সঠিক উত্তর: (গ) 10000 টাকা

A এর ক্ষেত্রে আনুপাতিক পার্থক্য (আয় – ব্যয়) = $5 – 3 = 2$ অংশ।
B এর ক্ষেত্রে আনুপাতিক পার্থক্য = $4 – 2 = 2$ অংশ।
যেহেতু উভয়ের পার্থক্য সমান (2 অংশ) এবং প্রত্যেকে 2000 টাকা সঞ্চয় করে, তাই 2 অংশ = 2000 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 1000 টাকা।
A এর আয় (5 অংশ) = $5 \times 1000 = 10000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 60 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে দুধ = $60 \times \frac{2}{3} = 40$ লিটার এবং জল = 20 লিটার।
ধরি, $x$ লিটার জল মেশানো হলো।
নতুন অনুপাত: $\frac{40}{20 + x} = \frac{1}{2}$
বজ্রগুণন করলে: $80 = 20 + x \implies x = 60$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 120 টি

ধরি, মুদ্রার সংখ্যা যথাক্রমে $5x, 6x, 8x$।
তাদের মূল্যের পরিমাণ (টাকায়) = $5x \times 1 + 6x \times 0.50 + 8x \times 0.25$
$= 5x + 3x + 2x = 10x$ টাকা।
শর্তমতে, $10x = 200 \implies x = 20$।
50 পয়সার মুদ্রা = $6x = 6 \times 20 = 120$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 40

ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ এবং $5x$।
শর্তমতে, $\frac{3x + 10}{5x + 10} = \frac{5}{7}$
বজ্রগুণন করলে: $21x + 70 = 25x + 50 \implies 4x = 20 \implies x = 5$।
সংখ্যা দুটি হলো 15 এবং 25।
তাদের যোগফল = $15 + 25 = 40$।

সঠিক উত্তর: (খ) 36

তৃতীয় সমানুপাতী $c$ হলে, সূত্রানুযায়ী: $c = \frac{b^2}{a}$।
এখানে $a = 16$ এবং $b = 24$।
$c = \frac{24 \times 24}{16} = \frac{576}{16} = 36$।

সঠিক উত্তর: (খ) 200 টাকা

দেওয়া আছে, $A = \frac{2}{9} B \implies A : B = 2 : 9$
$C = \frac{3}{4} A \implies A : C = 4 : 3$
A কে সমান করতে প্রথম অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করি: $A : B = 4 : 18$।
তাহলে, $A : B : C = 4 : 18 : 3$।
মোট অনুপাত = $4 + 18 + 3 = 25$ অংশ = 1250 টাকা। (1 অংশ = 50 টাকা)
A এর অংশ = $4 \times 50 = 200$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ক) 15 : 17

প্রথম সংকর ধাতুর মোট অংশ = $5 + 3 = 8$
দ্বিতীয় সংকর ধাতুর মোট অংশ = $5 + 11 = 16$
পরিমাণ সমান করতে প্রথমটিকে 2 দিয়ে গুণ করি: $10 : 6$।
এখন মেশালে, মোট তামা = $10 + 5 = 15$
মোট দস্তা = $6 + 11 = 17$
নতুন অনুপাত = $15 : 17$।

সঠিক উত্তর: (গ) 70 বছর

ধরি, 10 বছর আগে বয়স ছিল $3x$ এবং $x$।
বর্তমান বয়স $3x + 10$ এবং $x + 10$।
10 বছর পর বয়স হবে $3x + 20$ এবং $x + 20$।
শর্তমতে, $\frac{3x + 20}{x + 20} = \frac{2}{1} \implies 3x + 20 = 2x + 40 \implies x = 20$
A এর বর্তমান বয়স = $3(20) + 10 = 60 + 10 = 70$ বছর।

সঠিক উত্তর: (খ) 58.32 লিটার

সূত্র: অবশিষ্ট দুধ = $C \times \left(1 – \frac{x}{C}\right)^n$
$= 80 \times \left(1 – \frac{8}{80}\right)^3$
$= 80 \times \left(\frac{9}{10}\right)^3 = 80 \times \frac{729}{1000} = \frac{58320}{1000} = 58.32$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (ক) 56 : 99 : 69

