Ratio and Proportion Level 1 (Foundation) – অনুপাত ও সমানুপাতের প্রাথমিক ধারণা | Group D, WB Police, Primary TET Preparation
অধ্যায় ৫ | অনুপাত ও সমানুপাত
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ১ – পর্ব ১
প্রাথমিক ধারণা ও সাধারণ সমস্যা
📚 ভূমিকা
অনুপাত হলো সমজাতীয় দুটি রাশির মধ্যে তুলনা। এটি বোঝায় একটি রাশি অপর একটি রাশির কত গুণ বা কত অংশ। অন্যদিকে, দুটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে তাকে সমানুপাত বলা হয়। এই পর্বে আমরা অনুপাতের মৌলিক নিয়ম, বিভিন্ন প্রকার সমানুপাতী নির্ণয় এবং আনুপাতিক ভাগের প্রাথমিক অঙ্কগুলো শিখব।
📝 প্রয়োজনীয় নিয়মাবলি
- সমানুপাত: $a : b :: c : d$ হলে, লেখা যায় $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$। অর্থাৎ $a \times d = b \times c$ (প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল)।
- মধ্য সমানুপাতী: $a$ এবং $c$ এর মধ্য সমানুপাতী $b$ হলে, $b^2 = ac \implies b = \sqrt{ac}$।
- তৃতীয় সমানুপাতী: $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $c$-কে তৃতীয় সমানুপাতী বলে। সূত্র: $c = \frac{b^2}{a}$।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (১-১৫):
1. যদি $A : B = 2 : 3$ এবং $B : C = 4 : 5$ হয়, তবে $A : B : C$ কত?
- (ক) 8 : 12 : 15
- (খ) 2 : 12 : 5
- (গ) 6 : 12 : 15
- (ঘ) 8 : 15 : 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 8 : 12 : 15
$A : B = 2 : 3$
$B : C = 4 : 5$
উভয় অনুপাতে $B$ এর মান সমান করার জন্য, প্রথম অনুপাতকে 4 দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 3 দিয়ে গুণ করি।
$A : B = 8 : 12$
$B : C = 12 : 15$
অতএব, $A : B : C = 8 : 12 : 15$।
2. 3, 4 এবং 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?
- (ক) 7
- (খ) 8
- (গ) 10
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 8
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$।
শর্তানুযায়ী, $\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$
$\implies 3x = 24$
$\implies x = 8$।
3. 4 এবং 16 এর মধ্য সমানুপাতী কত?
- (ক) 6
- (খ) 8
- (গ) 10
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 8
মধ্য সমানুপাতী $x$ হলে, $x = \sqrt{a \times b}$
$x = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8$।
4. 4 এবং 8 এর তৃতীয় সমানুপাতী কত?
- (ক) 12
- (খ) 14
- (গ) 16
- (ঘ) 32
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 16
তৃতীয় সমানুপাতী $c$ হলে, সূত্রানুযায়ী: $c = \frac{b^2}{a}$
$c = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16$।
5. 1000 টাকাকে A এবং B এর মধ্যে 3 : 2 অনুপাতে ভাগ করলে, A কত টাকা পাবে?
- (ক) 300 টাকা
- (খ) 400 টাকা
- (গ) 500 টাকা
- (ঘ) 600 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 600 টাকা
আনুপাতিক ভাগহার: $A$ এর ভাগ = $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$
অতএব $A$ পাবে = $1000 \times \frac{3}{5} = 200 \times 3 = 600$ টাকা।
6. যদি $2A = 3B = 4C$ হয়, তবে $A : B : C$ এর মান কত?
- (ক) 2 : 3 : 4
- (খ) 4 : 3 : 2
- (গ) 6 : 4 : 3
- (ঘ) 3 : 4 : 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 6 : 4 : 3
$2, 3$ এবং $4$ এর ল.সা.গু. হলো $12$।
সবগুলোকে 12 দিয়ে ভাগ করলে পাই: $\frac{2A}{12} = \frac{3B}{12} = \frac{4C}{12}$
$\implies \frac{A}{6} = \frac{B}{4} = \frac{C}{3}$
অতএব, $A : B : C = 6 : 4 : 3$।
7. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4। প্রত্যেক সংখ্যার সাথে 2 যোগ করলে নতুন অনুপাত হয় 4 : 5। সংখ্যা দুটি কী কী?
