সঠিক উত্তর: (গ) 8000 টাকা

ধরি, আয় $5x, 3x$ এবং ব্যয় $9y, 5y$।
$5x – 9y = 2600$ (i)
$3x – 5y = 1800$ (ii)
ক্রস পদ্ধতিতে: $x$ এর অনুপাত = $\frac{(9 \times 1800) – (5 \times 2600)}{(5 \times 5) – (3 \times 9)} = \frac{16200 – 13000}{25 – 27}$
$\implies -2x = -3200 \implies x = 1600$
A এর আয় = $5x = 5 \times 1600 = 8000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 14 লিটার

অ্যাসিডের আনুপাতিক অংশ:
পাত্র A = $\frac{4}{7}$, পাত্র B = $\frac{5}{8}$, নতুন মিশ্রণ = $\frac{3}{5}$।
অ্যালিগেশন: $\left(\frac{5}{8} – \frac{3}{5}\right) : \left(\frac{3}{5} – \frac{4}{7}\right) = \frac{1}{40} : \frac{1}{35}$
অনুপাত (A : B) = $35 : 40 = 7 : 8$।
8 অংশ = 16 লিটার $\implies$ 1 অংশ = 2 লিটার।
A মিশ্রণের পরিমাণ = $7 \times 2 = 14$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 80 টি

মূল্যের অনুপাত = 8 : 4 : 3
মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত = $\left(\frac{8}{1}\right) : \left(\frac{4}{0.50}\right) : \left(\frac{3}{0.25}\right) = 8 : 8 : 12$
লঘিষ্ঠ করলে = $2 : 2 : 3$।
আনুপাতিক যোগফল = 7 অংশ। 7 অংশ = 280 $\implies$ 1 অংশ = 40।
50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = 2 অংশ = $2 \times 40 = 80$ টি।

সঠিক উত্তর: (গ) 3600 টাকা

প্রথমে $A:B:C:D$ বের করি:
$A : B = 1 : 2 \implies 3 : 6$
$B : C = 3 : 1 \implies 6 : 2$
অতএব $A : B : C = 3 : 6 : 2$।
আবার $C : D = 2 : 3$।
তাই $A : B : C : D = 3 : 6 : 2 : 3$।
মোট অনুপাত = $3+6+2+3 = 14$ অংশ = 5600 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 400 টাকা।
$A+B = 9$ অংশ = $9 \times 400 = 3600$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 100000 টাকা

হীরের মোট ওজন = $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ অংশ।
প্রকৃত দাম $\propto 10^2 = 100$ অংশ।
টুকরোগুলোর দাম $\propto 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ অংশ।
ক্ষতি = $100 – 30 = 70$ অংশ = 70000 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 1000 টাকা।
প্রকৃত দাম = $100 \times 1000 = 100000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ক) 15 বছর

ধরি, A এবং B এর বয়স $5x$ এবং $7x$।
শর্তমতে, $5x + 9 = 2(7x – 9)$
$\implies 5x + 9 = 14x – 18$
$\implies 9x = 27 \implies x = 3$
A এর বর্তমান বয়স = $5 \times 3 = 15$ বছর।

সঠিক উত্তর: (খ) 342 লিটার

যেহেতু উত্তোলিত পরিমাণ ভিন্ন, তাই সূত্রটি হবে: অবশিষ্ট দুধ = $C \times \left(1 – \frac{x}{C}\right) \times \left(1 – \frac{y}{C}\right)$
$= 400 \times \left(1 – \frac{20}{400}\right) \times \left(1 – \frac{40}{400}\right)$
$= 400 \times \frac{380}{400} \times \frac{360}{400} = 380 \times \frac{9}{10} = 38 \times 9 = 342$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 26 : 9

সম্পূর্ণ ছবির অনুপাত 4:3 (যোগফল 7) এবং উপরের অংশের 2:3 (যোগফল 5)।
ধরি, সম্পূর্ণ ছবির আয়তন $7 \times 5 \times 2 = 70$ একক।
সম্পূর্ণ ছবিতে নীল = 40, হলুদ = 30।
উপরের অংশের আয়তন = 35। উপরের অংশে নীল = $35 \times \frac{2}{5} = 14$, হলুদ = 21।
নিচের অংশে নীল = $40 – 14 = 26$ এবং হলুদ = $30 – 21 = 9$।
অনুপাত = 26 : 9।

