M_2 \times 44}{2}$
$\implies 110 \times 16 = M_2 \times 22 \implies 1760 = 22 \times M_2 \implies M_2 = \frac{1760}{22} = 80$ জন।
বর্তমান লোকসংখ্যা 110 জন, তাই বাদ দেওয়া যেতে পারে = $110 – 80 = 30$ জন।

সঠিক উত্তর: (গ) 6 জন

কর্মদক্ষতার অনুপাত: $1\text{W} = 2\text{M}$ এবং $1\text{B} = 0.5\text{M}$।
ধরি, পুরুষের দক্ষতা = 2 একক/দিন। তাহলে মহিলার দক্ষতা = 4 একক/দিন, বালকের দক্ষতা = 1 একক/দিন।
দলের দৈনিক মোট কাজ = $3(2) + 4(4) + 6(1) = 6 + 16 + 6 = 28$ একক।
সম্পূর্ণ কাজ = $28 \times 6 = 168$ একক।
7 দিনে শেষ করতে প্রতিদিন কাজ করতে হবে = $\frac{168}{7} = 24$ একক।
একজন মহিলার দক্ষতা 4 একক, সুতরাং মহিলা প্রয়োজন = $\frac{24}{4} = 6$ জন।

সঠিক উত্তর: (গ) 56 দিনে

$34 \times (5\text{M} + 8\text{W}) = 28 \times (4\text{M} + 18\text{W})$
উভয় দিককে 2 দিয়ে ভাগ করলে: $17(5\text{M} + 8\text{W}) = 14(4\text{M} + 18\text{W})$
$\implies 85\text{M} + 136\text{W} = 56\text{M} + 252\text{W} \implies 29\text{M} = 116\text{W} \implies 1\text{M} = 4\text{W}$।
প্রথম দলকে মহিলা এককে রূপান্তর করি: $5(4\text{W}) + 8\text{W} = 20\text{W} + 8\text{W} = 28\text{W}$।
$28\text{W}$ কাজটি করে 34 দিনে।
নির্ণেয় দল: $3\text{M} + 5\text{W} = 3(4\text{W}) + 5\text{W} = 12\text{W} + 5\text{W} = 17\text{W}$।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{28 \times 34}{17} = 28 \times 2 = 56$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) $6\frac{3}{5}$ দিনে

ল.সা.গু. = 60 (মোট কাজ)। A-এর দক্ষতা = 6, B-এর = 4, C-এর = 2।
১ম দিনে (A + B) কাজ করে = $6 + 4 = 10$ একক।
২য় দিনে (A + C) কাজ করে = $6 + 2 = 8$ একক।
2 দিনের চক্রে কাজ হয় = $10 + 8 = 18$ একক।
3টি চক্রে (6 দিনে) কাজ হবে = $18 \times 3 = 54$ একক।
অবশিষ্ট কাজ = $60 – 54 = 6$ একক।
7-তম দিনে (A + B) কাজ করবে, যাদের ক্ষমতা 10। 6 একক করতে সময় লাগবে = $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ দিন।
মোট সময় = $6\frac{3}{5}$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) $12\frac{4}{15}$ দিনে

ল.সা.গু. = 120 (মোট কাজ)। P = 6, Q = 5, R = 4।
P কাজ শেষের 4 দিন আগে এবং Q কাজ শেষের 8 দিন আগে চলে গেছে।
কাল্পনিকভাবে তাদের কাজ মোট কাজের সাথে যোগ করি: $120 + (4 \times 6) + (8 \times 5) = 120 + 24 + 40 = 184$ একক।
তিনজনের সম্মিলিত দক্ষতা = $6 + 5 + 4 = 15$ একক/দিন।
সম্পূর্ণ কাজ শেষ হতে সময় লেগেছিল = $\frac{184}{15} = 12\frac{4}{15}$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 12 দিন

ধরি, মোট অর্থ = 21 এবং 28-এর ল.সা.গু. = 84 টাকা।
A-এর দৈনিক মজুরি = $\frac{84}{21} = 4$ টাকা।
B-এর দৈনিক মজুরি = $\frac{84}{28} = 3$ টাকা।
দুজনের একত্রে দৈনিক মজুরি = $4 + 3 = 7$ টাকা।
একত্রে ওই অর্থে মজুরি দেওয়া যাবে = $\frac{84}{7} = 12$ দিনের।

সঠিক উত্তর: (গ) 8400 টি

15 এবং 20-এর ল.সা.গু. = 60 (মোট কাজের একক)। ১ম মিস্ত্রি = 4, ২য় মিস্ত্রি = 3।
স্বাভাবিক অবস্থায় তাদের সম্মিলিত কাজের ক্ষমতা = $4 + 3 = 7$ একক/ঘণ্টা।
কিন্তু তারা দেওয়ালটি 12 ঘণ্টায় শেষ করেছে। অর্থাৎ তাদের আসল সম্মিলিত কাজের হার = $\frac{60}{12} = 5$ একক/ঘণ্টা।
কাজের হ্রাসের পরিমাণ = $7 – 5 = 2$ একক/ঘণ্টা।
শর্তমতে, 2 একক সমতুল্য 280টি ইটের $\implies$ 1 একক = 140টি ইট।
দেওয়ালের মোট ইটের সংখ্যা (60 একক) = $60 \times 140 = 8400$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 দিনে

উভয় ক্ষেত্রেই কাজের পরিমাণ সমান।
সমীকরণ: $2A + 9B = 3A + 6B \implies 3B = A \implies A = 3B$।
কর্মদক্ষতার অনুপাত (A : B) = 3 : 1।
মোট কাজ = $(2 \times 3) + (9 \times 1) = 6 + 9 = 15$ একক।
A একা সম্পূর্ণ কাজটি করবে = $\frac{15}{3} = 5$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (খ) 12 দিনে

$16\text{M} \times 8 = 10 \times (8\text{M} + 9\text{W})$
$\implies 128\text{M} = 80\text{M} + 90\text{W} \implies 48\text{M} = 90\text{W}$
উভয় দিককে 6 দিয়ে ভাগ করলে: $8\text{M} = 15\text{W}$।
মোট কাজ = $16\text{M} \times 8 = 128\text{M}$।
যেহেতু $8\text{M} = 15\text{W}$, তাই $128\text{M} = 16 \times 15\text{W} = 240\text{W}$।
20 জন মহিলা এই কাজ শেষ করবে = $\frac{240\text{W}}{20\text{W}} = 12$ দিনে।

সঠিক উত্তর: (গ) 96 দিনে

সময়ের অনুপাত: $A : (B+C) = 3 : 1 \implies$ দক্ষতার অনুপাত: $A : (B+C) = 1 : 3$।
অর্থাৎ A-এর দক্ষতা = মোট দক্ষতার (1+3=4) $\frac{1}{4}$ অংশ।
একইভাবে, $B : (A+C) = 1 : 4 \implies$ B-এর দক্ষতা = মোট দক্ষতার (1+4=5) $\frac{1}{5}$ অংশ।
4 এবং 5-এর ল.সা.গু. 20। ধরি, তিনজনের মোট দক্ষতা = 20 একক/দিন।
A-এর দক্ষতা = $\frac{20}{4} = 5$ একক।
B-এর দক্ষতা = $\frac{20}{5} = 4$ একক।
তারা একত্রে কাজটি 24 দিনে করে $\implies$ মোট কাজ = $24 \times 20 = 480$ একক।
A একা সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করবে = $\frac{480}{5} = 96$ দিনে।