আয় $7x, 9x, 12x$ এবং ব্যয় $8y, 9y, 15y$।
A এর সঞ্চয় = $7x – 8y = \frac{7x}{4}$ (শর্তমতে)
$\implies 28x – 32y = 7x \implies 21x = 32y \implies \frac{x}{y} = \frac{32}{21}$।
$x=32$ ও $y=21$ ধরে:
A এর সঞ্চয় = $7(32) – 8(21) = 224 – 168 = 56$
B এর সঞ্চয় = $9(32) – 9(21) = 288 – 189 = 99$
C এর সঞ্চয় = $12(32) – 15(21) = 384 – 315 = 69$
অনুপাত = 56 : 99 : 69।

সঠিক উত্তর: (খ) $\frac{1}{2}$

অনুপাতের ধর্ম অনুযায়ী: যদি $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ হয়, তবে $pa, qc, re$ এর সাথে যথাক্রমে $pb, qd, rf$ এর অনুপাতও $k$ হয়।
অর্থাৎ $\frac{3a + 5c + 7e}{3b + 5d + 7f} = \frac{1}{2}$।

সঠিক উত্তর: (গ) 7200 টাকা

মোট ওজন = $1 + 2 + 3 = 6$ অংশ।
প্রকৃত দাম $\propto 6^2 = 36$ অংশ।
ভাঙার পর দাম $\propto 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ অংশ।
ক্ষতির পরিমাণ = $36 – 14 = 22$ অংশ।
শর্তমতে, 22 অংশ = 4400 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 200 টাকা।
প্রকৃত দাম = $36 \times 200 = 7200$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 120 টি

মুদ্রার মূল্যের অনুপাত (টাকায়): $2x \times 1 + 3x \times 0.5 + 4x \times 0.25$
$= 2x + 1.5x + 1x = 4.5x$ টাকা।
শর্তমতে, $4.5x = 180 \implies x = 40$
50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = $3x = 3 \times 40 = 120$ টি।

সঠিক উত্তর: (গ) 84

ধরি, সংখ্যা দুটি $7x$ এবং $9x$।
শর্তমতে, $\frac{7x – 12}{9x – 12} = \frac{3}{4}$
$\implies 28x – 48 = 27x – 36$
$\implies x = 12$
প্রথম সংখ্যাটি = $7x = 7 \times 12 = 84$।

সঠিক উত্তর: (খ) 17 : 15

যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) ব্যবহার করে:
$\frac{a}{b} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1} \implies a = 4b$
প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে: $\frac{(4b)^2 + b^2}{(4b)^2 – b^2} = \frac{16b^2 + b^2}{16b^2 – b^2} = \frac{17b^2}{15b^2} = \frac{17}{15}$।
অনুপাত = 17 : 15।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 6000 টাকা

ধরি, আয় $3x, 2x$ এবং ব্যয় $5y, 3y$।
শর্তমতে, $3x – 5y = 1000$ এবং $2x – 3y = 1000$
সমীকরণ সমাধান করতে, প্রথমটিকে 3 দিয়ে এবং দ্বিতীয়টিকে 5 দিয়ে গুণ করি:
$9x – 15y = 3000$ এবং $10x – 15y = 5000$
বিয়োগ করলে, $x = 2000$
A এর আয় = $3x = 3 \times 2000 = 6000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ক) 5 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে দুধ = $40 \times \frac{3}{4} = 30$ লিটার এবং জল = 10 লিটার।
ধরি, $w$ লিটার জল মেশানো হলো।
নতুন অনুপাত: $\frac{30}{10 + w} = \frac{2}{1}$
$\implies 30 = 20 + 2w \implies 2w = 10 \implies w = 5$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (খ) 38.4 লিটার

সূত্র: অবশিষ্ট দুধ = $C \times \left(1 – \frac{x}{C}\right)^n$
যেখানে $C = 60, x = 12$ এবং $n = 2$ (মোট দুবার করা হয়েছে)।
অবশিষ্ট দুধ = $60 \times \left(1 – \frac{12}{60}\right)^2 = 60 \times \left(1 – \frac{1}{5}\right)^2$
$= 60 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 60 \times \frac{16}{25} = 12 \times \frac{16}{5} = \frac{192}{5} = 38.4$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 45 বছর