সঠিক উত্তর: (গ) 9 : 8

লাফের সংখ্যার অনুপাত (কুকুর : খরগোশ) = 3 : 4।
লাফের দূরত্বের অনুপাত: 2 কুকুরের লাফ = 3 খরগোশের লাফ $\implies \frac{\text{কুকুর}}{\text{খরগোশ}} = \frac{3}{2}$।
গতিবেগ = লাফের সংখ্যা $\times$ লাফের দূরত্ব
গতিবেগের অনুপাত = $(3 \times 3) : (4 \times 2) = 9 : 8$।

সঠিক উত্তর: (গ) 80

ছাত্রদের মোট আনুপাতিক নম্বর = $4 \times 75 = 300$
ছাত্রীদের মোট আনুপাতিক নম্বর = $5 \times 84 = 420$
মোট নম্বর = $300 + 420 = 720$
মোট শিক্ষার্থী = $4 + 5 = 9$
গড় নম্বর = $\frac{720}{9} = 80$।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 কেজি

ধরি, ছাত্রীদের গড় ওজন $5x$। ছাত্রদের ওজন 20% বেশি, অর্থাৎ $6x$।
মোট ওজন = $3(6x) + 2(5x) = 18x + 10x = 28x$
মোট শিক্ষার্থী = $3 + 2 = 5$
গড় ওজন = $\frac{28x}{5}$।
শর্তমতে, $\frac{28x}{5} = 56 \implies 28x = 280 \implies x = 10$
ছাত্রদের গড় ওজন = $6x = 6 \times 10 = 60$ কেজি।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 : 6 : 10 : 9

লঘিষ্ঠ পূর্ণসংখ্যায় আনলে:
$A : B = 4 : 3$
$B : C = 3 : 5$
$C : D = 10 : 9$
$A : B$ এবং $B : C$ কে এক করলে $A : B : C = 4 : 3 : 5$
$C$ এর মান সমান করতে প্রথমটিকে 2 দিয়ে গুণ করি: $A : B : C = 8 : 6 : 10$
এখন $C : D = 10 : 9$, তাই $A : B : C : D = 8 : 6 : 10 : 9$।

সঠিক উত্তর: (খ) 20 লিটার

শর্টকাট সূত্র: যদি $a:b$ মিশ্রণ থেকে সমপরিমাণ জল মিশিয়ে $1:1$ করতে হয়, তবে উত্তোলিত অংশের পরিমাণ = $\frac{a-b}{2a}$।
উত্তোলিত অংশ = $\frac{7 – 3}{2 \times 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ অংশ।
মোট মিশ্রণ 70 লিটার। উত্তোলিত মিশ্রণ = $70 \times \frac{2}{7} = 20$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 1500 টাকা

C এর ব্যয়ের অনুপাত 2 অংশ = 2000 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 1000 টাকা।
A এর ব্যয় = $8 \times 1000 = 8000$ টাকা।
B এর ব্যয় = $5 \times 1000 = 5000$ টাকা।
B এর আয় = ব্যয় + সঞ্চয় = $5000 + 700 = 5700$ টাকা।
A এবং B এর আয়ের অনুপাত 5 : 3। B এর 3 অংশ = 5700 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 1900 টাকা।
A এর আয় = $5 \times 1900 = 9500$ টাকা।
A এর সঞ্চয় = $9500 – 8000 = 1500$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{x-y}{x+y}$

তৃতীয় সমানুপাতী $c$ হলে, $c = \frac{b^2}{a}$
$c = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}$
$= \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
$= \frac{x-y}{x+y}$।

সঠিক উত্তর: (ঘ) $6000$ টাকা

ধরি, আয় $3x, 2x$ এবং ব্যয় $5y, 3y$।
শর্তমতে, $3x – 5y = 1000$ এবং $2x – 3y = 1000$
ক্রস পদ্ধতিতে: $x$ এর অনুপাত = $\frac{(5 \times 1000) – (3 \times 1000)}{(3 \times 3) – (5 \times 2)} = \frac{5000 – 3000}{9 – 10} \implies -x = -2000 \implies x = 2000$
$A$ এর আয় = $3x = 3 \times 2000 = 6000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ক) $5$ লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে দুধ = $40 \times \frac{3}{4} = 30$ লিটার এবং জল = $10$ লিটার।
ধরি, $w$ লিটার জল মেশানো হলো।
নতুন অনুপাত: $\frac{30}{10 + w} = \frac{2}{1}$
$\implies 30 = 20 + 2w \implies 2w = 10 \implies w = 5$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) $38.4$ লিটার

