Average Level 3 (Advanced) – গড়ের Advanced MCQ ও Tricky Concepts | SSC CGL, WBCS, Banking
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ৩ – পর্ব ১
উচ্চতর বিশ্লেষণ ও লজিক্যাল প্রয়োগ
🔥 বিশেষত্ব
গড়ের এই অ্যাডভান্সড (Level 3) পর্বে WBCS Mains এবং SSC CGL-এর মতো পরীক্ষার উপযোগী কঠিন গাণিতিক সমস্যা রাখা হয়েছে। এখানে ক্রিকেট খেলার জটিল গড়, একাধিক সদস্যের প্রতিস্থাপন এবং সংখ্যাতত্ত্বের সাথে গড়ের মিশ্রণের মতো ট্রিকি অঙ্কগুলো সমাধান করা হবে।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- অতিরিক্ত খরচের শর্টকাট: যদি $n$-তম ব্যক্তি সবার গড়ের চেয়ে $y$ টাকা বেশি দেয়, তবে প্রকৃত গড় = $a + \frac{y}{n-1}$ (যেখানে $a$ হলো বাকিদের গড় খরচ)।
- অঙ্ক পরিবর্তনের প্রভাব: দুই অঙ্কের সংখ্যার স্থান পরিবর্তন করলে যোগফল বা বিয়োগফলের পার্থক্য সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়। পার্থক্য = $9 \times (\text{অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য})$।
- ক্রমিক সংখ্যার সংযোজন: $k$ টি ক্রমিক সংখ্যা যদি কোনো সিরিজের শেষে যুক্ত করা হয়, তবে গড় সর্বদা $\frac{k}{2}$ বৃদ্ধি পায়।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (১-১৫):
1. 40 টি সংখ্যার গড় 50। পরে দেখা গেল 65 এবং 35 সংখ্যা দুটি ভুল করে 56 এবং 54 লেখা হয়েছিল। সঠিক গড় কত?
- (ক) 49.25
- (খ) 49.50
- (গ) 49.75
- (ঘ) 50.25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 49.75
প্রাথমিক যোগফল = $40 \times 50 = 2000$
ভুল মানগুলোর যোগফল = $56 + 54 = 110$
সঠিক মানগুলোর যোগফল = $65 + 35 = 100$
সঠিক যোগফল = $2000 – 110 + 100 = 1990$
সঠিক গড় = $\frac{1990}{40} = 49.75$।
2. একজন ব্যাটসম্যান তার 12-তম ইনিংসে 90 রান করায় তার গড় 5 কমে যায়। 12-তম ইনিংসের পর তার নতুন গড় কত?
- (ক) 135
- (খ) 140
- (গ) 145
- (ঘ) 150
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 145
এখানে গড় কমে গেছে। অর্থাৎ নতুন গড় আগের গড়ের চেয়ে 5 কম।
নতুন গড় = শেষ ইনিংসের রান $+$ (আগের ইনিংস সংখ্যা $\times$ গড়ের হ্রাস)
নতুন গড় = $90 + (11 \times 5) = 90 + 55 = 145$।
3. একজন বোলারের বোলিং গড় ছিল 24.85। শেষ ম্যাচে তিনি 52 রান দিয়ে 5 উইকেট নেন, যার ফলে তার গড় 0.85 কমে যায়। শেষ ম্যাচের পর তার মোট উইকেট সংখ্যা কত?
- (ক) 75
- (খ) 80
- (গ) 85
- (ঘ) 90
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 85
ধরি, আগের উইকেট সংখ্যা $x$। মোট রান = $24.85x$
নতুন গড় = $24.85 – 0.85 = 24.00$
সমীকরণ: $\frac{24.85x + 52}{x + 5} = 24$
$24.85x + 52 = 24x + 120 \implies 0.85x = 68 \implies x = 80$
মোট উইকেট = $80 + 5 = 85$।
4. সপ্তাহের প্রথম 3 দিনের গড় তাপমাত্রা $27^\circ\text{C}$ এবং পরের 3 দিনের গড় তাপমাত্রা $29^\circ\text{C}$। পুরো সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা $28.5^\circ\text{C}$ হলে, শেষ দিনের তাপমাত্রা কত?
- (ক) $30.5^\circ\text{C}$
- (খ) $31^\circ\text{C}$
- (গ) $31.5^\circ\text{C}$
- (ঘ) $32^\circ\text{C}$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) $31.5^\circ\text{C}$
সপ্তাহের 7 দিনের মোট তাপমাত্রা = $7 \times 28.5 = 199.5^\circ\text{C}$
প্রথম 3 দিনের মোট = $3 \times 27 = 81^\circ\text{C}$
পরের 3 দিনের মোট = $3 \times 29 = 87^\circ\text{C}$
শেষ দিনের তাপমাত্রা = $199.5 – (81 + 87) = 199.5 – 168 = 31.5^\circ\text{C}$।
5. স্বামী ও স্ত্রীর বিয়ের সময় গড় বয়স ছিল 25 বছর। 7 বছর পর তাদের একটি সন্তানসহ পরিবারটির বর্তমান গড় বয়স 22 বছর। সন্তানের বয়স কত?