অনুপাতের পার্থক্য: $5 – 4 = 1$ অংশ এবং $6 – 5 = 1$ অংশ।
এই 1 অংশের বৃদ্ধি হয়েছে 5 বছরে। অর্থাৎ 1 অংশ = 5 বছর।
তাদের বর্তমান বয়সের আনুপাতিক যোগফল = $4 + 5 = 9$ অংশ।
মোট বয়স = $9 \times 5 = 45$ বছর।

সঠিক উত্তর: (খ) 132 টি

মূল্যের অনুপাত = $13x, 11x, 7x$ টাকা।
মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত বের করতে হলে মূল্যকে মুদ্রার মান দিয়ে ভাগ করতে হবে:
1 টাকার মুদ্রা = $\frac{13x}{1} = 13x$ টি।
50 পয়সার মুদ্রা (1 টাকায় 2 টি) = $11x \times 2 = 22x$ টি।
25 পয়সার মুদ্রা (1 টাকায় 4 টি) = $7x \times 4 = 28x$ টি।
মোট মুদ্রা = $13x + 22x + 28x = 63x$
শর্তমতে, $63x = 378 \implies x = 6$
50 পয়সার মুদ্রা = $22 \times 6 = 132$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 2

ধরি, $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = k$
তাহলে, $a = 3k, b = 4k, c = 7k$
প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে: $\frac{3k + 4k + 7k}{7k} = \frac{14k}{7k} = 2$।

সঠিক উত্তর: (গ) 1500 টাকা

$A = \frac{1}{2}(B + C) \implies \frac{A}{B+C} = \frac{1}{2}$।
মোট 3 ভাগের 1 ভাগ পায় A। A এর টাকা = $3000 \times \frac{1}{3} = 1000$ টাকা।
একইভাবে, $B = \frac{1}{5}(A + C) \implies \frac{B}{A+C} = \frac{1}{5}$।
মোট 6 ভাগের 1 ভাগ পায় B। B এর টাকা = $3000 \times \frac{1}{6} = 500$ টাকা।
অতএব C এর টাকা = $3000 – (1000 + 500) = 1500$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 12

ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $7x$।
$\frac{5x – 9}{7x – 9} = \frac{7}{11}$
$\implies 55x – 99 = 49x – 63 \implies 6x = 36 \implies x = 6$
সংখ্যা দুটির পার্থক্য = $7x – 5x = 2x = 2 \times 6 = 12$।

সঠিক উত্তর: (গ) 7 : 5

দুধের আনুপাতিক অংশ ধরি:
A পাত্রে দুধ = $\frac{4}{7}$, B পাত্রে দুধ = $\frac{2}{5}$।
নতুন পাত্রে দুধ হবে অর্ধেক = $\frac{1}{2}$।
অ্যালিগেশন: $\left(\frac{1}{2} – \frac{2}{5}\right) : \left(\frac{4}{7} – \frac{1}{2}\right)$
$= \frac{1}{10} : \frac{1}{14} = 14 : 10 = 7 : 5$।

সঠিক উত্তর: (ক) 16 : 35

$\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}$
$\frac{A}{D} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{48}{105}$
3 দিয়ে কাটাকাটি করলে: $\frac{16}{35}$।
অতএব, $A : D = 16 : 35$।

সঠিক উত্তর: (খ) 204 টাকা

ভগ্নাংশগুলোর হর (2, 3, 4) এর ল.সা.গু. = 12।
পূর্ণসংখ্যার অনুপাত = $\left(\frac{1}{2}\times12\right) : \left(\frac{2}{3}\times12\right) : \left(\frac{3}{4}\times12\right) = 6 : 8 : 9$।
মোট অনুপাত = $6 + 8 + 9 = 23$ অংশ।
প্রথম অংশ = $782 \times \frac{6}{23} = 34 \times 6 = 204$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 575 টাকা

A এর আয় (3 অংশ) = 2400 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 800 টাকা।
C এর আয় (4 অংশ) = 3200 টাকা।
A এর ব্যয় = $2400 – 300 = 2100$ টাকা।
A এর ব্যয়ের অনুপাত (4 অংশ) = 2100 টাকা $\implies$ ব্যয়ের 1 অংশ = 525 টাকা।
C এর ব্যয় (5 অংশ) = $5 \times 525 = 2625$ টাকা।
C এর সঞ্চয় = $3200 – 2625 = 575$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 14

