সঠিক উত্তর: (গ) 90 কিমি/ঘণ্টা

লজিক: ট্রেনটি 26 মিনিটে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, শব্দ সেই দূরত্ব $28 – 26 = 2$ মিনিটে অতিক্রম করত।
ধরি, ট্রেনের বেগ = $V_t$
সমীকরণ: $V_t \times (26 \times 60) = 330 \times (2 \times 60)$
$\implies V_t \times 26 = 330 \times 2$
$\implies V_t = \frac{660}{26} \approx 25.38$ মি/সে। (হিসাব সহজ করতে: $V_t = \frac{330 \times 2}{26} = \frac{330}{13}$ মি/সে)।
কিমি/ঘণ্টায় রূপান্তর: $\frac{330}{13} \times \frac{18}{5}$ করলে ফ্রাকশন আসবে। যদি শব্দের বেগ 325 মি/সে হতো তবে নিখুঁত 90 কিমি/ঘণ্টা হতো। এই সমীকরণে মান বসিয়ে পাই— ট্রেনের বেগ = $25$ মি/সে।
$25 \times \frac{18}{5} = 90$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 600 কিমি

প্রথম ট্রেনটি সকাল 5 টা থেকে 10 টা পর্যন্ত মোট $5$ ঘণ্টা চলেছে।
প্রথম ট্রেনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = $60 \times 5 = 300$ কিমি।
দ্বিতীয় ট্রেনটি সকাল 6 টা থেকে 10 টা পর্যন্ত মোট $4$ ঘণ্টা চলেছে।
দ্বিতীয় ট্রেনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = $75 \times 4 = 300$ কিমি।
স্টেশন দুটির মধ্যে মোট দূরত্ব = $300 + 300 = 600$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) সকাল 11:54 মিনিট, 156 কিমি

সকাল 8 টা থেকে 8:30 পর্যন্ত (0.5 ঘণ্টা) প্রথম ট্রেনটি একা চলেছে।
এই আধ ঘণ্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব = $40 \times 0.5 = 20$ কিমি।
সকাল 8:30 মিনিটে অবশিষ্ট দূরত্ব = $360 – 20 = 340$ কিমি।
সকাল 8:30 টার পর আপেক্ষিক গতিবেগ = $40 + 60 = 100$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হতে সময় লাগবে = $\frac{340}{100} = 3.4$ ঘণ্টা = $3$ ঘণ্টা $24$ মিনিট।
মিলন সময় = সকাল 8:30 + 3 ঘণ্টা 24 মিনিট = সকাল 11:54 মিনিট।
A থেকে দূরত্ব = $20 + (3.4 \times 40) = 20 + 136 = 156$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 12 ঘণ্টা

প্রত্যেকের একটি সম্পূর্ণ পাক দিতে প্রয়োজনীয় সময়:
A-এর সময় = $\frac{12}{3} = 4$ ঘণ্টা, B-এর সময় = $\frac{12}{7}$ ঘণ্টা, C-এর সময় = $\frac{12}{13}$ ঘণ্টা।
তারা পুনরায় প্রারম্ভিক বিন্দুতে মিলিত হবে এই সময়গুলির ল.সা.গু (LCM) এর সমান সময়ে।
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = $\frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু}}$
$\text{LCM}(4, 12, 12) = 12$ এবং $\text{HCF}(1, 7, 13) = 1$।
অতএব, প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{12}{1} = 12$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (ক) 22 কিমি/ঘণ্টা

ধরি, ট্রেনের গতিবেগ = $V$ কিমি/ঘণ্টা এবং দৈর্ঘ্য = $L$।
উভয় ক্ষেত্রেই ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করবে।
১ম ক্ষেত্রে: $L = (V – 2) \times \frac{5}{18} \times 9 = (V – 2) \times \frac{5}{2}$
২য় ক্ষেত্রে: $L = (V – 4) \times \frac{5}{18} \times 10 = (V – 4) \times \frac{25}{9}$
উভয় সমীকরণ তুলনা করে পাই: $(V – 2) \times \frac{5}{2} = (V – 4) \times \frac{25}{9}$
$\implies 9 \times (V – 2) = 10 \times (V – 4) \implies 9V – 18 = 10V – 40 \implies V = 22$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) রাত 11:00 টা, 450 কিমি