- (ক) 1 বছর
- (খ) 2 বছর
- (গ) 3 বছর
- (ঘ) 4 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2 বছর
বর্তমানে স্বামী ও স্ত্রীর মোট বয়স = $2 \times (25 + 7) = 64$ বছর।
বর্তমানে স্বামী, স্ত্রী ও সন্তানের মোট বয়স = $3 \times 22 = 66$ বছর।
সন্তানের বয়স = $66 – 64 = 2$ বছর।
6. 120 জন পরীক্ষার্থীর গড় নম্বর 35। পাস করা ছাত্রদের গড় নম্বর 39 এবং ফেল করা ছাত্রদের গড় 15 হলে, কতজন ছাত্র পাস করেছে?
- (ক) 80
- (খ) 90
- (গ) 100
- (ঘ) 110
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 100
অ্যালিগেশন (Alligation) ব্যবহার করে:
পাসের অনুপাত অংশ = $35 – 15 = 20$
ফেলের অনুপাত অংশ = $39 – 35 = 4$
অনুপাত (পাস : ফেল) = $20 : 4 = 5 : 1$
পাস করা ছাত্র = $\frac{5}{6} \times 120 = 100$ জন।
7. এক ব্যক্তি 4 টি সমান দূরত্ব যথাক্রমে 10, 20, 30 এবং 40 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করেন। তার সম্পূর্ণ যাত্রাপথের গড় গতিবেগ কত?
- (ক) 19.2 কিমি/ঘণ্টা
- (খ) 22.5 কিমি/ঘণ্টা
- (গ) 24 কিমি/ঘণ্টা
- (ঘ) 25 কিমি/ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 19.2 কিমি/ঘণ্টা
$n$ টি সমান দূরত্বের ক্ষেত্রে গড় গতিবেগ = $\frac{n}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \dots + \frac{1}{v_n}}$
$= \frac{4}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{40}} = \frac{4}{\frac{12 + 6 + 4 + 3}{120}} = \frac{4 \times 120}{25} = \frac{480}{25} = 19.2$ কিমি/ঘণ্টা।
8. একটি সংস্থায় পুরুষদের গড় বেতন 5200 টাকা এবং মহিলাদের গড় বেতন 4200 টাকা। সব কর্মীর গড় বেতন 5000 টাকা হলে, মহিলাদের শতকরা হার কত?
- (ক) 15%
- (খ) 20%
- (গ) 25%
- (ঘ) 30%
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 20%
অ্যালিগেশন ব্যবহার করে: (পুরুষ 5200, মহিলা 4200, গড় 5000)
পুরুষের অনুপাত = $5000 – 4200 = 800$
মহিলার অনুপাত = $5200 – 5000 = 200$
পুরুষ : মহিলা = $800 : 200 = 4 : 1$
মহিলার শতকরা হার = $\frac{1}{4 + 1} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$।
9. 19 জন বন্ধু হোটেলে খেতে গেল। 18 জন মাথাপিছু 50 টাকা দিল। 19-তম জন তাদের 19 জনের গড় খরচের চেয়ে 18 টাকা বেশি দিল। মোট কত খরচ হয়েছিল?
- (ক) 950 টাকা
- (খ) 969 টাকা
- (গ) 980 টাকা
- (ঘ) 1000 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 969 টাকা
শর্টকাট: প্রকৃত গড় = বাকিদের খরচ + $\frac{\text{অতিরিক্ত খরচ}}{\text{বাকিদের সংখ্যা}}$
গড় = $50 + \frac{18}{18} = 50 + 1 = 51$ টাকা।
মোট খরচ = $19 \times 51 = 969$ টাকা।
10. 9 টি ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গড় $x$। যদি সিরিজের শেষের দিকে আরও 2 টি ক্রমিক সংখ্যা যোগ করা হয়, তবে নতুন গড় কত হবে?
- (ক) $x + 0.5$
- (খ) $x + 1$
- (গ) $x + 1.5$
- (ঘ) $x + 2$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $x + 1$
ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে সিরিজে শেষে $k$ টি সংখ্যা যোগ করলে গড় $\frac{k}{2}$ বৃদ্ধি পায়।
এখানে 2 টি সংখ্যা যোগ করা হয়েছে, তাই গড় বৃদ্ধি পাবে $\frac{2}{2} = 1$।
নতুন গড় = $x + 1$।
11. 50 জন ছাত্রের গড় ওজন 48.6 কেজি। 20 জন ছাত্রের (Boys) ওজন বাদ দিলে বাকিদের গড় ওজন 0.5 কেজি কমে যায়। বাদ পড়া 20 জনের গড় ওজন কত?
- (ক) 48.8 কেজি
- (খ) 49.1 কেজি
- (গ) 49.35 কেজি
- (ঘ) 49.5 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 49.35 কেজি
50 জনের মোট ওজন = $50 \times 48.6 = 2430$ কেজি।
বাকি 30 জনের গড় = $48.6 – 0.5 = 48.1$ কেজি।
30 জনের মোট ওজন = $30 \times 48.1 = 1443$ কেজি।
বাদ পড়া 20 জনের মোট ওজন = $2430 – 1443 = 987$ কেজি।
তাদের গড় = $\frac{987}{20} = 49.35$ কেজি।
12. $x$ ও $y$ এর গড় 40, $y$ ও $z$ এর গড় 50, এবং $z$ ও $x$ এর গড় 60। $x$ এর মান কত?