- (ক) 3 এবং 4
- (খ) 6 এবং 8
- (গ) 9 এবং 12
- (ঘ) 12 এবং 16
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 6 এবং 8
ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ এবং $4x$।
শর্তানুযায়ী, $\frac{3x + 2}{4x + 2} = \frac{4}{5}$
$\implies 15x + 10 = 16x + 8$
$\implies x = 2$
অতএব, সংখ্যা দুটি হলো $(3 \times 2) = 6$ এবং $(4 \times 2) = 8$।
8. একটি ব্যাগে 1 টাকার মুদ্রা এবং 50 পয়সার মুদ্রার অনুপাত 3 : 4। ব্যাগে মোট 25 টাকা থাকলে, 50 পয়সার মুদ্রা কয়টি আছে?
- (ক) 15 টি
- (খ) 20 টি
- (গ) 25 টি
- (ঘ) 30 টি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 20 টি
ধরি, 1 টাকার মুদ্রা আছে $3x$ টি এবং 50 পয়সার মুদ্রা আছে $4x$ টি।
1 টাকার মুদ্রার মূল্য = $3x$ টাকা।
50 পয়সার মুদ্রার মূল্য = $\frac{4x}{2} = 2x$ টাকা।
মোট টাকা = $3x + 2x = 5x$
শর্তমতে, $5x = 25 \implies x = 5$
50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = $4 \times 5 = 20$ টি।
9. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 5 : 2। তাদের বয়সের যোগফল 63 বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?
- (ক) 35 বছর
- (খ) 40 বছর
- (গ) 45 বছর
- (ঘ) 50 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 45 বছর
আনুপাতিক যোগফল = $5 + 2 = 7$
পিতার বয়স = $63 \times \frac{5}{7} = 9 \times 5 = 45$ বছর।
10. 60 লিটার দুধ ও জলের মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 2 : 1। মিশ্রণে জলের পরিমাণ কত?
- (ক) 15 লিটার
- (খ) 20 লিটার
- (গ) 30 লিটার
- (ঘ) 40 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 20 লিটার
আনুপাতিক যোগফল = $2 + 1 = 3$
জলের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{1}{3}$
জলের পরিমাণ = $60 \times \frac{1}{3} = 20$ লিটার।
11. $A$ এর $\frac{1}{2} = B$ এর $\frac{1}{3} = C$ এর $\frac{1}{4}$ হলে, $A : B : C$ এর মান কত?
- (ক) 4 : 3 : 2
- (খ) 2 : 3 : 4
- (গ) 1 : 2 : 3
- (ঘ) 3 : 2 : 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 3 : 4
দেওয়া আছে, $\frac{A}{2} = \frac{B}{3} = \frac{C}{4}$
এই ধরনের সমীকরণে নিচে থাকা সংখ্যাগুলোই সরাসরি তাদের অনুপাত হয়।
অতএব, $A : B : C = 2 : 3 : 4$।
12. দুটি বর্গের বাহুর অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
- (ক) 3 : 4
- (খ) 6 : 8
- (গ) 9 : 16
- (ঘ) 27 : 64
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 9 : 16
বর্গের ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহু})^2$
বাহুর অনুপাত $3 : 4$ হলে, ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে $3^2 : 4^2$
$= 9 : 16$।
13. যদি $x : y = 3 : 4$ হয়, তবে $(2x + y) : (x + 2y)$ এর মান কত?
- (ক) 10 : 11
- (খ) 11 : 10
- (গ) 7 : 8
- (ঘ) 8 : 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 10 : 11
ধরি, $x = 3$ এবং $y = 4$।
$(2x + y) : (x + 2y)$ এ মান বসালে পাই:
$= (2 \times 3 + 4) : (3 + 2 \times 4)$
$= (6 + 4) : (3 + 8)$
$= 10 : 11$।
14. যদি $15 : x :: 5 : 4$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?