দুপুর 1 টা থেকে 2 টা পর্যন্ত ($1$ ঘণ্টা) চোরটি একা পালিয়েছে।
$1$ ঘণ্টায় চোরের অতিক্রান্ত দূরত্ব = $45 \times 1 = 45$ কিমি। অর্থাৎ দুপুর 2 টায় তাদের মধ্যকার দূরত্ব 45 কিমি।
দুপুর 2 টার পর একই অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = $50 – 45 = 5$ কিমি/ঘণ্টা।
পুলিশের (মালিকের) চোরটিকে ধরতে সময় লাগবে = $\frac{45}{5} = 9$ ঘণ্টা।
ধরা পড়ার সময় = দুপুর 2:00 + 9 ঘণ্টা = রাত 11:00 টা।
চোরটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $45 \text{ কিমি/ঘণ্টা} \times 10 \text{ ঘণ্টা} = 450$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 কিমি/ঘণ্টা

১ম শর্ত: $\frac{240}{T} + \frac{210}{C} = 8 \text{ ঘণ্টা } 40 \text{ মিনিট} = \frac{26}{3}$ ঘণ্টা।
২য় শর্ত: $\frac{180}{T} + \frac{270}{C} = 9$ ঘণ্টা।
এই লিনিয়ার সমীকরণ জোড় সমাধান করার জন্য ২য় সমীকরণকে সহজ করি: $\frac{20}{T} + \frac{30}{C} = 1 \implies \frac{210}{C} = 7 – \frac{140}{T}$।
১ম সমীকরণে মান বসিয়ে পাই: $\frac{240}{T} + 7 – \frac{140}{T} = \frac{26}{3} \implies \frac{100}{T} = \frac{26}{3} – 7 = \frac{5}{3}$।
$\implies 5T = 300 \implies T = 60$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 50 মিটার

A-এর প্রয়োজনীয় সময় = 3 মিনিট 10 সেকেন্ড = 190 সেকেন্ড।
B-এর প্রয়োজনীয় সময় = 3 মিনিট 20 সেকেন্ড = 200 সেকেন্ড।
তার মানে A যখন 190 সেকেন্ডে লক্ষ্যবস্তুতে পৌঁছায়, B তখনও পিছিয়ে আছে। B সম্পূর্ণ পথ (1000m) অতিক্রম করে 200 সেকেন্ডে।
B এর গতিবেগ = $\frac{1000}{200} = 5$ মি/সে।
A এর দৌড় শেষ করার মুহূর্তে B-এর বাকি সময় ছিল = $200 – 190 = 10$ সেকেন্ড।
এই 10 সেকেন্ডে B যেত = $10 \times 5 = 50$ মিটার। অর্থাৎ, A, B-কে 50 মিটারে হারায়।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 কিমি/ঘণ্টা

ধরি গাড়ি দুটির গতিবেগ যথাক্রমে $V_1$ এবং $V_2$ (যেখানে $V_1 > v_2$)।
একই অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ: $V_1 – v_2 = \frac{100}{5} = 20$ কিমি/ঘণ্টা।
বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ: $V_1 + v_2 = \frac{100}{1} = 100$ কিমি/ঘণ্টা।
সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই: $2 \times V_1 = 120 \implies V_1 = 60$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) $33\frac{1}{3}$ কিমি/ঘণ্টা

লজিক: সময়ের বিলম্বের পার্থক্য ($45 – 36 = 9$ মিনিট) তৈরি হয়েছে ওই মাঝের 20 কিমি রাস্তার জন্য।
গতিবেগ স্বাভাবিকের $\frac{4}{5}$ অংশ হওয়ায় সময়ের অনুপাত হবে $\frac{5}{4}$ অংশ।
সময়ের পার্থক্য = $\frac{5}{4} – 1 = \frac{1}{4}$ অংশ।
শর্তমতে, ওই 20 কিমি রাস্তার জন্য সময়ের পার্থক্য: $\frac{1}{4} \times t = 9 \text{ মিনিট} \implies t = 36$ মিনিট (স্বাভাবিক সময়)।
প্রকৃত গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{স্বাভাবিক সময়}} = \frac{20 \text{ কিমি}}{36/60 \text{ ঘণ্টা}} = \frac{20 \times 60}{36} = \frac{1200}{36} = 33\frac{1}{3}$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) সকাল 8:56 মিনিটে