সূত্র: অবশিষ্ট দুধ = $C \times \left(1 – \frac{x}{C}\right)^n$
যেখানে $C = 60$, $x = 12$ এবং $n = 2$ (মোট দুবার করা হয়েছে)।
অবশিষ্ট দুধ = $60 \times \left(1 – \frac{12}{60}\right)^2 = 60 \times \left(1 – \frac{1}{5}\right)^2$
$= 60 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 60 \times \frac{16}{25} = 12 \times \frac{16}{5} = \frac{192}{5} = 38.4$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) $45$ বছর

অনুপাতের পার্থক্য: $5 – 4 = 1$ অংশ এবং $6 – 5 = 1$ অংশ।
এই $1$ অংশের বৃদ্ধি হয়েছে $5$ বছরে। অর্থাৎ $1$ অংশ = $5$ বছর।
তাদের বর্তমান বয়সের আনুপাতিক যোগফল = $4 + 5 = 9$ অংশ।
মোট বয়স = $9 \times 5 = 45$ বছর।

সঠিক উত্তর: (খ) $132$ টি

মূল্যের অনুপাত = $13x, 11x, 7x$ টাকা।
মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত বের করতে হলে মূল্যকে মুদ্রার মান দিয়ে ভাগ করতে হবে:
$1$ টাকার মুদ্রা = $\frac{13x}{1} = 13x$ টি।
$50$ পয়সার মুদ্রা ($1$ টাকায় $2$ টি) = $11x \times 2 = 22x$ টি।
$25$ পয়সার মুদ্রা ($1$ টাকায় $4$ টি) = $7x \times 4 = 28x$ টি।
মোট মুদ্রা = $13x + 22x + 28x = 63x$
শর্তমতে, $63x = 378 \implies x = 6$
$50$ পয়সার মুদ্রা = $22 \times 6 = 132$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) $2$

ধরি, $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = k$
তাহলে, $a = 3k, b = 4k, c = 7k$
প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে: $\frac{3k + 4k + 7k}{7k} = \frac{14k}{7k} = 2$।

সঠিক উত্তর: (গ) $1500$ টাকা

$A = \frac{1}{2}(B + C) \implies \frac{A}{B+C} = \frac{1}{2}$।
মোট $3$ ভাগের $1$ ভাগ পায় $A$। $A$ এর টাকা = $3000 \times \frac{1}{3} = 1000$ টাকা।
একইভাবে, $B = \frac{1}{5}(A + C) \implies \frac{B}{A+C} = \frac{1}{5}$।
মোট $6$ ভাগের $1$ ভাগ পায় $B$। $B$ এর টাকা = $3000 \times \frac{1}{6} = 500$ টাকা।
অতএব $C$ এর টাকা = $3000 – (1000 + 500) = 1500$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) $12$

ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $7x$।
$\frac{5x – 9}{7x – 9} = \frac{7}{11}$
$\implies 55x – 99 = 49x – 63 \implies 6x = 36 \implies x = 6$
সংখ্যা দুটির পার্থক্য = $7x – 5x = 2x = 2 \times 6 = 12$।

সঠিক উত্তর: (গ) $7 : 5$

দুধের আনুপাতিক অংশ ধরি:
$A$ পাত্রে দুধ = $\frac{4}{7}$, $B$ পাত্রে দুধ = $\frac{2}{5}$।
নতুন পাত্রে দুধ হবে অর্ধেক = $\frac{1}{2}$।
অ্যালিগেশন: $\left(\frac{1}{2} – \frac{2}{5}\right) : \left(\frac{4}{7} – \frac{1}{2}\right)$
$= \frac{1}{10} : \frac{1}{14} = 14 : 10 = 7 : 5$।

সঠিক উত্তর: (ক) $16 : 35$

$\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}$
$\frac{A}{D} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{48}{105}$
$3$ দিয়ে কাটাকাটি করলে: $\frac{16}{35}$।
অতএব, $A : D = 16 : 35$।

সঠিক উত্তর: (খ) $204$ টাকা

ভগ্নাংশগুলোর হর ($2, 3, 4$) এর ল.সা.গু. = $12$।
পূর্ণসংখ্যার অনুপাত = $\left(\frac{1}{2}\times 12\right) : \left(\frac{2}{3}\times 12\right) : \left(\frac{3}{4}\times 12\right) = 6 : 8 : 9$।
মোট অনুপাত = $6 + 8 + 9 = 23$ অংশ।
প্রথম অংশ = $782 \times \frac{6}{23} = 34 \times 6 = 204$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) $575$ টাকা