- (ক) 30
- (খ) 40
- (গ) 50
- (ঘ) 60
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 50
$x + y = 2 \times 40 = 80$
$y + z = 2 \times 50 = 100$
$z + x = 2 \times 60 = 120$
সব যোগ করলে: $2(x + y + z) = 300 \implies x + y + z = 150$
অতএব, $x = 150 – (y + z) = 150 – 100 = 50$।
13. 10 টি দুই অঙ্কের সংখ্যার গড় $A$। একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে গড় 3.6 কমে যায়। ওই সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য কত?
- (ক) 2
- (খ) 3
- (গ) 4
- (ঘ) 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 4
গড় কমেছে 3.6, তাই মোট যোগফল কমেছে $10 \times 3.6 = 36$।
অর্থাৎ সংখ্যাটি এবং তার স্থান পরিবর্তিত রূপের পার্থক্য 36।
আমরা জানি, এই পার্থক্য সর্বদা $9 \times (\text{অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য})$ হয়।
$9 \times \text{পার্থক্য} = 36 \implies \text{পার্থক্য} = 4$।
14. একটি কারখানায় 30 দিনের একটি মাসে প্রতিদিন গড়ে 450 টি খেলনা তৈরি হয়। ছুটির দিনে উৎপাদন 0। কারখানাটি 24 দিন খোলা থাকলে কাজের দিনে গড় উৎপাদন কত?
- (ক) 500.5
- (খ) 540
- (গ) 562.5
- (ঘ) 600
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 562.5
মাসের মোট উৎপাদন = $30 \times 450 = 13500$ টি।
এই পুরো উৎপাদন হয়েছে 24 কাজের দিনে (যেহেতু ছুটির দিনে উৎপাদন শূন্য)।
কাজের দিনে গড় উৎপাদন = $\frac{13500}{24} = 562.5$ টি।
15. A, B এবং C এর গড় ওজন 84 কেজি। D যোগ দিলে গড় 80 কেজি হয়। E (যার ওজন D এর চেয়ে 3 কেজি বেশি), যদি A এর জায়গায় আসে, তবে B, C, D, E এর গড় হয় 79 কেজি। A এর ওজন কত?
- (ক) 72 কেজি
- (খ) 74 কেজি
- (গ) 75 কেজি
- (ঘ) 78 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 75 কেজি
$A + B + C = 3 \times 84 = 252$
$A + B + C + D = 4 \times 80 = 320 \implies D = 320 – 252 = 68$
$E = D + 3 = 68 + 3 = 71$
$B + C + D + E = 4 \times 79 = 316$
$B + C + 68 + 71 = 316 \implies B + C = 316 – 139 = 177$
$A = (A + B + C) – (B + C) = 252 – 177 = 75$ কেজি।
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ৩ – পর্ব ২
উচ্চতর বিশ্লেষণ ও লজিক্যাল প্রয়োগ
🔥 বিশেষত্ব
অ্যাডভান্সড লেভেলের এই দ্বিতীয় পর্বে আমরা গড়ের সাথে অনুপাত ও সমানুপাতের মিশ্রণ, অজানা রাশির লজিক্যাল মান নির্ণয় এবং জটিল শর্তযুক্ত সমস্যাগুলো দেখব। এই ধরনের অঙ্কগুলো সাধারণত CGL Tier-II বা ব্যাঙ্ক PO পরীক্ষাতে বেশি আসে।
📑 অ্যাডভান্সড টিপস
- ওজনযুক্ত গড় (Weighted Average): যখন ভিন্ন ভিন্ন দলের ভিন্ন ভিন্ন গড় দেওয়া থাকে, তখন তাদের অনুপাত ব্যবহার করে সম্মিলিত গড় নির্ণয় করতে হয়: $\frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2}$।
- পার্থক্য বন্টন: যদি একটি দলের সদস্য পরিবর্তিত হয় এবং গড় বৃদ্ধি পায়, তবে নতুন সদস্যের মান = পুরনো মান $+$ (সদস্য সংখ্যা $\times$ গড়ের বৃদ্ধি)।
- শর্তযুক্ত গড়: যদি $a, b, c$ এর গড় $x$ হয় এবং $ab + bc + ca = 0$ হয়, তবে $a^2, b^2, c^2$ এর গড় হবে $3x^2$।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (১৬-৩০):
16. $a, b, c$ এর গড় $m$ এবং $ab + bc + ca = 0$ হলে, $a^2, b^2, c^2$ এর গড় কত?
- (ক) $m^2$
- (খ) $3m^2$
- (গ) $6m^2$
- (ঘ) $9m^2$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $3m^2$
দেওয়া আছে, $\frac{a + b + c}{3} = m \implies a + b + c = 3m$।
আমরা জানি, $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$।
যেহেতু $ab+bc+ca=0$, তাই $(3m)^2 = a^2+b^2+c^2 + 0 \implies a^2+b^2+c^2 = 9m^2$।
$a^2, b^2, c^2$ এর গড় = $\frac{a^2+b^2+c^2}{3} = \frac{9m^2}{3} = 3m^2$।
17. একটি পরীক্ষায় 120 জন পরীক্ষার্থীর গড় নম্বর 35। পাস করাদের গড় 39 এবং ফেল করাদের গড় 15। পাস করা ছাত্র ও ফেল করা ছাত্রের অনুপাত কত?