- (ক) 10
- (খ) 12
- (গ) 15
- (ঘ) 20
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 12
সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী: $\frac{15}{x} = \frac{5}{4}$
$\implies 5x = 15 \times 4$
$\implies 5x = 60$
$\implies x = 12$।
15. দুটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফলের অনুপাত 5 : 1 হলে, বড় সংখ্যা ও ছোট সংখ্যার অনুপাত কত?
- (ক) 2 : 3
- (খ) 3 : 2
- (গ) 4 : 1
- (ঘ) 5 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 3 : 2
ধরি, সংখ্যা দুটি $a$ এবং $b$ ($a > b$)।
শর্তমতে, $\frac{a + b}{a – b} = \frac{5}{1}$
বজ্রগুণন করলে: $a + b = 5a – 5b$
$\implies 4a = 6b \implies \frac{a}{b} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
অতএব, অনুপাত $3 : 2$।
অধ্যায় ৫ | অনুপাত ও সমানুপাত
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ১ – পর্ব ২
অনুপাতের মিশ্রণ ও আনুপাতিক বন্টন
📚 ভূমিকা
এই পর্বে আমরা মিশ্র অনুপাত (Compound Ratio), আয়-ব্যয়ের অনুপাত এবং কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ বা বস্তুকে কয়েকজনের মধ্যে আনুপাতিক হারে বন্টন করার প্রাথমিক নিয়মগুলো নিয়ে আলোচনা করব।
📝 প্রয়োজনীয় নিয়মাবলি
- মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত: একাধিক অনুপাতের পূর্বপদগুলোর গুণফল এবং উত্তরপদগুলোর গুণফল নিয়ে যে নতুন অনুপাত গঠিত হয়, তাকে মিশ্র অনুপাত বলে। যেমন: $a:b$ এবং $x:y$ এর মিশ্র অনুপাত $ax : by$।
- বন্টন: যদি $S$ টাকাকে $A$ এবং $B$ এর মধ্যে $x:y$ অনুপাতে ভাগ করা হয়, তবে $A$ পাবে $S \times \frac{x}{x+y}$ এবং $B$ পাবে $S \times \frac{y}{x+y}$।
- আয়-ব্যয়: সঞ্চয় = আয় $-$ ব্যয়।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (১৬-৩০):
16. 2 : 3, 4 : 5 এবং 5 : 8 এর মিশ্র অনুপাত কত?
- (ক) 1 : 3
- (খ) 2 : 5
- (গ) 3 : 4
- (ঘ) 4 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 1 : 3
পূর্বপদগুলোর গুণফল : উত্তরপদগুলোর গুণফল
$= (2 \times 4 \times 5) : (3 \times 5 \times 8)$
$= 40 : 120$
$= 1 : 3$।
17. 6500 টাকাকে A, B এবং C এর মধ্যে $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ অনুপাতে ভাগ করলে, B কত টাকা পাবে?
- (ক) 1500 টাকা
- (খ) 2000 টাকা
- (গ) 2500 টাকা
- (ঘ) 3000 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2000 টাকা
2, 3 এবং 4 এর ল.সা.গু. 12।
অনুপাতগুলোকে পূর্ণসংখ্যায় আনলে: $\left(\frac{1}{2} \times 12\right) : \left(\frac{1}{3} \times 12\right) : \left(\frac{1}{4} \times 12\right) = 6 : 4 : 3$।
আনুপাতিক যোগফল = $6 + 4 + 3 = 13$।
B এর ভাগ = $6500 \times \frac{4}{13} = 500 \times 4 = 2000$ টাকা।
18. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 8 এবং তাদের পার্থক্য 48 হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?
- (ক) 60
- (খ) 75
- (গ) 80
- (ঘ) 90
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 80
ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $8x$।
পার্থক্য = $8x – 5x = 3x$
শর্তমতে, $3x = 48 \implies x = 16$
ছোট সংখ্যাটি = $5x = 5 \times 16 = 80$।
19. 30 লিটার মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 7 : 3। মিশ্রণে কত লিটার জল আছে?