$A$ এর আয় ($3$ অংশ) = $2400$ টাকা $\implies$ $1$ অংশ = $800$ টাকা।
$C$ এর আয় ($4$ অংশ) = $3200$ টাকা।
$A$ এর ব্যয় = $2400 – 300 = 2100$ টাকা।
$A$ এর ব্যয়ের অনুপাত ($4$ অংশ) = $2100$ টাকা $\implies$ ব্যয়ের $1$ অংশ = $525$ টাকা।
$C$ এর ব্যয় ($5$ অংশ) = $5 \times 525 = 2625$ টাকা।
$C$ এর সঞ্চয় = $3200 – 2625 = 575$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) $14$

ধরি, সংখ্যা তিনটি $3x, 2x, 5x$।
শর্তমতে, $(3x)^2 + (2x)^2 + (5x)^2 = 1862$
$9x^2 + 4x^2 + 25x^2 = 1862 \implies 38x^2 = 1862 \implies x^2 = 49 \implies x = 7$
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $2x = 2 \times 7 = 14$।

সঠিক উত্তর: (গ) $36000$ টাকা

মোট ওজন = $3 + 4 + 5 = 12$ অংশ।
প্রকৃত দাম $\propto 12^2 = 144$ অংশ।
টুকরোগুলোর দাম $\propto 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ অংশ।
ক্ষতি = $144 – 50 = 94$ অংশ = $23500$ টাকা $\implies$ $1$ অংশ = $250$ টাকা।
প্রকৃত দাম = $144 \times 250 = 36000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) $4 : 11$

ধরি, সমগ্র পৃথিবীর ক্ষেত্রফল $300$ বর্গ একক।
তাহলে স্থলভাগ = $100$, জল = $200$।
উত্তর গোলার্ধের ক্ষেত্রফল অর্ধেক, অর্থাৎ $150$ বর্গ একক।
উত্তর গোলার্ধে ($2:3$) স্থলভাগ = $150 \times \frac{2}{5} = 60$ এবং জল = $150 \times \frac{3}{5} = 90$।
দক্ষিণ গোলার্ধে স্থলভাগ = $100 – 60 = 40$
দক্ষিণ গোলার্ধে জল = $200 – 90 = 110$
দক্ষিণ গোলার্ধে অনুপাত = $40 : 110 = 4 : 11$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2400 টাকা

শর্তমতে, $\frac{A}{2} = \frac{B}{3} = \frac{C}{5}$।
অতএব, $A:B:C = 2:3:5$।
মোট অনুপাত = $2+3+5 = 10$ অংশ = 8000 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 800 টাকা।
A এবং C এর পার্থক্য = $(5 – 2)$ অংশ = 3 অংশ।
পার্থক্য = $3 \times 800 = 2400$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 20 : 9

ধরি, পুরুষ 50 জন এবং মহিলা 30 জন।
পুরুষ বৃদ্ধি পেল 20%: নতুন পুরুষ = $50 \times \frac{120}{100} = 60$ জন।
মহিলা হ্রাস পেল 10%: নতুন মহিলা = $30 \times \frac{90}{100} = 27$ জন।
নতুন অনুপাত = $60 : 27 = 20 : 9$।

সঠিক উত্তর: (খ) 15 দিন

কাজের ক্ষমতা ও সময় পরস্পর ব্যস্তানুপাতিক।
সময়ের অনুপাত (A : B) = 4 : 3।
A এর সময় (4 অংশ) = 20 দিন $\implies$ 1 অংশ = 5 দিন।
B এর সময় (3 অংশ) = $3 \times 5 = 15$ দিন।

সঠিক উত্তর: (গ) 16 : 25

বৃত্তের পরিধির অনুপাত এবং ব্যাসার্ধের অনুপাত একই হয়, অর্থাৎ 4:5।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক হয়।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $4^2 : 5^2 = 16 : 25$।

সঠিক উত্তর: (ক) 20 টি

ধরি, ময়ূর $M$ এবং হরিণ $H$।
$M + H = 50$
$2M + 4H = 160$
প্রথম সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করলে: $2M + 2H = 100$
বিয়োগ করলে: $2H = 60 \implies H = 30$ (হরিণ)
ময়ূর $M = 50 – 30 = 20$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 140 টাকা

শর্তমতে, $4A = 5B = 7C$
$4, 5, 7$ এর ল.সা.গু. 140 দিয়ে ভাগ করলে $A:B:C = 35 : 28 : 20$।
আনুপাতিক যোগফল = $35+28+20 = 83$।
দুঃখিত, যোগফল 83 হলে 350 দিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় ভাগ যায় না। এখানে প্রশ্নের অপশনে বা সংখ্যায় ভুল থাকতে পারে। তবে নিয়মটি হলো:
B এর অংশ = $350 \times \frac{28}{83}$।
(যাইহোক, যদি মোট টাকা 830 হতো, তবে B পেতো 280। লজিক এটাই।)

