সঠিক উত্তর: (গ) 20 মি/সে

কিমি/ঘণ্টা থেকে মি/সে করতে $\frac{5}{18}$ দিয়ে গুণ করতে হয়।
গতিবেগ = $72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20$ মি/সে।

সঠিক উত্তর: (গ) 90 কিমি/ঘণ্টা

মি/সে থেকে কিমি/ঘণ্টা করতে $\frac{18}{5}$ দিয়ে গুণ করতে হয়।
গতিবেগ = $25 \times \frac{18}{5} = 5 \times 18 = 90$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 60 কিমি/ঘণ্টা

$\text{গতিবেগ} = \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}}$
গতিবেগ = $\frac{300}{5} = 60$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 36 কিমি

প্রথমে গতিবেগকে কিমি/ঘণ্টায় প্রকাশ করি: $5 \times \frac{18}{5} = 18$ কিমি/ঘণ্টা।
অতিক্রান্ত দূরত্ব = $\text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = 18 \times 2 = 36$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (ক) 48 কিমি/ঘণ্টা

যেহেতু দুটি ক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব সমান (অর্ধেক এবং অর্ধেক), তাই গড় গতিবেগের সূত্র হলো: $\frac{2xy}{x+y}$
গড় গতিবেগ = $\frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 6 কিমি

ধরি, দূরত্ব = $D$ কিমি।
শর্তানুযায়ী, যাওয়ার সময় + ফেরার সময় = 5 ঘণ্টা
$\implies \frac{D}{3} + \frac{D}{2} = 5$
$\implies \frac{2D + 3D}{6} = 5 \implies \frac{5D}{6} = 5 \implies 5D = 30 \implies D = 6$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 50 কিমি/ঘণ্টা

মোট দূরত্ব = $200 + 100 = 300$ কিমি।
মোট সময় = $4 + 2 = 6$ ঘণ্টা।
গড় গতিবেগ = $\frac{300}{6} = 50$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 60 মিনিট

গতিবেগ স্বাভাবিকের $\frac{3}{4}$ অংশ হলে, প্রয়োজনীয় সময় স্বাভাবিক সময়ের $\frac{4}{3}$ অংশ হবে।
সময়ের পার্থক্য = $\frac{4}{3} – 1 = \frac{1}{3}$ অংশ।
শর্তমতে, স্বাভাবিক সময়ের এই $\frac{1}{3}$ অংশ = 20 মিনিট।
অতএব, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সময় = $20 \times 3 = 60$ মিনিট।

সঠিক উত্তর: (গ) 300 কিমি

ধরি, দূরত্ব = $D$ কিমি।
প্রাথমিক গতিবেগ = 50 কিমি/ঘণ্টা। নতুন গতিবেগ = $50 + 10 = 60$ কিমি/ঘণ্টা।
সময়ের পার্থক্য 1 ঘণ্টা।
সমীকরণ: $\frac{D}{50} – \frac{D}{60} = 1$
ল.সা.গু. 300 $\implies \frac{6D – 5D}{300} = 1 \implies \frac{D}{300} = 1 \implies D = 300$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 80 কিমি/ঘণ্টা

দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{400}{4} = 100$ কিমি/ঘণ্টা।
অনুপাত অনুযায়ী, 5 অংশ = 100 কিমি/ঘণ্টা $\implies$ 1 অংশ = 20 কিমি/ঘণ্টা।
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ (4 অংশ) = $4 \times 20 = 80$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 ঘণ্টা পর

যেহেতু তারা পরস্পরের দিকে আসছে, তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ যোগ হবে।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $20 + 10 = 30$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হওয়ার সময় = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক গতিবেগ}} = \frac{120}{30} = 4$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 কিমি

যেহেতু দুজনেই একই দিকে দৌড়াচ্ছে, আপেক্ষিক গতিবেগ = $11 – 10 = 1$ কিমি/ঘণ্টা = $\frac{5}{18}$ মি/সে।
মাঝের দূরত্ব 200 মিটার। পুলিশ চোরটিকে ধরতে সময় নেবে = $\frac{200}{5/18} = \frac{200 \times 18}{5} = 720$ সেকেন্ড।
720 সেকেন্ডে চোরটি দৌড়াবে = $10 \text{ কিমি/ঘণ্টা} \times 720 \text{ সেকেন্ড}$
$= \left(10 \times \frac{5}{18}\right) \times 720$ মিটার = $50 \times 40 = 2000$ মিটার = 2 কিমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 384 কিমি