- (ক) 7 লিটার
- (খ) 9 লিটার
- (গ) 10 লিটার
- (ঘ) 21 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 9 লিটার
আনুপাতিক যোগফল = $7 + 3 = 10$
জলের পরিমাণ = $30 \times \frac{3}{10} = 3 \times 3 = 9$ লিটার।
20. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু. (LCM) 120 হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
- (ক) 32
- (খ) 48
- (গ) 64
- (ঘ) 80
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 64
ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ এবং $5x$।
এদের ল.সা.গু. = $15x$
শর্তমতে, $15x = 120 \implies x = 8$
সংখ্যা দুটি হলো: $(3 \times 8) = 24$ এবং $(5 \times 8) = 40$।
যোগফল = $24 + 40 = 64$।
21. A ও B এর আয় এর অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত 3 : 2। তারা উভয়েই যদি 500 টাকা করে সঞ্চয় করে, তবে A এর আয় কত?
- (ক) 1500 টাকা
- (খ) 2000 টাকা
- (গ) 2500 টাকা
- (ঘ) 3000 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 2000 টাকা
A এর আয় ও ব্যয়ের অনুপাতের পার্থক্য = $4 – 3 = 1$ অংশ।
B এর আয় ও ব্যয়ের অনুপাতের পার্থক্য = $3 – 2 = 1$ অংশ।
যেহেতু উভয়ের পার্থক্য সমান (1 অংশ) এবং উভয়েই 500 টাকা সঞ্চয় করে, তাই 1 অংশ = 500 টাকা।
A এর আয় (4 অংশ) = $4 \times 500 = 2000$ টাকা।
22. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 5 হলে, তাদের পরিধির অনুপাত কত?
- (ক) 2 : 5
- (খ) 4 : 25
- (গ) 5 : 2
- (ঘ) 8 : 125
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 2 : 5
বৃত্তের পরিধি ($2\pi r$) সরাসরি ব্যাসার্ধের ($r$) সমানুপাতিক।
তাই ব্যাসার্ধের অনুপাত যা হবে, পরিধির অনুপাতও ঠিক তাই হবে, অর্থাৎ 2 : 5।
23. একটি ব্যাগে 1 টাকা, 50 পয়সা এবং 25 পয়সার মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 : 4। ব্যাগে মোট 90 টাকা থাকলে, 50 পয়সার মুদ্রা কয়টি আছে?
- (ক) 40
- (খ) 50
- (গ) 60
- (ঘ) 80
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 60
ধরি, মুদ্রার সংখ্যা যথাক্রমে $2x, 3x$ এবং $4x$।
মূল্যের অনুপাত (টাকায়): $2x \times 1 + 3x \times \frac{1}{2} + 4x \times \frac{1}{4}$
$= 2x + 1.5x + x = 4.5x$
শর্তমতে, $4.5x = 90 \implies x = \frac{90}{4.5} = 20$
50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = $3x = 3 \times 20 = 60$ টি।
24. যদি $x : y = 2 : 5$ হয়, তবে $(3x + 2y) : (2x + 5y)$ এর মান কত?
- (ক) 16 : 29
- (খ) 29 : 16
- (গ) 16 : 25
- (ঘ) 25 : 16
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 16 : 29
ধরি, $x = 2$ এবং $y = 5$।
$(3x + 2y) : (2x + 5y)$ এ মান বসালে:
$= (3 \times 2 + 2 \times 5) : (2 \times 2 + 5 \times 5)$
$= (6 + 10) : (4 + 25)$
$= 16 : 29$।
25. দুটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 9। প্রত্যেক সংখ্যা থেকে 12 বিয়োগ করলে অনুপাত হয় 3 : 4। প্রথম সংখ্যাটি কত?
- (ক) 63
- (খ) 72
- (গ) 84
- (ঘ) 91
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 84
ধরি, সংখ্যা দুটি $7x$ এবং $9x$।
শর্তমতে, $\frac{7x – 12}{9x – 12} = \frac{3}{4}$
$\implies 28x – 48 = 27x – 36$
$\implies x = 12$
প্রথম সংখ্যাটি = $7x = 7 \times 12 = 84$।
26. 7, 11, 14 এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?