সংশোধন: যদি A, B, C এর অনুপাত $1/4 : 1/5 : 1/7$ হয় তবে $35:28:20$। মোট 83 অংশ। প্রশ্নটি কনসেপ্ট বোঝানোর জন্য দেওয়া হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 : 27

আয়তনের অনুপাত ব্যাসার্ধের ঘনের (cube) সমানুপাতিক।
আয়তনের অনুপাত = $2^3 : 3^3 = 8 : 27$।

সঠিক উত্তর: (ক) 27 : 32 : 35

ধরি, আয় 300, 400 এবং 500।
A এর কর 10%, অবশিষ্ট 90%: $300 \times 90\% = 270$
B এর কর 20%, অবশিষ্ট 80%: $400 \times 80\% = 320$
C এর কর 30%, অবশিষ্ট 70%: $500 \times 70\% = 350$
অবশিষ্ট আয়ের অনুপাত = $270 : 320 : 350 = 27 : 32 : 35$।

সঠিক উত্তর: (গ) 18 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে দুধের অংশ = $\frac{3}{5}$।
জল মেশানোর পর দুধের অংশ = $\frac{1}{5}$।
সূত্র: $\text{অবশিষ্ট অংশ} = \text{প্রাথমিক অংশ} \times \left(1 – \frac{x}{C}\right)$
$\frac{1}{5} = \frac{3}{5} \times \left(1 – \frac{20}{C}\right) \implies \frac{1}{3} = 1 – \frac{20}{C} \implies \frac{20}{C} = \frac{2}{3} \implies C = 30$ লিটার।
প্রাথমিক মিশ্রণে দুধ = $30 \times \frac{3}{5} = 18$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (ক) -18

$A=2, B=3, x=3, y=4$ ধরে মান বসালে:
$Ax + By = (2 \times 3) + (3 \times 4) = 6 + 12 = 18$
$Ay – Bx = (2 \times 4) – (3 \times 3) = 8 – 9 = -1$
মান = $\frac{18}{-1} = -18$।

সঠিক উত্তর: (গ) 150 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে জল = $50 \times 20\% = 10$ লিটার।
যেহেতু শুধুমাত্র গ্লিসারিন মেশানো হচ্ছে, জলের পরিমাণ (10 লিটার) অপরিবর্তিত থাকবে।
নতুন মিশ্রণে 5% জল = 10 লিটার $\implies$ 100% (মোট মিশ্রণ) = $\frac{10}{5} \times 100 = 200$ লিটার।
নতুন মিশ্রণ 200 লিটার। গ্লিসারিন মেশানো হয়েছে = $200 – 50 = 150$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (ক) 24 সেমি

$2, 3, 4$ এর ল.সা.গু. 12।
পূর্ণসংখ্যার অনুপাত = $6 : 4 : 3$।
আনুপাতিক যোগফল = $6 + 4 + 3 = 13$ অংশ।
13 অংশ = 104 সেমি $\implies$ 1 অংশ = 8 সেমি।
ক্ষুদ্রতম বাহু (3 অংশ) = $3 \times 8 = 24$ সেমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 300%

এখানে 12000 টাকার কোনো প্রয়োজন নেই।
$A=1$ এবং $C=3$।
$C$, $A$ এর কত গুণ = $\frac{3}{1} \times 100\% = 300\%$।

সঠিক উত্তর: (গ) 27:64

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ব্যাসার্ধের বর্গের ($r^2$) সমানুপাতিক।
$r_1^2 : r_2^2 = 9 : 16 \implies r_1 : r_2 = 3 : 4$
আয়তনের অনুপাত ব্যাসার্ধের ঘনের ($r^3$) সমানুপাতিক।
আয়তনের অনুপাত = $3^3 : 4^3 = 27 : 64$।

সঠিক উত্তর: (খ) 56.25 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে অ্যালকোহল = $450 \times \frac{5}{9} = 250$ লিটার এবং জল = 200 লিটার।
ধরি, $w$ লিটার জল মেশানো হলো।
নতুন অনুপাত: $\frac{250}{200 + w} = \frac{4}{5}$
$1250 = 800 + 4w \implies 4w = 450 \implies w = 112.5$ লিটার।
(দুঃখিত, আমার অপশন বাছাইয়ে ভুল ছিল। সঠিক উত্তর 112.5 লিটার হবে। অপশন গ সঠিক।)

সংশোধিত উত্তর: (গ) 112.5 লিটার