- (ক) 3:1
- (খ) 4:1
- (গ) 5:1
- (ঘ) 6:1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 5:1
অ্যালিগেশন পদ্ধতি:
পাস = 39, ফেল = 15, সম্মিলিত গড় = 35।
পাসের অনুপাত = $35 – 15 = 20$
ফেলের অনুপাত = $39 – 35 = 4$
পাস : ফেল = $20 : 4 = 5 : 1$।
18. 9 জন ছাত্র একটি হোটেলে খেতে যায়। 8 জন প্রত্যেকে 30 টাকা করে খরচ করে। 9ম ছাত্রটি সবার গড় খরচের চেয়ে 20 টাকা বেশি খরচ করে। 9ম ছাত্রের খরচ কত ছিল?
- (ক) 50 টাকা
- (খ) 52.5 টাকা
- (গ) 55 টাকা
- (ঘ) 57.5 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 52.5 টাকা
সবার গড় খরচ = $30 + \frac{20}{8} = 30 + 2.5 = 32.5$ টাকা।
9ম ছাত্রটি গড় খরচের চেয়ে 20 টাকা বেশি দিয়েছে।
9ম ছাত্রের খরচ = $32.5 + 20 = 52.5$ টাকা।
19. তিনটি সংখ্যার গড় 135। বৃহত্তম সংখ্যাটি 195 এবং বাকি দুটি সংখ্যার পার্থক্য 20। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 85
- (খ) 90
- (গ) 95
- (ঘ) 100
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 90
3 টি সংখ্যার মোট যোগফল = $3 \times 135 = 405$
বাকি 2 টি সংখ্যার যোগফল = $405 – 195 = 210$
ধরি, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি $x$। তাহলে অপর সংখ্যাটি $x + 20$।
$x + x + 20 = 210 \implies 2x = 190 \implies x = 95$।
তাহলে সংখ্যা দুটি 95 এবং 115। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি 95। (দুঃখিত, অপশনে 95 সঠিক, আমি ব্যাখ্যায় 95 পেয়েছি, তাই উত্তর (গ) হবে। এখানে টাইপো ছিল।)
সংশোধিত উত্তর: (গ) 95
20. 50 জন ছাত্রের গড় নম্বর 65। যদি শীর্ষ 2 ছাত্রের নম্বর বাদ দেওয়া হয়, তবে গড় 1 কমে যায়। শীর্ষ 2 ছাত্রের নম্বরের পার্থক্য 4 হলে, সর্বোচ্চ নম্বরটি কত?
- (ক) 87
- (খ) 89
- (গ) 91
- (ঘ) 93
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 91
50 জনের মোট নম্বর = $50 \times 65 = 3250$
বাকি 48 জনের গড় নম্বর 64, তাই তাদের মোট নম্বর = $48 \times 64 = 3072$
শীর্ষ 2 জনের নম্বরের যোগফল = $3250 – 3072 = 178$
ধরি, নম্বর দুটি $x$ এবং $x+4$।
$x + x + 4 = 178 \implies 2x = 174 \implies x = 87$
সর্বোচ্চ নম্বর = $87 + 4 = 91$।
21. একটি কোম্পানির সব কর্মীর গড় বেতন 8000 টাকা। 7 জন অফিসারের গড় বেতন 12000 টাকা এবং বাকি কর্মীদের গড় বেতন 6000 টাকা হলে, কোম্পানিতে মোট কর্মীর সংখ্যা কত?
- (ক) 14
- (খ) 18
- (গ) 21
- (ঘ) 28
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 21
অ্যালিগেশন ব্যবহার করে:
অফিসার (12000), অন্য কর্মী (6000), সম্মিলিত গড় (8000)।
অফিসারের অনুপাত = $8000 – 6000 = 2000$
অন্য কর্মীর অনুপাত = $12000 – 8000 = 4000$
অনুপাত (অফিসার : অন্য কর্মী) = $2000 : 4000 = 1 : 2$
অফিসার 1 ভাগ = 7 জন। তাহলে মোট কর্মী 3 ভাগ = $7 \times 3 = 21$ জন।
22. একটি লাইব্রেরিতে রবিবার গড়ে 510 জন এবং অন্যান্য দিন গড়ে 240 জন পাঠক আসে। একটি 30 দিনের মাস রবিবার দিয়ে শুরু হলে, ওই মাসের জন্য প্রতিদিনের গড় পাঠক সংখ্যা কত?
- (ক) 276
- (খ) 280
- (গ) 285
- (ঘ) 290
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 285
মাসটি রবিবার দিয়ে শুরু হওয়ায় 5 টি রবিবার এবং 25 টি অন্য দিন থাকবে।
গড় = $\frac{5 \times 510 + 25 \times 240}{30} = \frac{2550 + 6000}{30} = \frac{8550}{30} = 285$।
23. 50 টি পর্যবেক্ষণের গড় 36। পরে দেখা যায় যে, একটি পর্যবেক্ষণ 48 এর পরিবর্তে 23 লেখা হয়েছিল। সঠিক গড় কত?
- (ক) 35.5
- (খ) 36.5
- (গ) 37.5
- (ঘ) 38.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 36.5
ভুলটি হলো: 23 লেখা হয়েছে 48 এর জায়গায়।
যোগফল কম হয়েছে = $48 – 23 = 25$।
এই 25 ঘাটতি 50 টি পর্যবেক্ষণের মধ্যে সমানভাবে ভাগ হবে।
গড় বৃদ্ধি পাবে = $\frac{25}{50} = 0.5$।
সঠিক গড় = $36 + 0.5 = 36.5$।
24. 8 জন পুরুষের গড় বয়স 2 বছর বৃদ্ধি পায়, যখন 21 এবং 23 বছর বয়সী দুজন পুরুষের বদলে নতুন দুজন পুরুষ যোগ দেয়। নতুন দুজন পুরুষের গড় বয়স কত?