- (ক) 18
- (খ) 20
- (গ) 22
- (ঘ) 24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 22
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$।
$\frac{7}{11} = \frac{14}{x}$
$\implies 7x = 11 \times 14$
$\implies 7x = 154$
$\implies x = 22$।
27. A, B এবং C একটি ব্যবসায় যথাক্রমে 3000, 4000 এবং 5000 টাকা বিনিয়োগ করে। মোট 6000 টাকা লাভ হলে C কত টাকা পাবে?
- (ক) 1500 টাকা
- (খ) 2000 টাকা
- (গ) 2500 টাকা
- (ঘ) 3000 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 2500 টাকা
তাদের মূলধনের অনুপাত = $3000 : 4000 : 5000 = 3 : 4 : 5$।
আনুপাতিক যোগফল = $3 + 4 + 5 = 12$।
C এর লভ্যাংশ = $6000 \times \frac{5}{12} = 500 \times 5 = 2500$ টাকা।
28. 200 গ্রাম সংকর ধাতুতে তামা ও দস্তার অনুপাত 5 : 3। সংকর ধাতুতে তামার পরিমাণ কত?
- (ক) 75 গ্রাম
- (খ) 100 গ্রাম
- (গ) 125 গ্রাম
- (ঘ) 150 গ্রাম
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 125 গ্রাম
আনুপাতিক যোগফল = $5 + 3 = 8$
তামার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{8}$
তামার পরিমাণ = $200 \times \frac{5}{8} = 25 \times 5 = 125$ গ্রাম।
29. দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের গুণফল 54 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
- (ক) 6
- (খ) 9
- (গ) 12
- (ঘ) 15
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 9
ধরি, সংখ্যা দুটি $2x$ এবং $3x$।
গুণফল = $(2x)(3x) = 6x^2$
শর্তমতে, $6x^2 = 54 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$
বড় সংখ্যাটি = $3x = 3 \times 3 = 9$।
30. 9 এবং 25 এর মধ্য সমানুপাতী কত?
- (ক) 12
- (খ) 15
- (গ) 18
- (ঘ) 20
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 15
মধ্য সমানুপাতী = $\sqrt{a \times b}$
$= \sqrt{9 \times 25} = \sqrt{225} = 15$।
অধ্যায় ৫ | অনুপাত ও সমানুপাত
চাকরির প্রস্তুতি – গণিত – লেভেল ১ – পর্ব ৩
বাস্তব প্রয়োগ ও বিবিধ সমস্যা
📚 ভূমিকা
লেভেল ১-এর এই চূড়ান্ত পর্বে আমরা অনুপাতের বাস্তব জীবনের ব্যবহার শিখব। মুদ্রা বা পয়সার সমস্যা, মিশ্রণে নতুন উপাদান যোগ করা, এবং বয়সের অনুপাত সংক্রান্ত প্রাথমিক অঙ্কগুলো এই পর্বের মূল আকর্ষণ। এই অঙ্কগুলো প্রায় প্রতিটি সরকারি চাকরির পরীক্ষাতেই দেখা যায়।
📝 প্রয়োজনীয় নিয়মাবলি
- ধারাবাহিক অনুপাত: $A:B$ এবং $B:C$ দেওয়া থাকলে, $B$ এর মান দুটি অনুপাতে সমান করে $A:B:C$ নির্ণয় করতে হয়।
- মুদ্রার সমস্যা: মুদ্রার সংখ্যাকে তাদের স্ব-স্ব মান (যেমন ২৫ পয়সা, ৫০ পয়সা) দিয়ে গুণ করলে মোট মূল্যের অনুপাত পাওয়া যায়।
- বয়সের অনুপাত: বয়সের অংকে অনুপাতের সাথে একটি সাধারণ চলক ($x$) ধরে সমীকরণ তৈরি করলে সহজেই সমাধান করা যায়।
🎯 গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর (৩১-৪৫):
31. যদি $A : B = 3 : 4$ এবং $B : C = 5 : 6$ হয়, তবে $A : C$ এর মান কত?
- (ক) 1 : 2
- (খ) 5 : 8
- (গ) 3 : 5
- (ঘ) 4 : 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 5 : 8
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{24}$
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$।
অতএব, $A : C = 5 : 8$।
32. দুটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 11। উভয়ের সাথে 7 যোগ করলে অনুপাত 2 : 3 হয়। ছোট সংখ্যাটি কত?