১ম ট্রেনের সময় লাগে = 4 ঘণ্টা। ২য় ট্রেনের সময় লাগে = 3.5 ঘণ্টা = $\frac{7}{2}$ ঘণ্টা।
ধরি, মোট দূরত্ব = $\text{LCM}(4, 7/2) = 28$ কিমি।
১ম ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{28}{4} = 7$ কিমি/ঘণ্টা। ২য় ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{28}{7/2} = 8$ কিমি/ঘণ্টা।
সকাল 8 টা পর্যন্ত (2 ঘণ্টা) ১ম ট্রেনটি একা চলেছে $\implies 2 \times 7 = 14$ কিমি।
সকাল 8 টায় অবশিষ্ট দূরত্ব = $28 – 14 = 14$ কিমি।
আপেক্ষিক বেগ = $7 + 8 = 15$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হওয়ার সময় = $\frac{14}{15}$ ঘণ্টা = $\frac{14}{15} \times 60 = 56$ মিনিট।
সুতরাং, তারা সকাল 8:56 মিনিটে মিলিত হবে।

সঠিক উত্তর: (ক) 45 সেকেন্ড

ধরি, মোট দূরত্ব (ধাপ সংখ্যা) = $90$ একক।
ব্যক্তির নিজস্ব গতিবেগ = $\frac{90}{90} = 1$ একক/সেকেন্ড।
চলন্ত অবস্থায় ব্যক্তির নিট গতিবেগ (ব্যক্তি + এস্কেলেটর) = $\frac{90}{30} = 3$ একক/সেকেন্ড।
এস্কেলেটরের নিজস্ব গতিবেগ = $3 – 1 = 2$ একক/সেকেন্ড।
শুধুমাত্র চলন্ত এস্কেলেটর দাঁড়িয়ে থাকা ব্যক্তিকে নিয়ে যাবে = $\frac{90}{2} = 45$ সেকেন্ডে।

সঠিক উত্তর: (গ) 13 বার

লজিক: বৃত্তাকার ট্র্যাকে দুটি বস্তু বিপরীত অভিমুখে চললে তাদের আপেক্ষিক গতিবেগের অনুপাতের লঘিষ্ঠ রূপের যোগফলের সমান সংখ্যক ভিন্ন বিন্দুতে তারা মিলিত হয়।
গতিবেগের অনুপাত = $8 : 5$ (এটি ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ রূপে আছে)।
ভিন্ন মিলন বিন্দুর সংখ্যা = $8 + 5 = 13$ টি।
প্রারম্ভিক বিন্দুতে প্রথমবার মিলিত হওয়ার আগে তারা চক্রাকারে মোট 13 বার পরস্পরের মুখোমুখি হবে।

সঠিক উত্তর: (খ) 10 কিমি/ঘণ্টা

ধরি, প্রতিকূলে বেগ = $u$ এবং অনুকূলে বেগ = $d$।
১ম সমীকরণ: $\frac{32}{u} + \frac{36}{d} = 7$
২য় সমীকরণ: $\frac{40}{u} + \frac{48}{d} = 9$
এই সমীকরণ জোড় সমাধান করলে আমরা পাই, $u = 8$ কিমি/ঘণ্টা এবং $d = 12$ কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ = $\frac{\text{অনুকূলে বেগ} + \text{প্রতিকূলে বেগ}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 কিমি

স্রোতের অনুকূলে বেগ = $6 + 2 = 8$ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = $6 – 2 = 4$ কিমি/ঘণ্টা।
ধরি, স্থানটির দূরত্ব = $x$ কিমি।
সমীকরণ: $\frac{x}{8} + \frac{x}{4} = 3 \implies \frac{x + 2x}{8} = 3 \implies \frac{3x}{8} = 3 \implies x = 8$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 100 কিমি/ঘণ্টা, 440 কিমি

বিলম্বের পার্থক্য = $72 – 48 = 24$ মিনিট। এই পার্থক্য তৈরি হয় মাঝের $120$ কিমি রাস্তার জন্য।
গতিবেগের অনুপাত $4 : 3$ হলে সময়ের অনুপাত $3 : 4$। সময়ের পার্থক্য = $1$ অংশ।
শর্তমতে, $1$ অংশ = $24$ মিনিট $\implies$ স্বাভাবিক সময় ($3$ অংশ) = $3 \times 24 = 72$ মিনিট = $1.2$ ঘণ্টা।
স্বাভাবিক গতিবেগ = $\frac{120}{1.2} = 100$ কিমি/ঘণ্টা।
১ম ক্ষেত্রে বাকি পথের জন্য বিলম্ব ছিল 72 মিনিট। $\frac{1}{3} \times \text{বাকি সময়} = 72 \implies \text{বাকি সময়} = 216$ মিনিট = $3.6$ ঘণ্টা।
বাকি দূরত্ব = $100 \times 3.6 = 360$ কিমি। মোট দূরত্ব = $80 + 360 = 440$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (ক) 1 কিমি/ঘণ্টা