- (ক) 28 বছর
- (খ) 30 বছর
- (গ) 32 বছর
- (ঘ) 34 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 30 বছর
8 জনের গড় বয়স 2 বছর বৃদ্ধি পাওয়ায় মোট বৃদ্ধি = $8 \times 2 = 16$ বছর।
বিদায়ী দুজনের মোট বয়স = $21 + 23 = 44$ বছর।
নতুন দুজনের মোট বয়স = $44 + 16 = 60$ বছর।
তাদের গড় বয়স = $\frac{60}{2} = 30$ বছর।
25. একটি ক্লাসে $x$ জন ছাত্রের গড় বয়স $a$ বছর এবং $y$ জন ছাত্রীর গড় বয়স $b$ বছর। যদি ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত 3:1 হয় এবং $a=12, b=10$ হয়, তবে পুরো ক্লাসের গড় বয়স কত?
- (ক) 11 বছর
- (খ) 11.5 বছর
- (গ) 11.75 বছর
- (ঘ) 12 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 11.5 বছর
ধরি, ছাত্র 3 জন এবং ছাত্রী 1 জন (অনুপাত অনুযায়ী)।
মোট বয়স = $(3 \times 12) + (1 \times 10) = 36 + 10 = 46$।
মোট শিক্ষার্থী = $3 + 1 = 4$।
গড় বয়স = $\frac{46}{4} = 11.5$ বছর।
26. 10 টি পর্যবেক্ষণের গড় 16.3। পরে দেখা গেল 32 এবং 23 এর জায়গায় ভুল করে যথাক্রমে 23 এবং 32 লেখা হয়েছিল। সঠিক গড় কত?
- (ক) 16.1
- (খ) 16.3
- (গ) 16.5
- (ঘ) 16.7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 16.3
সঠিক মানগুলোর যোগফল = $32 + 23 = 55$
ভুল মানগুলোর যোগফল = $23 + 32 = 55$
যেহেতু সঠিক ও ভুল মানের যোগফল একই, তাই গড়ের কোনো পরিবর্তন হবে না।
সঠিক গড় = 16.3।
27. 5 জন সদস্যের একটি পরিবারের বর্তমান গড় বয়স 33 বছর। কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স 9 বছর। কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময় পরিবারের গড় বয়স কত ছিল?
- (ক) 24 বছর
- (খ) 28 বছর
- (গ) 30 বছর
- (ঘ) 33 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 30 বছর
বর্তমানে 5 জনের মোট বয়স = $5 \times 33 = 165$ বছর।
9 বছর আগে ওই 5 জনের মোট বয়স ছিল = $165 – (5 \times 9) = 165 – 45 = 120$ বছর।
কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের ঠিক আগে পরিবারের সদস্য ছিল 4 জন।
তাই গড় বয়স ছিল = $\frac{120}{4} = 30$ বছর।
28. 20 জন ছেলের একটি দলের গড় ওজন 89.4 কেজি এবং পরে জানা গেল যে একটি মান 87 কেজির বদলে 78 কেজি লেখা হয়েছিল। সঠিক গড় কত?
- (ক) 88.95 কেজি
- (খ) 89.25 কেজি
- (গ) 89.55 কেজি
- (ঘ) 89.85 কেজি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 89.85 কেজি
সঠিক মান 87, কিন্তু লেখা হয়েছিল 78। অর্থাৎ 9 কেজি কম লেখা হয়েছিল।
এই 9 কেজি 20 জনের মধ্যে ভাগ করে দিলে গড় বৃদ্ধি পাবে = $\frac{9}{20} = 0.45$ কেজি।
সঠিক গড় = $89.4 + 0.45 = 89.85$ কেজি।
29. 1 থেকে 45 পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় এবং বিজোড় সংখ্যাগুলোর গড়ের পার্থক্য কত?
- (ক) 0
- (খ) 1
- (গ) 1.5
- (ঘ) 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 1
জোড় সংখ্যাগুলো: 2, 4, … 44। এদের গড় = $\frac{2 + 44}{2} = 23$।
বিজোড় সংখ্যাগুলো: 1, 3, … 45। এদের গড় = $\frac{1 + 45}{2} = 23$।
দুঃখিত, এখানে গড় সমান, তাই পার্থক্য 0 হবে। আমার পূর্বের ব্যাখ্যায় ভুল ছিল।
সঠিক উত্তর: (ক) 0
30. 11 টি সংখ্যার গড় 10.9। প্রথম 6 টি সংখ্যার গড় 10.5 এবং শেষ 6 টি সংখ্যার গড় 11.4 হলে, 6-ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?