- (ক) 35
- (খ) 42
- (গ) 49
- (ঘ) 56
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 49
ধরি, সংখ্যা দুটি $7x$ এবং $11x$।
শর্তমতে, $\frac{7x + 7}{11x + 7} = \frac{2}{3}$
বজ্রগুণন করলে: $21x + 21 = 22x + 14$
$\implies x = 7$
ছোট সংখ্যাটি = $7x = 7 \times 7 = 49$।
33. 45 লিটার মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত 4 : 1। এতে আরও কত লিটার জল মেশালে অনুপাত 3 : 2 হবে?
- (ক) 10 লিটার
- (খ) 12 লিটার
- (গ) 15 লিটার
- (ঘ) 18 লিটার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 15 লিটার
মিশ্রণে দুধ = $45 \times \frac{4}{5} = 36$ লিটার এবং জল = $9$ লিটার।
ধরি, $w$ লিটার জল মেশানো হলো।
$\frac{36}{9 + w} = \frac{3}{2}$
$\implies 72 = 27 + 3w \implies 3w = 45 \implies w = 15$ লিটার।
34. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান কত?
- (ক) $60^\circ$
- (খ) $80^\circ$
- (গ) $90^\circ$
- (ঘ) $100^\circ$
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) $80^\circ$
ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল $180^\circ$।
আনুপাতিক যোগফল = $2 + 3 + 4 = 9$ অংশ।
9 অংশ = $180^\circ \implies 1$ অংশ = $20^\circ$।
বৃহত্তম কোণ (4 অংশ) = $4 \times 20^\circ = 80^\circ$।
35. যদি $x : y = 3 : 1$ হয়, তবে $(x^3 – y^3) : (x^3 + y^3)$ এর মান কত?
- (ক) 13 : 14
- (খ) 14 : 13
- (গ) 10 : 11
- (ঘ) 26 : 27
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ক) 13 : 14
ধরি, $x = 3$ এবং $y = 1$।
$x^3 = 27$ এবং $y^3 = 1$।
$(x^3 – y^3) : (x^3 + y^3) = (27 – 1) : (27 + 1)$
$= 26 : 28$
$= 13 : 14$।
36. 1400 টাকাকে A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করা হলো যাতে $A : B = 2 : 3$ এবং $B : C = 4 : 5$ হয়। B কত টাকা পাবে?
- (ক) 320 টাকা
- (খ) 480 টাকা
- (গ) 600 টাকা
- (ঘ) 720 টাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 480 টাকা
প্রথমে $A:B:C$ বের করি:
$A : B = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$
$B : C = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$
$A : B : C = 8 : 12 : 15$। আনুপাতিক যোগফল = 35।
B এর ভাগ = $1400 \times \frac{12}{35} = 40 \times 12 = 480$ টাকা।
37. 0.12, 0.21 এবং 8 এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?
- (ক) 12
- (খ) 14
- (গ) 16
- (ঘ) 18
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 14
চতুর্থ সমানুপাতী $x$ হলে, $\frac{0.12}{0.21} = \frac{8}{x}$
দশমিক তুলে দিলে: $\frac{12}{21} = \frac{8}{x} \implies \frac{4}{7} = \frac{8}{x}$
$4x = 56 \implies x = 14$।
38. 0.02 এবং 0.32 এর মধ্য সমানুপাতী কত?
- (ক) 0.8
- (খ) 0.08
- (গ) 0.16
- (ঘ) 0.016
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 0.08
মধ্য সমানুপাতী $x$ হলে, $x = \sqrt{a \times b}$
$x = \sqrt{0.02 \times 0.32} = \sqrt{0.0064} = 0.08$।
39. যদি A এর 60% = B এর $\frac{3}{4}$ হয়, তবে $A : B$ এর মান কত?
- (ক) 9 : 20
- (খ) 20 : 9
- (গ) 4 : 5
- (ঘ) 5 : 4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (ঘ) 5 : 4
$A \times \frac{60}{100} = B \times \frac{3}{4}$
$\implies A \times \frac{3}{5} = B \times \frac{3}{4}$
$\implies \frac{A}{B} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{4}$
অতএব, $A : B = 5 : 4$।
40. একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত 5 : 3। যদি 50 জন ছাত্র স্কুল ছেড়ে দেয় এবং 50 জন ছাত্রী ভর্তি হয়, তবে অনুপাত 9 : 7 হয়। শুরুতে মোট শিক্ষার্থী কত ছিল?