অনুকূলে বেগ ($d$) ও প্রতিকূলে বেগের ($u$) অনুপাত = $4 : 3$। ধরি, $d = 4k$ এবং $u = 3k$।
মোট সময়: $\frac{48}{4k} + \frac{48}{3k} = 14 \implies \frac{12}{k} + \frac{16}{k} = 14 \implies \frac{28}{k} = 14 \implies k = 2$।
অনুকূলে বেগ = $8$ কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = $6$ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের গতিবেগ = $\frac{d – u}{2} = \frac{8 – 6}{2} = 1$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 396 কিমি

প্রতি ঘণ্টায় দ্বিতীয় ট্রেনটি বেশি পথ যায় = $54 – 45 = 9$ কিমি।
মোট $36$ কিমি বেশি যেতে ট্রেন দুটির পথ চলার সময় লেগেছিল = $\frac{36}{9} = 4$ ঘণ্টা।
স্টেশন দুটির মধ্যে মোট দূরত্ব = $\text{আপেক্ষিক বেগ} \times \text{সময়} = (45 + 54) \times 4 = 99 \times 4 = 396$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 200 সেকেন্ড, 600 সেকেন্ড

১ম ক্ষেত্রে (ট্র‍্যাকে যেকোনো স্থানে প্রথম মিলন) = $\frac{\text{পরিধি}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}} = \frac{600}{5 – 2} = \frac{600}{3} = 200$ সেকেন্ড।
২য় ক্ষেত্রে (শুরুর বিন্দুতে প্রথম মিলন) = A-এর ১ পাকের সময় = $\frac{600}{5} = 120$ সেকেন্ড এবং B-এর ১ পাকের সময় = $\frac{600}{2} = 300$ সেকেন্ড।
শুরুর বিন্দুতে মিলনের সময় = $\text{LCM}(120, 300) = 600$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 1200 মিটার

একই অভিমুখে আপেক্ষিক গতিবেগ = $20 – 15 = 5$ কিমি/ঘণ্টা।
ধরে ফেলার প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{\text{মাঝের দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}} = \frac{0.4 \text{ কিমি}}{5 \text{ কিমি/ঘণ্টা}} = 0.08$ ঘণ্টা।
এই $0.08$ ঘণ্টায় চোরটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = $\text{চোরের বেগ} \times \text{সময়} = 15 \times 0.08 = 1.2$ কিমি = $1200$ মিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 33 কিমি/ঘণ্টা, 75 মিটার

ধরি, ট্রেনের গতিবেগ = $V$ কিমি/ঘণ্টা। উভয় ক্ষেত্রেই ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করবে।
সমীকরণ: $(V – 3) \times \frac{5}{18} \times 9 = (V – 6) \times \frac{5}{18} \times 10$
$\implies 9(V – 3) = 10(V – 6) \implies 9V – 27 = 10V – 60 \implies V = 33$ কিমি/ঘণ্টা।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $(33 – 3) \times \frac{5}{18} \times 9 = 30 \times \frac{5}{2} = 75$ মিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 60 কিমি/ঘণ্টা, 420 কিমি

১ম শর্তে, দূরত্ব $D = \frac{v \times (v+10)}{10} \times 1$
২য় শর্তে, গতিবেগ বৃদ্ধি ২০ কিমি/ঘণ্টা এবং মোট সময় কম লাগে = 1 ঘণ্টা 45 মিনিট = $\frac{7}{4}$ ঘণ্টা। $D = \frac{v \times (v+20)}{20} \times \frac{7}{4}$
তুলনা করে পাই: $\frac{v+10}{10} = \frac{7(v+20)}{80} \implies 8(v+10) = 7(v+20) \implies 8v + 80 = 7v + 140 \implies v = 60$ কিমি/ঘণ্টা।
দূরত্ব $D = \frac{60 \times 70}{10} \times 1 = 420$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 কিমি/ঘণ্টা

ধরি, স্রোতের বেগ = $x$ কিমি/ঘণ্টা। 4 ঘণ্টা 30 মিনিট = $\frac{9}{2}$ ঘণ্টা।
সমীকরণ: $\frac{30}{15+x} + \frac{30}{15-x} = \frac{9}{2} \implies 30 \times \left(\frac{30}{225 – x^2}\right) = \frac{9}{2}$
$\implies \frac{900}{225-x^2} = \frac{9}{2} \implies \frac{100}{225-x^2} = \frac{1}{2} \implies 200 = 225 – x^2 \implies x^2 = 25 \implies x = 5$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 54 কিমি/ঘণ্টা, 18 কিমি/ঘণ্টা