ধরি, মোট দূরত্ব = $2x$ কিমি (অর্থাৎ অর্ধেক দূরত্ব $x$ কিমি)।
$\frac{x}{40} + \frac{x}{60} = 8$
ল.সা.গু. 120 $\implies \frac{3x + 2x}{120} = 8 \implies 5x = 120 \times 8 = 960 \implies x = \frac{960}{5} = 192$।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $2x = 192 \times 2 = 384$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 20 সেকেন্ড

দূরত্ব = 6.6 কিমি = $6.6 \times 1000 = 6600$ মিটার।
গতিবেগ = 330 মি/সে।
সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{6600}{330} = 20$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) 6 কিমি

ধরি, দূরত্ব = $D$ কিমি।
আধা ঘণ্টা = $\frac{1}{2}$ ঘণ্টা।
সমীকরণ: $\frac{D}{3} – \frac{D}{4} = \frac{1}{2}$
$\implies \frac{4D – 3D}{12} = \frac{1}{2} \implies \frac{D}{12} = \frac{1}{2} \implies 2D = 12 \implies D = 6$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 ঘণ্টা

গাড়ি দুটি পরস্পরের দিকে আসছে, তাই আপেক্ষিক গতিবেগ যোগ হবে।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $20 + 30 = 50$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হওয়ার সময় = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক গতিবেগ}} = \frac{100}{50} = 2$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 9 মিনিট

একই দিকে যাওয়ার কারণে আপেক্ষিক গতিবেগ = $12 – 10 = 2$ কিমি/ঘণ্টা।
একে মিটার/সেকেন্ডে প্রকাশ করলে: $2 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{9}$ মি/সে।
মাঝের দূরত্ব 300 মিটার। সময় লাগবে = $\frac{300}{5/9} = \frac{300 \times 9}{5} = 540$ সেকেন্ড।
540 সেকেন্ড = $\frac{540}{60} = 9$ মিনিট।

সঠিক উত্তর: (ক) 12 কিমি/ঘণ্টা

যেহেতু যাতায়াতের দূরত্ব সমান, গড় গতিবেগের সূত্র = $\frac{2xy}{x+y}$
গড় গতিবেগ = $\frac{2 \times 10 \times 15}{10 + 15} = \frac{300}{25} = 12$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 45 মিনিট

গতিবেগ ও সময় পরস্পরের ব্যস্তানুপাতিক।
গতিবেগ স্বাভাবিকের $\frac{3}{4}$ অংশ হলে, প্রয়োজনীয় সময় হবে স্বাভাবিক সময়ের $\frac{4}{3}$ অংশ।
সময়ের পার্থক্য = $\frac{4}{3} – 1 = \frac{1}{3}$ অংশ।
শর্তমতে, সময়ের এই $\frac{1}{3}$ অংশ = 15 মিনিট।
অতএব, স্বাভাবিক সময় (1 অংশ) = $15 \times 3 = 45$ মিনিট।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 কিমি/ঘণ্টা

দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{400}{5} = 80$ কিমি/ঘণ্টা।
অনুপাত অনুযায়ী, 4 অংশ = 80 কিমি/ঘণ্টা $\implies$ 1 অংশ = 20 কিমি/ঘণ্টা।
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ (3 অংশ) = $3 \times 20 = 60$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 10 সেকেন্ড

খুঁটি অতিক্রম করার অর্থ ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা।
গতিবেগ মি/সে এককে: $54 \times \frac{5}{18} = 15$ মি/সে।
সময় = $\frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{150}{15} = 10$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) 25 সেকেন্ড

সেতু অতিক্রম করার ক্ষেত্রে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = $200 + 300 = 500$ মিটার।
গতিবেগ মি/সে এককে: $72 \times \frac{5}{18} = 20$ মি/সে।
সময় = $\frac{500}{20} = 25$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 7.2 কিমি/ঘণ্টা

গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{600 \text{ মিটার}}{5 \times 60 \text{ সেকেন্ড}} = \frac{600}{300} = 2$ মি/সে।
কিমি/ঘণ্টায় প্রকাশ: $2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 8.75 কিমি/ঘণ্টা

প্রথম পথের সময় = $\frac{30}{10} = 3$ ঘণ্টা। দ্বিতীয় পথের সময় = $\frac{40}{8} = 5$ ঘণ্টা।
মোট দূরত্ব = $30 + 40 = 70$ কিমি। মোট সময় = $3 + 5 = 8$ ঘণ্টা।
গড় গতিবেগ = $\frac{70}{8} = 8.75$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 1.32 কিমি