- (ক) 11.5
- (খ) 11.4
- (গ) 11.3
- (ঘ) 11.2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 11.5
11 টির মোট যোগফল = $11 \times 10.9 = 119.9$
প্রথম 6 টির যোগফল = $6 \times 10.5 = 63.0$
শেষ 6 টির যোগফল = $6 \times 11.4 = 68.4$
6-ষ্ঠ সংখ্যাটি = $(63.0 + 68.4) – 119.9 = 131.4 – 119.9 = 11.5$।
অধ্যায় ৪ | গড়
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ৩ – পর্ব ৩
উচ্চতর বিশ্লেষণ ও লজিক্যাল প্রয়োগ
🚀 বিশেষত্ব
গড়ের এই চূড়ান্ত পর্বে আমরা সমীকরণভিত্তিক গড়ের জটিল সমস্যা, ধারাবাহিক সংখ্যার স্থান পরিবর্তন, এবং একাধিক শর্তযুক্ত অঙ্কগুলো সমাধান করব। এই অঙ্কগুলো সমাধান করতে সাধারণ নিয়মের চেয়ে লজিক্যাল শর্টকাট বেশি কার্যকরী।
🔑 অ্যাডভান্সড টিপস
- শতাংশের সাথে গড়ের মিশ্রণ: কোনো দলের একটি নির্দিষ্ট অংশের গড় বৃদ্ধি এবং বাকি অংশের গড় হ্রাস পেলে, সামগ্রিক গড় পরিবর্তন = (বৃদ্ধি পাওয়া অংশ $\times$ বৃদ্ধির পরিমাণ) $-$ (হ্রাস পাওয়া অংশ $\times$ হ্রাসের পরিমাণ)।
- দূরত্ব ও গতির অনুপাত: যদি দূরত্বের অনুপাত $d_1 : d_2$ এবং গতির অনুপাত $v_1 : v_2$ হয়, তবে গড় গতিবেগ মোট দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করে বের করতে হয়।
- প্রাথমিক সংখ্যা নির্ণয়: নতুন সদস্য যোগ দেওয়ার পর গড় বৃদ্ধি পেলে, প্রাথমিক সদস্য সংখ্যা = $\frac{\text{নতুনদের মোট মান} – (\text{নতুনদের সংখ্যা} \times \text{নতুন গড়})}{\text{গড়ের বৃদ্ধি}}$।
🎯 চ্যালেঞ্জিং প্রশ্নোত্তর (৩১-৪৫):
31. $n$ টি সংখ্যার গড় 58। যদি $65\%$ সংখ্যার প্রতিটির মান 16 বৃদ্ধি করা হয় এবং বাকি সংখ্যাগুলোর প্রতিটির মান 9 কমানো হয়, তবে নতুন গড় কত হবে?
- (ক) 64.25
- (খ) 64.75
- (গ) 65.25
- (ঘ) 65.75
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 65.25
গড়ের নিট (Net) পরিবর্তন = $(0.65 \times 16) – (0.35 \times 9)$
$= 10.4 – 3.15 = +7.25$
নতুন গড় = $58 + 7.25 = 65.25$।
32. 10 টি পরপর বিজোড় সংখ্যার গড় 120। পূর্বের সিরিজের সর্বোচ্চ বিজোড় সংখ্যার চেয়ে 15 বেশি এমন একটি সংখ্যা থেকে শুরু হওয়া 15 টি পরপর জোড় সংখ্যার গড় কত?
- (ক) 152
- (খ) 154
- (গ) 156
- (ঘ) 158
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 158
10 টি বিজোড় সংখ্যার গড় 120, অর্থাৎ 5ম ও 6ষ্ঠ সংখ্যার মাঝে 120 আছে।
5ম সংখ্যা = 119, 6ষ্ঠ = 121। 10-তম (সর্বোচ্চ) সংখ্যা = $121 + (4 \times 2) = 129$।
নতুন জোড় সিরিজের প্রথম সংখ্যা = $129 + 15 = 144$।
15 টি পরপর জোড় সংখ্যার গড় হবে এর মাঝের (8-তম) সংখ্যাটি।
8-তম জোড় সংখ্যা = $144 + (8 – 1) \times 2 = 144 + 14 = 158$।
33. 50 জন শিক্ষার্থীর একটি ক্লাসের গড় নম্বর 72। ওই বিষয়ে ছাত্রদের গড় 70 এবং ছাত্রীদের গড় 75 হলে, ক্লাসে ছাত্রদের সংখ্যা কত?
- (ক) 20
- (খ) 25
- (গ) 30
- (ঘ) 35
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 30
অ্যালিগেশন ব্যবহার করে: ছাত্রীদের গড় (75) এবং ছাত্রদের গড় (70), সম্মিলিত গড় (72)।
ছাত্রীদের অনুপাত = $72 – 70 = 2$
ছাত্রদের অনুপাত = $75 – 72 = 3$
অনুপাত (ছাত্রী : ছাত্র) = $2 : 3$।
ছাত্রদের সংখ্যা = $\frac{3}{5} \times 50 = 30$ জন।
34. একজন ব্যাটসম্যান 64 টি ইনিংসে গড়ে 62 রান করেন। তার সর্বোচ্চ রান সর্বনিম্ন রানের চেয়ে 180 বেশি। যদি এই দুটি ইনিংস বাদ দেওয়া হয়, তবে বাকি 62 টি ইনিংসের গড় হয় 60 রান। তার সর্বোচ্চ রান কত?