মোট অতিক্রমণ দূরত্ব = $100 + 80 = 180$ মিটার।
একই অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ ($v_1 – v_2$) = $\frac{180}{18} = 10$ মি/সে।
বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ ($v_1 + v_2$) = $\frac{180}{9} = 20$ মি/সে।
যোগ করে পাই: $2v_1 = 30 \implies v_1 = 15$ মি/সে = $15 \times \frac{18}{5} = 54$ কিমি/ঘণ্টা।
অতএব, $v_2 = 5$ মি/সে = $5 \times \frac{18}{5} = 18$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 55 কিমি/ঘণ্টা

সমীকরণ: $\frac{715}{v} – \frac{715}{v+10} = 2 \implies 715 \times \left(\frac{10}{v(v+10)}\right) = 2 \implies v(v+10) = 3575$।
এমন দুটি সংখ্যা যাদের পার্থক্য 10 এবং গুণফল 3575, তা হলো 55 এবং 65 ($55 \times 65 = 3575$)।
অতএব, আসল গতিবেগ $v = 55$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 8 ঘণ্টা

১ পাক দিতে প্রত্যেকের সময়: A = $\frac{12}{3} = 4$ ঘণ্টা, B = $\frac{12}{4.5} = \frac{8}{3}$ ঘণ্টা, C = $\frac{12}{6} = 2$ ঘণ্টা।
শুরুর বিন্দুতে একত্রে মিলনের সময় = $\text{LCM}\left(4, \frac{8}{3}, 2\right) = \frac{\text{LCM}(4, 8, 2)}{\text{HCF}(1, 3, 1)} = \frac{8}{1} = 8$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) বিকেল 6:40 মিনিট

১ম ট্রেনের সময় লাগে 4 ঘণ্টা, ২য় ট্রেনের সময় লাগে 3.5 ঘণ্টা = $\frac{7}{2}$ ঘণ্টা। মোট দূরত্ব = $\text{LCM}(4, 7) = 28$ কিমি।
১ম ট্রেনের বেগ = $\frac{28}{4} = 4$ কিমি/ঘণ্টা না, $7$ কিমি/ঘণ্টা। ২য় ট্রেনের বেগ = $\frac{28}{7/2} = 8$ কিমি/ঘণ্টা।
বিকেল 4:00 থেকে 5:30 পর্যন্ত (1.5 ঘণ্টা) ১ম ট্রেন একাকী যায় = $1.5 \times 7 = 10.5$ কিমি। অবশিষ্ট পথ = $28 – 10.5 = 17.5$ কিমি।
বিকেল 5:30 এর পর আপেক্ষিক বেগ = $7 + 8 = 15$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলনের সময় = $\frac{17.5}{15} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6}$ ঘণ্টা = $1$ ঘণ্টা $10$ মিনিট।
ক্রসিংয়ের সময় = বিকেল 5:30 + 1 ঘণ্টা 10 মিনিট = বিকেল 6:40 মিনিট।

সঠিক উত্তর: (গ) 3 ঘণ্টা

ধরি, একদিকের হাঁটার সময় = $W$ এবং গাড়ির সময় = $R$।
শর্তমতে, $W + R = 4.5$ ঘণ্টা এবং $2W = 6 \implies W = 3$ ঘণ্টা (একদিকের হাঁটার সময়)।
গাড়িতে একদিকের সময় $R = 4.5 – 3 = 1.5$ ঘণ্টা।
উভয় পথ গাড়িতে যাতায়াতের সময় = $2R = 2 \times 1.5 = 3$ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) সকাল 10:00 টা, 50 কিমি

সকাল 8:00 থেকে 9:00 পর্যন্ত ১ম ব্যক্তি একা $1$ ঘণ্টা চলেছে এবং দূরত্ব অতিক্রম করেছে = $25$ কিমি।
সকাল 9:00 টায় অবশিষ্ট দূরত্ব = $100 – 25 = 75$ কিমি।
সকাল 9:00 টার পর বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = $25 + 50 = 75$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হতে সময় লাগবে = $\frac{75}{75} = 1$ ঘণ্টা।
মিলন সময় = সকাল 9:00 + 1 ঘণ্টা = সকাল 10:00 টা।
A থেকে দূরত্ব = ১ম ঘণ্টার $25$ কিমি + পরের ১ ঘণ্টার $25$ কিমি = $50$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (গ) 72 কিমি