দূরত্ব = $\text{গতিবেগ} \times \text{সময়}$
দূরত্ব = $330 \times 4 = 1320$ মিটার।
কিলোমিটারে প্রকাশ: $\frac{1320}{1000} = 1.32$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) সকাল 10 টায়

সকাল 8 টা পর্যন্ত প্রথম ট্রেনটি একা 1 ঘণ্টা চলেছে।
1 ঘণ্টায় প্রথম ট্রেন যায় = 20 কিমি।
সকাল 8 টায় বাকি দূরত্ব = $110 – 20 = 90$ কিমি।
সকাল 8 টার পর আপেক্ষিক গতিবেগ = $20 + 25 = 45$ কিমি/ঘণ্টা।
বাকি দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে = $\frac{90}{45} = 2$ ঘণ্টা।
মিলিত হওয়ার সময় = সকাল 8 টা + 2 ঘণ্টা = সকাল 10 টায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 15 মিনিট

প্রতি ঘণ্টায় থামার সময় = $\frac{\text{বিশ্রাম ব্যতীত বেগ} – \text{বিশ্রাম সহ বেগ}}{\text{বিশ্রাম ব্যতীত বেগ}}$ ঘণ্টা।
থামার সময় = $\frac{60 – 45}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ ঘণ্টা।
মিনিটে প্রকাশ: $\frac{1}{4} \times 60 = 15$ মিনিট।

সঠিক উত্তর: (গ) 16 কিমি/ঘণ্টা

মোট দূরত্ব = $12 \times 2 = 24$ কিমি।
নতুন গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{নতুন সময়}} = \frac{24}{1.5} = \frac{240}{15} = 16$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 3 : 2

এই ধরনের অংকের শর্টকাট সূত্র: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
যেখানে $T_1 = 4$ এবং $T_2 = 9$।
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$। অর্থাৎ অনুপাত 3 : 2।

সঠিক উত্তর: (গ) 12.5 কিমি

শর্টকাট সূত্র: $\text{দূরত্ব} = \frac{V_1 \times V_2}{V_2 – V_1} \times \text{সময়ের পার্থক্য}$।
সময়ের পার্থক্য = 10 মিনিট দেরি এবং 15 মিনিট আগে = $(10 + 15) = 25$ মিনিট = $\frac{25}{60}$ ঘণ্টা।
দূরত্ব = $\frac{5 \times 6}{6 – 5} \times \frac{25}{60} = \frac{30}{1} \times \frac{25}{60} = \frac{25}{2} = 12.5$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 150 মিটার

ধরি, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $L$ মিটার।
খুঁটি অতিক্রম করার অর্থ নিজের দৈর্ঘ্য যাওয়া এবং প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমের অর্থ (নিজের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্ম) যাওয়া।
যেহেতু ট্রেনের গতিবেগ ধ্রুবক, তাই: $\frac{L}{15} = \frac{L + 100}{25}$
$\implies 25L = 15L + 1500 \implies 10L = 1500 \implies L = 150$ মিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 15 সেকেন্ড

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের যোগফল = $120 + 180 = 300$ মিটার।
বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = $42 + 30 = 72$ কিমি/ঘণ্টা।
মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর: $72 \times \frac{5}{18} = 20$ মি/সে।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}} = \frac{300}{20} = 15$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) 9 সেকেন্ড

একই অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = $68 – 8 = 60$ কিমি/ঘণ্টা।
মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর: $60 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{3}$ mi/সে।
ব্যক্তিকে অতিক্রম করার অর্থ ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য যাওয়া = 150 মিটার।
সময় = $\frac{150}{50/3} = \frac{150 \times 3}{50} = 3 \times 3 = 9$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (গ) 15 কিমি/ঘণ্টা

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $\text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = 45 \times \frac{40}{60} = 30$ কিমি।
30 মিনিটে (অর্থাৎ $\frac{30}{60} = 0.5$ ঘণ্টায়) এই দূরত্ব পার করতে নতুন প্রয়োজনীয় বেগ = $\frac{30}{0.5} = 60$ কিমি/ঘণ্টা।
গতিবেগ বাড়াতে হবে = $60 – 45 = 15$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 7.2 সেকেন্ড

ধরি, প্রতিটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 6 এবং 9-এর ল.সা.গু. = 18 মিটার।
১ম ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{18}{6} = 3$ মি/সে এবং ২য় ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{18}{9} = 2$ মি/সে।
বিপরীত অভিমুখে মোট দূরত্ব = $18 + 18 = 36$ মিটার এবং আপেক্ষিক বেগ = $3 + 2 = 5$ mi/সে।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{36}{5} = 7.2$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 6.4 কিমি/ঘণ্টা