- (ক) 200
- (খ) 210
- (গ) 214
- (ঘ) 220
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 214
64 টি ইনিংসের মোট রান = $64 \times 62 = 3968$
বাকি 62 টি ইনিংসের মোট রান = $62 \times 60 = 3720$
সর্বোচ্চ ($H$) ও সর্বনিম্ন ($L$) রানের যোগফল = $3968 – 3720 = 248$
শর্তমতে, $H – L = 180$
যোগ করলে, $2H = 428 \implies H = 214$ রান।
35. একটি ক্লাসে $p$ জন শিক্ষার্থীর গড় ওজন 40 কেজি। যদি 50 কেজি গড় ওজনের $q$ জন নতুন শিক্ষার্থী যোগ দেয়, তবে ক্লাসের গড় ওজন হয় 42 কেজি। $p : q$ এর মান কত?
- (ক) 1 : 4
- (খ) 2 : 3
- (গ) 3 : 2
- (ঘ) 4 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 4 : 1
অ্যালিগেশন ব্যবহার করে: (প্রাথমিক 40, নতুন 50, গড় 42)
$p$ এর অনুপাত অংশ = $50 – 42 = 8$
$q$ এর অনুপাত অংশ = $42 – 40 = 2$
$p : q = 8 : 2 = 4 : 1$।
36. একজন লাইব্রেরিয়ান তার লাইব্রেরির জন্য 60 টি গল্পের বই কিনলেন। কিন্তু তিনি হিসাব করে দেখলেন যে, যদি তিনি আরও 336 টাকা বেশি খরচ করেন, তবে তিনি আরও 4 টি অতিরিক্ত বই পাবেন এবং প্রতিটি বইয়ের গড় মূল্য 1 টাকা কমে যাবে। প্রতিটি বইয়ের পূর্ববর্তী গড় মূল্য কত ছিল?
- (ক) 80 টাকা
- (খ) 90 টাকা
- (গ) 100 টাকা
- (ঘ) 120 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 100 টাকা
ধরি, আগের গড় মূল্য ছিল $x$ টাকা। মোট খরচ = $60x$
নতুন গড় মূল্য = $(x – 1)$ টাকা। নতুন মোট বই = 64 টি।
নতুন মোট খরচ = $64(x – 1)$
শর্তমতে, $64(x – 1) – 60x = 336 \implies 64x – 64 – 60x = 336$
$4x = 400 \implies x = 100$ টাকা।
37. 11 টি সংখ্যার গড় 68। প্রথম 4 টি সংখ্যার গড় 78 এবং পরবর্তী 4 টি সংখ্যার গড় 63। 9-তম সংখ্যাটি 11-তম সংখ্যার দ্বিগুণ এবং 10-তম সংখ্যাটি 11-তম সংখ্যার চেয়ে 4 কম। 9-তম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 47
- (খ) 86
- (গ) 90
- (ঘ) 94
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 94
11 টির মোট মান = $11 \times 68 = 748$
প্রথম 4 টির মোট মান = $4 \times 78 = 312$ এবং পরের 4 টির মোট মান = $4 \times 63 = 252$
শেষ 3 টি সংখ্যার যোগফল = $748 – (312 + 252) = 748 – 564 = 184$
ধরি, 11-তম সংখ্যা = $a$। তাহলে 9-তম = $2a$ এবং 10-তম = $a – 4$।
$2a + a – 4 + a = 184 \implies 4a = 188 \implies a = 47$
9-তম সংখ্যাটি = $2 \times 47 = 94$।
38. এক ব্যক্তি A থেকে B তে 40 কিমি/ঘণ্টা বেগে যান এবং B থেকে C তে 60 কিমি/ঘণ্টা বেগে যান। যদি A থেকে B এর দূরত্ব B থেকে C এর দূরত্বের দ্বিগুণ হয়, তবে সম্পূর্ণ যাত্রাপথের গড় গতিবেগ কত?
- (ক) 45 কিমি/ঘণ্টা
- (খ) 48 কিমি/ঘণ্টা
- (গ) 50 কিমি/ঘণ্টা
- (ঘ) 52 কিমি/ঘণ্টা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 45 কিমি/ঘণ্টা
ধরি, B থেকে C এর দূরত্ব $d$। তাহলে A থেকে B এর দূরত্ব $2d$।
মোট দূরত্ব = $2d + d = 3d$
মোট সময় = $\frac{2d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{d}{20} + \frac{d}{60} = \frac{3d + d}{60} = \frac{4d}{60} = \frac{d}{15}$
গড় গতিবেগ = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{3d}{\frac{d}{15}} = 3 \times 15 = 45$ কিমি/ঘণ্টা।
39. 5 টি পরপর বিজোড় সংখ্যার গড় $m$। যদি পরবর্তী 3 টি বিজোড় সংখ্যা সিরিজে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড়ের বৃদ্ধি কত হবে?