- (ক) 600
- (খ) 700
- (গ) 800
- (ঘ) 900
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 800
ধরি, ছাত্র $5x$ জন এবং ছাত্রী $3x$ জন।
শর্তমতে, $\frac{5x – 50}{3x + 50} = \frac{9}{7}$
বজ্রগুণন করলে: $35x – 350 = 27x + 450$
$\implies 8x = 800 \implies x = 100$
শুরুতে মোট শিক্ষার্থী = $5x + 3x = 8x = 800$ জন।
41. মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত 7 : 1। 4 বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল 19 : 1। এখন থেকে 4 বছর পর মাতার বয়স কত হবে?
- (ক) 42 বছর
- (খ) 46 বছর
- (গ) 50 বছর
- (ঘ) 52 বছর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 46 বছর
ধরি, বর্তমান বয়স $7x$ এবং $x$।
4 বছর আগে: $\frac{7x – 4}{x – 4} = \frac{19}{1}$
$\implies 7x – 4 = 19x – 76$
$\implies 12x = 72 \implies x = 6$
মাতার বর্তমান বয়স = $7 \times 6 = 42$ বছর।
4 বছর পর মাতার বয়স হবে = $42 + 4 = 46$ বছর।
42. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $\frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{3}{4}$। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য 36 হলে, মাঝের সংখ্যাটি কত?
- (ক) 72
- (খ) 84
- (গ) 96
- (ঘ) 108
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 96
2, 3, 4 এর ল.সা.গু. 12। অনুপাতগুলোকে 12 দিয়ে গুণ করলে: $6 : 8 : 9$।
ধরি, সংখ্যাগুলো $6x, 8x$ এবং $9x$।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = $9x – 6x = 3x$।
শর্তমতে, $3x = 36 \implies x = 12$।
মাঝের সংখ্যাটি = $8x = 8 \times 12 = 96$।
43. একটি ব্যাগে 25 পয়সা, 10 পয়সা এবং 5 পয়সার মুদ্রার অনুপাত 1 : 2 : 3। ব্যাগে মোট 30 টাকা থাকলে 5 পয়সার মুদ্রা কয়টি আছে?
- (ক) 50
- (খ) 100
- (গ) 150
- (ঘ) 200
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (গ) 150
ধরি, মুদ্রার সংখ্যা যথাক্রমে $x, 2x$ এবং $3x$।
মূল্যের অনুপাত (পয়সায়): $25x + (10 \times 2x) + (5 \times 3x) = 25x + 20x + 15x = 60x$ পয়সা।
30 টাকা = 3000 পয়সা।
শর্তমতে, $60x = 3000 \implies x = 50$
5 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = $3x = 3 \times 50 = 150$ টি।
44. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5। উভয় সংখ্যা থেকে 9 বিয়োগ করলে অনুপাত হয় 12 : 23। ছোট সংখ্যাটি কত?
- (ক) 27
- (খ) 33
- (গ) 45
- (ঘ) 55
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 33
ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ এবং $5x$।
শর্তমতে, $\frac{3x – 9}{5x – 9} = \frac{12}{23}$
বজ্রগুণন করলে: $69x – 207 = 60x – 108$
$\implies 9x = 99 \implies x = 11$
ছোট সংখ্যাটি = $3x = 3 \times 11 = 33$।
45. $A$, $B$ এর সাথে সরলভেদে এবং $C$ এর সাথে ব্যস্তভেদে পরিবর্তিত হয়। $A = 10$ যখন $B = 5$ এবং $C = 2$। $B = 8$ এবং $C = 4$ হলে $A$ এর মান কত?
- (ক) 6
- (খ) 8
- (গ) 10
- (ঘ) 12
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন
সঠিক উত্তর: (খ) 8
ভেদ তত্ত্ব অনুযায়ী: $A = k \times \frac{B}{C}$ (যেখানে $k$ অশূন্য ধ্রুবক)
মান বসালে: $10 = k \times \frac{5}{2} \implies 5k = 20 \implies k = 4$
এখন, $A = 4 \times \frac{8}{4} = 8$।
শেয়ার