যাতায়াতের দূরত্ব সমান হওয়ায় গড় গতিবেগের সূত্র = $\frac{2xy}{x+y}$
গড় গতিবেগ = $\frac{2 \times 4 \times 16}{4 + 16} = \frac{128}{20} = 6.4$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 89 সেকেন্ড

ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{\text{দৈর্ঘ্য}}{\text{সময়}} = \frac{240}{24} = 10$ মি/সে।
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমের মোট দূরত্ব = $\text{ট্রেনের দৈর্ঘ্য} + \text{প্ল্যাটফর্ম} = 240 + 650 = 890$ মিটার।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{890}{10} = 89$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (ক) 20 কিমি/ঘণ্টা

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $3 \times 4 = 12$ কিমি।
মোট সময় = $\frac{3}{10} + \frac{3}{20} + \frac{3}{30} + \frac{3}{60} = 3 \times \left(\frac{6 + 3 + 2 + 1}{60}\right) = 3 \times \frac{12}{60} = \frac{3}{5}$ ঘণ্টা।
গড় গতিবেগ = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{12}{3/5} = \frac{12 \times 5}{3} = 20$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 30 সেকেন্ড

বিপরীত অভিমুখে বৃত্তাকার ট্র্যাকে আপেক্ষিক বেগ যোগ হবে = $15 + 25 = 40$ মি/সে।
মিলিত হওয়ার সময় = $\frac{\text{ট্র‍্যাকের পরিধি}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}} = \frac{1200}{40} = 30$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 200 মিটার

ধরি, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $L$ মিটার।
গতিবেগ ধ্রুবক হওয়ায়: $\frac{L + 800}{100} = \frac{L + 400}{60}$
$\implies 3(L + 800) = 5(L + 400) \implies 3L + 2400 = 5L + 2000$
$\implies 2L = 400 \implies L = 200$ মিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 1 ঘণ্টা 12 মিনিট

গতিবেগ $\frac{6}{7}$ হলে নতুন প্রয়োজনীয় সময় স্বাভাবিকের $\frac{7}{6}$ গুণ হবে।
সময়ের তফাত = $\frac{7}{6} – 1 = \frac{1}{6}$ অংশ।
শর্তমতে, এই $\frac{1}{6}$ অংশ = 12 মিনিট $\implies$ সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সময় = $12 \times 6 = 72$ মিনিট = 1 ঘণ্টা 12 মিনিট।

সঠিক উত্তর: (খ) 66 কিমি/ঘণ্টা

আপেক্ষিক গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{120}{6} = 20$ মি/সে।
কিমি/ঘণ্টায় রূপান্তর: $20 \times \frac{18}{5} = 72$ কিমি/ঘণ্টা।
যেহেতু ব্যক্তিটি বিপরীত অভিমুখে আসছিল, তাই $\text{আপেক্ষিক বেগ} = \text{ট্রেনের বেগ} + \text{ব্যক্তির বেগ}$
$\implies 72 = \text{ট্রেনের বেগ} + 6 \implies \text{ট্রেনের বেগ} = 72 – 6 = 66$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 6 কিমি/ঘণ্টা

অনুকূলে বেগ = $\frac{20}{2} = 10$ কিমি/ঘণ্টা।
প্রতিকূলে বেগ = $\frac{4}{2} = 2$ কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে ব্যক্তির বেগ = $\frac{\text{অনুকূলে বেগ} + \text{প্রতিকূলে বেগ}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (ক) 50 কিমি

গতিবেগের তফাত = $14 – 10 = 4$ কিমি/ঘণ্টা।
এই গতিবেগের পার্থক্যের কারণে তিনি 20 কিমি বেশি পথ যান, সুতরাং মোট ভ্রমণের সময় = $\frac{20}{4} = 5$ ঘণ্টা।
প্রকৃত অতিক্রান্ত দূরত্ব = $\text{স্বাভাবিক বেগ} \times \text{সময়} = 10 \times 5 = 50$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 240 মিটার

গতিবেগ মিটার/সেকেন্ডে: $54 \times \frac{5}{18} = 15$ মি/সে।
ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে নিজের দৈর্ঘ্য যায়, অর্থাৎ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $15 \times 20 = 300$ মিটার।
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমের মোট দূরত্ব = $15 \times 36 = 540$ মিটার।
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = $\text{মোট দূরত্ব} – \text{ট্রেনের দৈর্ঘ্য} = 540 – 300 = 240$ মিটার।