ধরি, সংখ্যা তিনটি $3x, 2x, 5x$।
শর্তমতে, $(3x)^2 + (2x)^2 + (5x)^2 = 1862$
$9x^2 + 4x^2 + 25x^2 = 1862 \implies 38x^2 = 1862 \implies x^2 = 49 \implies x = 7$
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $2x = 2 \times 7 = 14$।

সঠিক উত্তর: (গ) 36000 টাকা

মোট ওজন = $3 + 4 + 5 = 12$ অংশ।
প্রকৃত দাম $\propto 12^2 = 144$ অংশ।
টুকরোগুলোর দাম $\propto 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ অংশ।
ক্ষতি = $144 – 50 = 94$ অংশ = 23500 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 250 টাকা।
প্রকৃত দাম = $144 \times 250 = 36000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 4 : 11

ধরি, সমগ্র পৃথিবীর ক্ষেত্রফল 300 বর্গ একক।
তাহলে স্থলভাগ = $100$, জল = $200$।
উত্তর গোলার্ধের ক্ষেত্রফল অর্ধেক, অর্থাৎ 150 বর্গ একক।
উত্তর গোলার্ধে (2:3) স্থলভাগ = $150 \times \frac{2}{5} = 60$ এবং জল = $150 \times \frac{3}{5} = 90$।
দক্ষিণ গোলার্ধে স্থলভাগ = $100 – 60 = 40$
দক্ষিণ গোলার্ধে জল = $200 – 90 = 110$
দক্ষিণ গোলার্ধে অনুপাত = $40 : 110 = 4 : 11$।

সঠিক উত্তর: (খ) 5 লিটার

প্রাথমিক মিশ্রণে জল = $40 \times 10\% = 4$ লিটার।
দুধ = $40 – 4 = 36$ লিটার।
নতুন মিশ্রণে জল 20% হলে, দুধ হবে 80%। যেহেতু দুধের পরিমাণ অপরিবর্তিত আছে, তাই:
$80\% = 36$ লিটার $\implies 100\% = \frac{36}{80} \times 100 = 45$ লিটার।
নতুন মিশ্রণে মোট পরিমাণ 45 লিটার। অতএব জল মেশানো হয়েছে = $45 – 40 = 5$ লিটার।

সঠিক উত্তর: (গ) 7200 টাকা

ধরি, আয় $3x, 2x$ এবং ব্যয় $4y, 3y$।
শর্তমতে, $3x – 4y = 2000$ এবং $2x – 3y = 900$
প্রথম সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং দ্বিতীয়টিকে 4 দিয়ে গুণ করলে:
$9x – 12y = 6000$
$8x – 12y = 3600$
বিয়োগ করলে, $x = 2400$
A এর আয় = $3x = 3 \times 2400 = 7200$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (খ) 200 টি

মূল্যের অনুপাত = $4 : 5 : 6$
মুদ্রার সংখ্যার অনুপাত = $\left(4 \times 1\right) : \left(5 \times 2\right) : \left(6 \times 4\right) = 4 : 10 : 24$
লঘিষ্ঠ করলে: $2 : 5 : 12$
আনুপাতিক যোগফল = $2 + 5 + 12 = 19$
19 অংশ = 760 টি মুদ্রা $\implies$ 1 অংশ = 40 টি।
50 পয়সার মুদ্রা = $5 \times 40 = 200$ টি।

সঠিক উত্তর: (খ) 50 বছর

ধরি, 5 বছর আগে পিতা ও পুত্রের বয়স ছিল $3x$ এবং $x$।
বর্তমান বয়স $3x + 5$ এবং $x + 5$।
5 বছর পর বয়স হবে $3x + 10$ এবং $x + 10$।
শর্তমতে, $\frac{3x + 10}{x + 10} = \frac{11}{5}$
$\implies 15x + 50 = 11x + 110 \implies 4x = 60 \implies x = 15$
পিতার বর্তমান বয়স = $3(15) + 5 = 45 + 5 = 50$ বছর।

সঠিক উত্তর: (গ) 50000 টাকা

পাথরের মোট ওজন = $2 + 3 + 5 = 10$ অংশ।
প্রকৃত দাম $\propto 10^2 = 100$ অংশ।
টুকরোগুলোর মোট দাম $\propto 2^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 9 + 25 = 38$ অংশ।
ক্ষতি = $100 – 38 = 62$ অংশ।
62 অংশ = 31000 টাকা $\implies$ 1 অংশ = 500 টাকা।
প্রকৃত দাম = $100 \times 500 = 50000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 20 : 15 : 12