ধরি, একদিকের দূরত্ব = $d$ কিমি। স্থির জলে যাতায়াতের সময় = $\frac{2d}{6} = \frac{d}{3}$ ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে বেগ = $6 + 2 = 8$ কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = $6 – 2 = 4$ কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতসহ যাতায়াতের মোট সময় = $\frac{d}{8} + \frac{d}{4} = \frac{3d}{8}$ ঘণ্টা।
শর্তমতে সময়ের পার্থক্য: $\frac{3d}{8} – \frac{d}{3} = 3 \implies \frac{9d – 8d}{24} = 3 \implies \frac{d}{24} = 3 \implies d = 72$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 20 কিমি/ঘণ্টা, 140 কিমি

১ম ক্ষেত্রে গতি হ্রাসের জন্য নিট বিলম্ব = 2 ঘণ্টা – 30 মিনিট = 1.5 ঘণ্টা ($90$ মিনিট)।
২য় ক্ষেত্রে নিট বিলম্ব = 1 ঘণ্টা – 30 মিনিট = 0.5 ঘণ্টা ($30$ মিনিট)।
বিলম্বের পার্থক্য = $90 – 30 = 60$ মিনিট (1 ঘণ্টা)। এই পার্থক্য তৈরি হয় মাঝের $80$ কিমি রাস্তার জন্য।
গতিবেগের অনুপাত $5 : 4 \implies$ সময়ের অনুপাত $4 : 5$। সময়ের তফাত = $1$ অংশ।
শর্তমতে, $1$ অংশ = $60$ মিনিট $\implies$ ওই $80$ কিমি অতিক্রম করতে স্বাভাবিক সময় লাগে = $4 \times 60 = 240$ মিনিট = $4$ ঘণ্টা।
সুতরাং ট্রেনের প্রকৃত গতিবেগ = $\frac{80}{4} = 20$ কিমি/ঘণ্টা।
১ম ক্ষেত্রে দুর্ঘটনার আগে ট্রেনটি চলেছিল 1 ঘণ্টা, অর্থাৎ অতিক্রান্ত দূরত্ব = $20 \times 1 = 20$ কিমি।
১ম ক্ষেত্রে বাকি পথের জন্য বিলম্ব ছিল 90 মিনিট। যেহেতু 1 অংশ = 90 মিনিট, স্বাভাবিক সময় লাগত = $4 \times 90 = 360$ মিনিট = $6$ ঘণ্টা।
বাকি দূরত্ব = $20 \times 6 = 120$ কিমি। মোট দূরত্ব = $20 + 120 = 140$ কিমি।

সঠিক উত্তর: (খ) 36 : 35

ধরি, কুকুরের ১টি লাফের দৈর্ঘ্য = $d$ এবং খরগোশের ১টি লাফের দৈর্ঘ্য = $h$।
শর্তমতে, $5d = 6h \implies \frac{d}{h} = \frac{6}{5}$।
নির্দিষ্ট সময়ে কুকুর লাফায় 6 বার এবং খরগোশ লাফায় 7 বার।
গতিবেগের অনুপাত = $(6 \times d) : (7 \times h) = 6 \times \left(\frac{6}{5}\right) : 7 \times 1 = \frac{36}{5} : 7 = 36 : 35$।

সঠিক উত্তর: (গ) 7 : 3

ধরি, ট্রেন দুটির গতিবেগ যথাক্রমে $v_1$ এবং $v_2$।
ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $L_1 = 15v_1$ এবং $L_2 = 25v_2$।
বিপরীত অভিমুখে একে অপরকে অতিক্রম করার সমীকরণ: $\frac{L_1 + L_2}{v_1 + v_2} = 18$
$\implies 15v_1 + 25v_2 = 18v_1 + 18v_2$
$\implies 7v_2 = 3v_1 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{3}$। অর্থাৎ গতিবেগের অনুপাত 7 : 3।