- (ক) 1.5
- (খ) 2
- (গ) 3
- (ঘ) 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 3
যেকোনো সমান্তর ধারায় (Arithmetic Progression), যদি একই ব্যবধানের $k$ টি পদ শেষে যোগ করা হয়, তবে গড়ের বৃদ্ধি হয় $\frac{k \times \text{ব্যবধান}}{2}$।
বিজোড় সংখ্যার ব্যবধান 2। এখানে 3 টি পদ যোগ করা হয়েছে।
গড় বৃদ্ধি = $\frac{3 \times 2}{2} = 3$।
40. 4 টি সংখ্যার গড় 60। প্রথম সংখ্যাটি শেষ 3 টি সংখ্যার যোগফলের এক-চতুর্থাংশ ($\frac{1}{4}$)। প্রথম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 40
- (খ) 45
- (গ) 48
- (ঘ) 50
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 48
ধরি, শেষ 3 টি সংখ্যার যোগফল = $S$। প্রথম সংখ্যাটি = $\frac{S}{4}$।
4 টি সংখ্যার মোট যোগফল = $\frac{S}{4} + S = \frac{5S}{4}$।
দেওয়া আছে, 4 টি সংখ্যার গড় 60, তাই মোট যোগফল = $4 \times 60 = 240$
$\frac{5S}{4} = 240 \implies 5S = 960 \implies S = 192$
প্রথম সংখ্যাটি = $\frac{192}{4} = 48$।
41. একটি পরীক্ষায় 40 জন ছাত্রের গড় নম্বর 72। পরে দেখা গেল যে, 3 জন ছাত্রের নম্বর 64, 62 এবং 84 এর পরিবর্তে ভুল করে যথাক্রমে 68, 65 এবং 73 লেখা হয়েছিল। সঠিক গড় নম্বর কত?
- (ক) 71.9
- (খ) 72.1
- (গ) 72.2
- (ঘ) 72.5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 72.1
সঠিক নম্বরগুলোর যোগফল = $64 + 62 + 84 = 210$
ভুল নম্বরগুলোর যোগফল = $68 + 65 + 73 = 206$
যোগফলের পার্থক্য = $210 – 206 = +4$
গড় নম্বরের বৃদ্ধি = $\frac{4}{40} = 0.1$
সঠিক গড় = $72 + 0.1 = 72.1$।
42. 10 জন ব্যক্তির একটি দলে 60 বছর বয়সী একজন অবসর নেওয়ায় এবং তার জায়গায় নতুন একজন যুবক যোগ দেওয়ায় দলটির গড় বয়স 3 বছর কমে যায়। ওই যুবক যদি অন্য একটি 5 জনের দলে যোগ দেয় যাদের বর্তমান গড় বয়স 20 বছর, তবে সেই দলের নতুন গড় বয়স কত হবে?
- (ক) 20.5 বছর
- (খ) 21.66 বছর
- (গ) 22 বছর
- (ঘ) 22.5 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 21.66 বছর
প্রথম দলের গড় 3 বছর কমায় মোট বয়স কমেছে $10 \times 3 = 30$ বছর।
যুবকটির বয়স = $60 – 30 = 30$ বছর।
দ্বিতীয় দলে 5 জনের মোট বয়স = $5 \times 20 = 100$ বছর।
যুবকটি যোগ দেওয়ার পর 6 জনের মোট বয়স = $100 + 30 = 130$ বছর।
নতুন গড় = $\frac{130}{6} = 21.66$ বছর।
43. তিনটি সংখ্যা এমন যে, যেকোনো দুটির গড়ের সাথে তৃতীয় সংখ্যাটি যোগ করলে যোগফল যথাক্রমে 168, 174 এবং 180 হয়। ওই তিনটি মূল সংখ্যার গড় কত?
- (ক) 82
- (খ) 84
- (গ) 87
- (ঘ) 89
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 87
ধরি সংখ্যাগুলো $x, y, z$।
শর্তমতে, $\frac{x+y}{2} + z = 168 \implies x + y + 2z = 336$
একইভাবে, $y + z + 2x = 348$
এবং $z + x + 2y = 360$
সমীকরণ তিনটি যোগ করলে: $4x + 4y + 4z = 336 + 348 + 360 = 1044$
$x + y + z = \frac{1044}{4} = 261$
তিনটি সংখ্যার গড় = $\frac{261}{3} = 87$।
44. একটি শিল্পের সব কর্মীদের গড় মাসিক বেতন 12000 টাকা। পুরুষ কর্মীদের গড় বেতন 15000 টাকা এবং মহিলা কর্মীদের গড় বেতন 8000 টাকা। পুরুষ ও মহিলা কর্মীদের সংখ্যার অনুপাত কত?
- (ক) 3:4
- (খ) 4:3
- (গ) 5:4
- (ঘ) 4:5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 4:3
অ্যালিগেশন ব্যবহার করে: (পুরুষ 15000, মহিলা 8000, সম্মিলিত 12000)
পুরুষের অনুপাত অংশ = $12000 – 8000 = 4000$
মহিলার অনুপাত অংশ = $15000 – 12000 = 3000$
অনুপাত (পুরুষ : মহিলা) = $4000 : 3000 = 4 : 3$।
45. একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের গড় ওজন 60 কেজি। যদি 65, 62, 68 এবং 69 কেজি ওজনের 4 জন নতুন শিক্ষার্থী ক্লাসে যোগ দেয়, তবে ক্লাসের গড় ওজন 1 কেজি বৃদ্ধি পায়। ক্লাসে শুরুতে কতজন শিক্ষার্থী ছিল?
- (ক) 16
- (খ) 20
- (গ) 24
- (ঘ) 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 20
ধরি, শুরুতে $n$ জন শিক্ষার্থী ছিল। তাদের মোট ওজন $60n$ কেজি।
নতুন 4 জনের মোট ওজন = $65 + 62 + 68 + 69 = 264$ কেজি।
নতুন মোট ওজন = $60n + 264$
নতুন শিক্ষার্থী সংখ্যা = $n + 4$ এবং নতুন গড় = $60 + 1 = 61$ কেজি।
শর্তমতে, $61(n + 4) = 60n + 264$
$61n + 244 = 60n + 264 \implies n = 20$।
শেয়ার