$3, 4, 5$ এর ল.সা.গু. 60।
সবগুলোকে 60 দিয়ে ভাগ করলে: $\frac{3A}{60} = \frac{4B}{60} = \frac{5C}{60}$
$\implies \frac{A}{20} = \frac{B}{15} = \frac{C}{12}$
অতএব, $A : B : C = 20 : 15 : 12$।

সঠিক উত্তর: (খ) 360 টাকা

শর্তমতে, $2A = 3B = 4C$
$2, 3, 4$ এর ল.সা.গু. 12 দিয়ে ভাগ করলে $A:B:C = 6 : 4 : 3$।
আনুপাতিক যোগফল = $6 + 4 + 3 = 13$।
B এর অংশ = $1170 \times \frac{4}{13} = 90 \times 4 = 360$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (গ) 31 : 17

গ্লাসগুলোর আনুপাতিক যোগফল: $4, 8, 16$। এদের ল.সা.গু. 16।
সবগুলো গ্লাসের আয়তন 16 করতে হবে।
গ্লাস ১: $(3:1) \times 4 = 12 : 4$
গ্লাস ২: $(5:3) \times 2 = 10 : 6$
গ্লাস ৩: $(9:7) \times 1 = 9 : 7$
মোট দুধ = $12 + 10 + 9 = 31$
মোট জল = $4 + 6 + 7 = 17$
নতুন অনুপাত = $31 : 17$।

সঠিক উত্তর: (গ) 50

ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $7x$।
শর্তমতে, $\frac{5x – 40}{7x – 40} = \frac{17}{27}$
$\implies 135x – 1080 = 119x – 680$
$\implies 16x = 400 \implies x = 25$
সংখ্যা দুটির পার্থক্য = $7x – 5x = 2x = 2 \times 25 = 50$।

সঠিক উত্তর: (গ) 15000 টাকা

ধরি, মোট লাভ 100%। 5% দান করার পর বাকি থাকে 95%।
A এর লভ্যাংশ = 95% এর $\frac{3}{5}$ অংশ = $95 \times \frac{3}{5} = 57\%$।
শর্তমতে, $57\% = 8550$ টাকা।
মোট লাভ ($100\%$) = $\frac{8550}{57} \times 100 = 150 \times 100 = 15000$ টাকা।

সঠিক উত্তর: (ঘ) 78%

ধরি, ছাত্র 300 জন এবং ছাত্রী 200 জন (মোট 500 জন)।
বৃত্তি পায়নি এমন ছাত্র = 300 এর 80% = 240 জন।
বৃত্তি পায়নি এমন ছাত্রী = 200 এর 75% = 150 জন।
মোট বৃত্তি পায়নি = $240 + 150 = 390$ জন।
শতকরা হার = $\frac{390}{500} \times 100 = 78\%$।

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{1}{4}$

মধ্য সমানুপাতী = $\sqrt{a \times b}$
$= \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।

সঠিক উত্তর: (খ) 2 : 1

ধরি, সংখ্যা দুটি $A$ ও $B$।
শর্তমতে, $A + B = 3(A – B)$
$\implies A + B = 3A – 3B \implies 4B = 2A$
$\implies \frac{A}{B} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$।
অনুপাত = $2 : 1$।

সঠিক উত্তর: (গ) 23 : 33 : 60

ধরি, প্রাথমিক বেতন 200, 300 এবং 500 টাকা।
A এর নতুন বেতন = 200 এর 115% = 230
B এর নতুন বেতন = 300 এর 110% = 330
C এর নতুন বেতন = 500 এর 120% = 600
নতুন অনুপাত = $230 : 330 : 600 = 23 : 33 : 60$।

সঠিক উত্তর: (গ) 110

ধরি, পায়রা $P$ এবং খরগোশ $K$ টি।
$P + K = 200$ (মাথার সংখ্যা)
$2P + 4K = 580$ (পায়ের সংখ্যা)
প্রথম সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করলে: $2P + 2K = 400$
বিয়োগ করলে: $2K = 180 \implies K = 90$ (খরগোশ)
অতএব পায়রার সংখ্যা $P = 200 – 90 = 110$ টি।