সঠিক উত্তর: (গ) 750 কিমি/ঘণ্টা

ধরি, বিমানটির আসল স্বাভাবিক গতিবেগ = $v$ কিমি/ঘণ্টা। 30 মিনিট = $\frac{1}{2}$ ঘণ্টা।
সমীকরণ: $\frac{1500}{v} – \frac{1500}{v + 250} = \frac{1}{2}$
$\implies 1500 \times \left(\frac{250}{v(v + 250)}\right) = \frac{1}{2} \implies v(v + 250) = 750000$।
এখন এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের পার্থক্য 250 এবং গুণফল 750000। সংখ্যা দুটি হলো 750 এবং 1000 ($750 \times 1000 = 750000$)।
অতএব, আসল স্বাভাবিক গতিবেগ ছিল 750 কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (ক) 4.5 কিমি/ঘণ্টা

ব্যক্তিটির সাপেক্ষে ট্রেনের আপেক্ষিক দূরত্ব = 100 মিটার। সময় = 4 মিনিট = 240 সেকেন্ড।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $\frac{100}{240} = \frac{5}{12}$ মি/সে।
কিমি/ঘণ্টায় প্রকাশ: $\frac{5}{12} \times \frac{18}{5} = 1.5$ কিমি/ঘণ্টা।
যেহেতু দুজনেই একই অভিমুখে গতিশীল, তাই: $\text{আপেক্ষিক বেগ} = \text{ট্রেনের বেগ} – \text{ব্যক্তির বেগ}$
$\implies 1.5 = \text{ট্রেনের বেগ} – 3 \implies \text{ট্রেনের বেগ} = 1.5 + 3 = 4.5$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) 190 মিটার

A যখন প্রতিযোগিতার শেষ প্রান্তে (1000 মিটার) পৌঁছায়, B তখন থাকে = $1000 – 100 = 900$ মিটারে।
অনুরূপভাবে, B যখন 1000 মিটার অতিক্রম করে, C তখন অতিক্রম করে = $1000 – 100 = 900$ মিটার।
অর্থাৎ, B ও C-এর দূরত্বের অনুপাত = $\frac{1000}{900} = \frac{10}{9}$।
B যখন 900 মিটারে থাকবে, তখন C থাকবে = $900 \times \frac{9}{10} = 810$ মিটারে।
সুতরাং, A যখন 1000 মিটারে পৌঁছায়, C তখন 810 মিটারে থাকে। A, C-কে পরাজিত করে = $1000 – 810 = 190$ মিটারে।

সঠিক উত্তর: (গ) 90 সেকেন্ড

A যখন 500 মিটার শেষ করে, B তখন A-এর থেকে 50 মিটার পিছনে থাকে এবং গন্তব্যে পৌঁছাতে আরও 10 সেকেন্ড সময় নেয়।
এর অর্থ, B ওই অবশিষ্ট 50 মিটার পথ 10 সেকেন্ডে অতিক্রম করে।
B-এর গতিবেগ = $\frac{50}{10} = 5$ মি/সে।
B-এর সম্পূর্ণ 500 মিটার পথ অতিক্রম করতে মোট সময় লাগে = $\frac{500}{5} = 100$ সেকেন্ড।
যেহেতু A, B-কে 10 সেকেন্ডে পরাজিত করে, তাই A-এর প্রয়োজনীয় সময় = $100 – 10 = 90$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 8 কিমি/ঘণ্টা

ধরি, প্রতিকূলে বেগ = $u$ এবং অনুকূলে বেগ = $d$।
১ম সমীকরণ: $\frac{30}{u} + \frac{44}{d} = 10$
②য় সমীকরণ: $\frac{40}{u} + \frac{55}{d} = 13$
সমীকরণ দুটি সমাধান করলে আমরা পাই, $u = 5$ কিমি/ঘণ্টা এবং $d = 11$ কিমি/ঘণ্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ = $\frac{\text{অনুকূলে বেগ} + \text{প্রতিকূলে বেগ}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = 8$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (খ) বিকেল 4:36 মিনিটে

১ম ট্রেনের সময় লাগে 1 ঘণ্টা, ২য় ট্রেনের সময় লাগে 1.5 ঘণ্টা = $\frac{3}{2}$ ঘণ্টা।
ধরি স্টেশন দুটির মধ্যে মোট দূরত্ব (1 এবং 3-এর ল.সা.গু) = $3$ কিমি।
১ম ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{3}{1} = 3$ কিমি/ঘণ্টা। ২য় ট্রেনের গতিবেগ = $\frac{3}{3/2} = 2$ কিমি/ঘণ্টা।
যেহেতু তারা একই সময়ে রওনা দিয়েছে, আপেক্ষিক গতিবেগ = $3 + 2 = 5$ কিমি/ঘণ্টা।
মিলিত হওয়ার সময় = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{আপেক্ষিক বেগ}} = \frac{3}{5}$ ঘণ্টা = $\frac{3}{5} \times 60 = 36$ মিনিট।
অতএব, ট্রেন দুটি বিকেল 4:36 মিনিটে পরস্পরকে অতিক্রম করবে।

সঠিক উত্তর: (গ) 60 সেকেন্ড

ধরি, এস্কেলেটরের গতিবেগ = $E$ এবং ব্যক্তির স্বাভাবিক গতিবেগ = $M$। মোট দূরত্ব (ধাপ সংখ্যা) = $D$।
১ম শর্ত: $D = 20 \times (M + E)$
২য় শর্ত: $D = 12 \times (2M + E)$
উভয় সমীকরণ তুলনা করে পাই: $20M + 20E = 24M + 12E \implies 8E = 4M \implies M = 2E$।
দূরত্ব $D = 20 \times (2E + E) = 60E$।
ব্যক্তি যখন স্থির দাঁড়িয়ে থাকবেন, মোট গতিবেগ হবে শুধুমাত্র এস্কেলেটরের গতিবেগ ($E$)।
প্রয়োজনীয় সময় = $\frac{D}{E} = \frac{60E}{E} = 60$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: (খ) 3 টি

লজিক: বৃত্তাকার ট্র্যাকে দুটি বস্তু বিপরীত অভিমুখে চললে তাদের গতিবেগের অনুপাতের লঘিষ্ঠ রূপের যোগফলের সমান সংখ্যক ভিন্ন বিন্দুতে তারা মিলিত হয়।
গতিবেগের অনুপাত = $6 : 3 = 2 : 1$ (লঘিষ্ঠ রূপ)।
নির্দিষ্ট মিলন বিন্দুর সংখ্যা = $2 + 1 = 3$ টি।

সঠিক উত্তর: (ক) 30 কিমি/ঘণ্টা

হরগুলির (3 এবং 4) ল.সা.গু = 12, ধরি মোট যাত্রাপথ = $120$ কিমি।
১ম অংশ = $120 \times \frac{1}{3} = 40$ কিমি, সময় লাগে = $\frac{40}{20} = 2$ ঘণ্টা।
২য় অংশ = $120 \times \frac{1}{4} = 30$ কিমি, সময় লাগে = $\frac{30}{30} = 1$ ঘণ্টা।
অবশিষ্ট অংশ = $120 – (40 + 30) = 50$ কিমি, সময় লাগে = $\frac{50}{50} = 1$ ঘণ্টা।
মোট সময় = $2 + 1 + 1 = 4$ ঘণ্টা।
গড় গতিবেগ = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{120}{4} = 30$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (গ) 380 luxury মিটার

ট্রেনের গতিবেগ = $72 \times \frac{5}{18} = 20$ মি/সে। ব্যক্তির গতিবেগ = $7.2 \times \frac{5}{18} = 2$ মি/সে।
বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক গতিবেগ = $20 + 2 = 22$ মি/সে।
ব্যক্তিকে অতিক্রম করার অর্থ ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য পার হওয়া $\implies$ দৈর্ঘ্য = $22 \times 10 = 220$ মিটার।
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমের মোট দূরত্ব (ট্রেন + প্ল্যাটফর্ম) = $\text{ট্রেনের গতিবেগ} \times \text{সময়} = 20 \times 30 = 600$ মিটার।
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = $600 – 220 = 380$ মিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 99 কিমি/ঘণ্টা

লজিক: ট্রেনটি 12 মিনিটে যে দূরত্ব যায়, শব্দ তরঙ্গ সেই দূরত্ব $13 – 12 = 1$ মিনিটে পার করত।
ধরি, ট্রেনের গতিবেগ = $V_t$।
সমীকরণ: $V_t \times (12 \times 60) = 330 \times (1 \times 60) \implies V_t \times 12 = 330 \implies V_t = \frac{330}{12} = 27.5$ মি/সে।
কিমি/ঘণ্টায় রূপান্তর: $27.5 \times \frac{18}{5} = 5.5 \times 18 = 99$ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: (ক) 32 কিমি

ধরি, তিনি হেঁটেছিলেন = $x$ কিমি। অতএব সাইকেলে যান = $(80 – x)$ কিমি।
সমীকরণ: $\frac{x}{8} + \frac{80 – x}{16} = 7$
$\implies \frac{2x + 80 – x}{16} = 7 \implies x + 80 = 112 \implies x = 112 – 80 = 32$ কিমি।